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1、-椭圆离心率高考练习题-第 24 页椭圆的离心率专题训练一选择题（共29小题）1椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）ABCD2在区间1，5和2，4分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）ABCD3已知椭圆（ab0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF=，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）ABCD4斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）ABCD5设椭圆C：=1（ab0）的左
2、、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F2=30，则C的离心率为（）ABCD6已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中为实数），椭圆C的离心率e=（）ABCD7已知F1（c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）AB CD8椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）AB2C2（2）D9椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取
3、值范围是（）AB CD或10设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足F1PF2=120，则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD11设A1，A2分别为椭圆=1（ab0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，）B（0，）CD12设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆的离心率为（）ABCD13（2015高安市校级模拟）椭圆C：+=1（ab0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）ABCD一l14已知F1，F
4、2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）ABCD15已知椭圆（ab0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）ABCD16已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1AMF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）ABCD17已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足|=2|=2|，则椭圆的离心率e=（）ABCD18设
5、F1，F2分别是椭圆+=1（ab0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，）B（0，）C（，1）D（，1）19点F为椭圆+=1（ab0）的一个焦点，若椭圆上在点A使AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A B C D120已知椭圆C：=1（ab0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A，1）B，1）C，1）D（1，21在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（ab0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C
6、两点，若ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（，）B（，1）C（，1）D（0，）22设F1、F2为椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A2B3C116D9623直线y=kx与椭圆C：+=1（ab0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且=0，若ABF（0，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A（0，B（0，C，D，1）24已知F1（c，0），F2（c，0）为椭圆=1（ab0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A，B（0，C，1
7、）D，25已知F1（c，0），F2（c，0）是椭圆=1（ab0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）ABCD26已知两定点A（1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）ABCD27过椭圆+=1（ab0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0k，则椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（0，）D（，1）28已知椭圆C1：=1（ab0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A
8、，B使得BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）ABCD29已知圆O1：（x2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0r2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1e2），则e1+2e2的最小值是（）ABCD参考答案与试题解析一选择题（共29小题）1椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）ABCD解答：解：当点P与短轴的顶点重合时，F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰F1F2P；当F1F2P构成以F1F2为
9、一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，F1F2=F1P，点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰F1F2P，在F1F2P1中，F1F2+PF1PF2，即2c+2c2a2c，由此得知3ca所以离心率e当e=时，F1F2P是等边三角形，与中的三角形重复，故e同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e时也存在2个满足条件的等腰F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e（，）（，1）2在区间1，5和2，4分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离
10、心率小于的椭圆的概率为（）ABCD解答：解：表示焦点在x轴上且离心率小于，ab0，a2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P=，故选B3已知椭圆（ab0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF=，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）ABCD解答：解：已知椭圆（ab0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2aABF=，则：ANF=所以：2a=2ccos+2csin利用e=所以：则：即：椭圆离心率e的取值
11、范围为故选：A4斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）ABCD解答：解：两个交点横坐标是c，c所以两个交点分别为（c，c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2b2=a2c2c2（3a22c2）=2a42a2c22a45a2c2+2c4=0（2a2c2）（a22c2）=0=2，或0e1所以e=故选A5设椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F2=30，则C的离心率为（）ABCD解答：解：设|PF2|=x，PF2F1F2，PF1F2=30，|PF
12、1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c2a=3x，2c=x，C的离心率为：e=故选A6已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中为实数），椭圆C的离心率e=（）ABCD解答：解：设P（x0，y0），G为F1PF2的重心，G点坐标为 G（，），IGx轴，I的纵坐标为，在焦点F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c=|F1F2|y0|又I为F1PF2的内心，I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把F1PF2分为三个底分别为F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形=（|PF
13、1|+|F1F2|+|PF2|）|F1F2|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）|即2c|y0|=（2a+2c）|，2c=a，椭圆C的离心率e=故选A7已知F1（c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）ABCD解答：解：设P（m，n ），=（cm，n）（cm，n）=m2c2+n2，m2+n2=2c2，n2=2c2m2 把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2 ，把代入得m2=0，a2b22a2c2， b22c2，a2c22c2， 又 m2a2，a2，0，故a22c20，综上，故选：C8椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分
14、别是F1，F2，过F2作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）AB2C2（2）D解答：解：如图，在RtMF1F2中，MF2F1=60，F1F2=2cMF2=4c，MF1=2cMF1+MF2=4c+2c=2ae=2，故选B9椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）AB CD或解答：解：椭圆C上的点P满足，|PF1|=3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2a3c利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a3c）3c，3c+2c2a3c，化为椭圆C的离心率e的取值范围是故选：C10设F1
15、，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足F1PF2=120，则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD解答：解：F1（c，0），F2（c，0），c0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=aex1在PF1F2中，由余弦定理得cos120=，解得x12=x12（0，a2，0a2，即4c23a20且e21e=故椭圆离心率的取范围是 e故选A11设A1，A2分别为椭圆=1（ab0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，）B（0，）CD解答：解：设P（asin，bcos），A1（a，0），A2（a，0）；，；，a，c0；解得；该椭圆的离心率
16、的范围是（）故选：C12设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆的离心率为（）ABCD解答：解：设椭圆（ab0），F1（c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a|NF1|=2a3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即ac=2，取MF1的中点K，连接KF2，则KF2MN，由勾股定理可得|MF2|2|MK|2=|NF2|2|NK|2，即为4c24=（2a3）225，化简即为a+c=12，由解得a=7，c=5，则离心率e=故选：D13椭圆C
17、：+=1（ab0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）ABCD一l解答：解：设F（c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e48e2+4=0，e=1，故选：D14已知F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）ABCD解答：解：F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，设F1（c，0），F2（c，0），（c0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=
18、b2=a2c2可得e2+e1=0解得e=故选：D15已知椭圆（ab0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）ABCD解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），2|PF1|=3|QF1|，点P（cx0，y0）；又|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，2|MP|=3|QA|，又|MP|=cx0+，|QA|=x0+，3（x0+）=2（cx0+），解得，x0=，|PF2|=|F1F2|，（c+x0+）=2c；将x0=代入化简可得，3a2+5c28ac=0，即58+3=
19、0；解得，=1（舍去）或=；故选：A16已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1AMF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）ABCD解答：解：如图所示，在RtAF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c又|MF2|=2|OA|，在RtOMF2中，AF2F1=60，在RtAF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c2a=c+c，=1故选：C17已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足|=2|=2|，则椭圆的离心率e=（）ABCD解答：解：|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=
20、|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cosMOF1=，在OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cosMOF2=，由MOF1=180MOF2得：cosMOF1+cosMOF2=0，即为+=0，整理得：3c22a2=0，即=，即e2=，即有e=故选：D18设F1，F2分别是椭圆+=1（ab0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，）B（0，）C（，1）D（，1）解答：解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），y2
21、=2b2，y2=（a2c2）（3）0，30，0e1，e1故选：C19点F为椭圆+=1（ab0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）ABCD1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60=，点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，b2c2+3a2c2=4a2b2，e=故选：D20已知椭圆C：=1（ab0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A，1）B，1）C，1）D（1，解答：解：如图所示，连接OE，OF，
22、OM，MEF为正三角形，OME=30，OM=2b，则2ba，椭圆C的离心率e=又e1椭圆C的离心率的取值范围是故选：C21在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（ab0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（，）B（，1）C（，1）D（0，）解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，AABC是锐角三角形，BAD45，1，化为，解得故选：A22设F1、F2为椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若ABF1构成以A为直角顶点的等
23、腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A2B3C116D96解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2）a，则|AF2|=2am=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2）2a2+4（）2a2，即有c2=（96）a2，即有e2=96故选D23直线y=kx与椭圆C：+=1（ab0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且=0，若ABF（0，则椭圆C的离心率的取值范围是（）
24、A（0，B（0，C，D，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点=0，BFAF，O点为AB的中点，OF=OF2四边形AFBF2是平行四边形，四边形AFBF2是矩形如图所示，设ABF=，BF=2ccos，BF2=AF=2csin，BF+BF2=2a，2ccos+2csin=2a，e=，sin+cos=，（0，e故选：D24已知F1（c，0），F2（c，0）为椭圆=1（ab0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A，B（0，C，1）D，解答：解：设P（x0，y0），则2c2=（cx0，y0）（cx0，y0）=+，化为又，=，b2=a2c2，故选：A25已知F1（c，0
25、），F2（c，0）是椭圆=1（ab0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）ABCD解答：解：设P（x0，y0），则，=，（cx0，y0）（cx0，y0）=c2，化为=c2，=2c2，化为=，0a2，解得故选：D26已知两定点A（1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）ABCD解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，P在直线l：y=x+2上移动，2a=|PA|+|PB|过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（
26、2，1），则此时2a=|PA|+|PB|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C27过椭圆+=1（ab0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0k，则椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（0，）D（，1）解答：解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，k=tanBAF2=，又0k，0，0，e1故选：D28已知椭圆C1：=1（ab0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）ABCD解答：解：连接O
27、A，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，BPA=，APO=BPO=，在直角三角形OAP中，AOP=，cosAOP=，|OP|=2b，b|OP|a，2ba，4b2a2，即4（a2c2）a2，3a24c2，即，又0e1，e1，椭圆C的离心率的取值范围是，1），故选：A29已知圆O1：（x2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0r2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1e2），则e1+2e2的最小值是（）ABCD解答：解：当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4r=2a，e1=当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a，e2=e1+2e2=+=，令12r=t（10t12），e1+2e2=22=故选：A