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1、-函数的周期性与对称性总结-第 3 页一:有关周期性的讨论在已知条件或中，(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如，说明的图像具有对称性，其对称轴为。(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如，说明 f（x）的图像具有周期性，其周期T=a+b。设为非零常数,若对于定义域内的任意恒有下列条件之一成立周期性规律 对称性规律(1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5) (6) (7) (8) (9) (10) , (11) 若函数同时关于直线, 对称则函数的周期(12) 若函数同时关于点, 对称,则函数的周期(13) 若函数同时关于直线 对称,又关于点对称则函数
2、的周期(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=2(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=4(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(xR，T0),则f()=0. 若的图象关于两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y= f（x）（xR）满足f（5+x）= f（5x），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数y= f（x）（xR）满足f（x+5）= f（x5），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？定理1：如果函数y= f（x）（x
3、R）满足，那么y= f（x）的图像关于直线对称。证明：设点是y= f（x）的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，易知，点Q的坐标为。因为点在y= f（x）的图像上，所以于是所以点也在y= f（x）的图像上。由P点的任意性知，y= f（x）的图像关于直线x=a对称。定理2：如果函数y= f（x）（xR）满足f（a+x）= f（bx），那么y= f（x）的图像关于直线的对称。定理3：如果函数y= f（x）（xR）满足f（x+a）= f（xa），那么y= f（x）是以2a为周期的周期函数。证明：令，则代入已知条件得：根据周期函数的定义知，y= f（x）是以2a为周期的周期函数。定理4：如果函数y= f（x）（xR）满足，那么y= f（x）是以为周期的周期函数。