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1、一:有关周期性的讨论 在已知条件f axf bx或 f xaf xb中,1 等式两端的两自变量部分相加得常数,如 axbxab,说明f x()的图像具有对称性,其对称轴为2bax;2 等式两端的两自变量部分相减得常数,如 xaxbab,说明 fx 的图像具有周期性,其周期 T=a+b;设a为非零常数,若对于)(xf定义域内的任意x恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 1)()(axfaxf aT2 1)()(xafxaf ax 2)()(axfxf aT 2)()(xbfxaf 2bax 3)()(xfaxf aT2 3)()(xbfxaf 2bax 4)(1)(xfaxf aT2 4
2、)()(xbfxaf 中心点)0,2(ba 5)(1)(xfaxf aT2 5)()(xafxaf 为对称中心点)0,(a 61)(1)()(xfxfaxf aT2 7 1()()1()f xf xaf x aT2 8 1()()1()f xf xaf x aT4 9)(1)(1)(xfxfaxf aT4 10)()()(axfaxfxf,0a aT6 11 若函数)(xf同时关于直线ax,bx 对称则函数)(xf的周期abT 2 12 若函数)(xf同时关于点)0,(a,)0,(b对称,则函数)(xf的周期abT 2 13 若函数)(xf同时关于直线ax 对称,又关于点)0,(b对称)0(b
3、则函数)(xf的周期abT 4 14 若偶函数 y=fx 的图像关于直线 x=a 对称,则 fx 为周期函数且 T=2a 15 若奇函数 y=fx 的图像关于直线 x=a 对称,则 fx 为周期函数且 T=4a 16 若奇函数 y=fx 满足 fx+T=fxxR,T0,则 f2T=0.若)x2(fy 的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性 例 1.已知函数 y=fxxR 满足 f5+x=f5x,问：y=fx 是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形 例 2.已知函数 y=fxxR 满足 fx+5=fx5,问：y=fx 是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形 定理 1：如果函数 y=fxxR
4、 满足)()(xafxaf,那么 y=fx 的图像关于直线xa对称;证明：设点P xy00，是 y=fx 的图像上任一点,点 P 关于直线 x=a 的对称点为 Q,易知,点 Q 的坐标为200axy，;因为点P xy00，在 y=fx 的图像上,所以f xy()00 于是 000002yxfxaafxaafxaf 所以点Qaxy200，也在 y=fx 的图像上;由 P 点的任意性知,y=fx 的图像关于直线 x=a 对称;定理 2：如果函数 y=fxxR 满足 fa+x=fbx,那么 y=fx 的图像关于直线xab2的对称;定理 3：如果函数 y=fxxR 满足 fx+a=fxa,那么 y=fx 是以 2a 为周期的周期函数;证明：令xax,则xxaxaxa，2 代入已知条件f xaf xa 得：f xaf x2 根据周期函数的定义知,y=fx 是以 2a 为周期的周期函数;定理 4：如果函数 y=fxxR 满足f xaf xb,那么 y=fx 是以ab为周期的周期函数;