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1、-二次根式提高培优 打印-第 7 页知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【典型例题】 【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_（填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的个数有_个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 来源:学*科*网Z*X*X*K举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3且x42、使代数式有意义的x的取值范围是 3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）
2、A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=+2009，则x+y= 解题思路：式子（a0）， ，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、若，则xy的值为（ ）A1 B1 C2 D32、若x、y都是实数，且y=，求xy的值3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。若的整数部分是a，小数部分是b，则 。若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一
3、个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式与的区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数（3）和的运算结果都是非负的【典型例题】 【例4】若则 举一反三：1、若，则的值为 。2、已知为实数，且，则的值为（ ）A3B 3C1D 13、已知直角三角形两边x、y的长满足x240，则第三边长为.4、若与互为相反数，则。 （公式的运用）【例5】 化
4、简：的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三：在实数范围内分解因式: = ；= 1、 化简：已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为 （公式的应用）【例6】已知,则化简的结果是A、 B、C、D、 举一反三：1、根式的值是( )A-3 B3或-3 C3 D92、已知a0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】 【例16】化简(1) (2) (3) (4)() (5) 【
5、例17】计算（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）【例1 (1) (2) (3) (4) 【例19】计算：(1) (2) (3) （4）【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、无解知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】 【例20】计算（1）； （2）；（3）； （4
6、）【例21】 （1） （2）（3） （4）（5） （6）知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值【知识要点】 1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】 1、 2、 (2+43)3、 （-4） 4、5、） 6、 7、 8、【例21】 1已知：，求的值2已知，求的值。3已知：，求的值4求的值5已知、是实数，且，求的值知识点八：根式比较大小【知识要点】 1、根式变形法 当时，如果，则；如果，则。2、平方法 当时，如果，则；如果，则。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来
7、比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：；8、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：； 【典型例题】 【例22】 比较与的大小。（用两种方法解答）【例23】比较与的大小。【例24】比较与的大小。【例25】比较与的大小。【例26】比较与的大小二次根式典型习题集一、概念（一）二次根式下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0）（二）最简二次根式1把二次根式（y0）化为最简二次根式结果是（ ） A（y0） B（y
8、0） C（y0） D以上都不对2化简=_（x0） 3a化简二次根式号后的结果是_4. 已知0，化简二次根式的正确结果为_（三）同类二次根式1以下二次根式：；中，与是同类二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和2在、3、-2中，与是同类二次根式的有_3若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值4.若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值（四） “分母有理化”与“有理化因式”1.+的有理化因式是_； x-的有理化因式是_ -的有理化因式是_2.把下列各式的分母有理化 （1）； （2）； （3）； （4）二、二次根式有意义的条件： 1（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？（2）当x是多少时
9、， +在实数范围内有意义？（3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？（4）当时，有意义。2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个 A0 B1 C2 D无数3已知y=+5，求的值4若+有意义，则=_5. 若有意义，则的取值范围是 。6要是下列式子有意义求字母的取值范围（1）(2)(3)(4)(5) (6)三、二次根式的非负数性1若+=0，求a2004+b2004的值2已知+=0，求xy的3.若，求的值。a0a0四、 的应用1 a0时，、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） A=- B- C=2先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+=a+（
10、1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_3若1995-a+=a，求a-19952的值（提示：先由a-20000，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）4. 若-3x2时，试化简x-2+。5化简a的结果是（ ） A B C- D-6把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） A B C- D-五、求值问题:1.当x=+,y=-,求x2-xy+y2的值2已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_3.已知a=-1,求a3+2a2-a的值4已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）
11、的值5已知2.236，求（-）-（+）的值（结果精确到0.01）6先化简，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=277当x=时，求+的值（结果用最简二次根式表示）8. 已知，求的值。六、其他1等式成立的条件是（ ） Ax1 Bx-1 C-1x1 Dx1或x-12.已知，且x为偶数，求（1+x）的值3计算（+）（-）的值是（ ） A2 B3 C4 D14.如果, 则x的取值范围是 。5.如果 , 则x的取值范围是 。6.若 ,则a的取值范围是 。7.设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是 。8.若是一个整数，则整数n的最小值是 。9.已知的整数部分为a，小数部分为b，试求的值七、计算1.（-）（m0，n0） 2.-3（） （a0）3. 4. 5. 6. 7、已知，求下列各式的值：（1）（2） (3)1铁路基的横截面是梯形ABCD，如图，已知AD=BC，CD=8cm，路基的高度DE=6cm，斜坡BC的坡比为1：，求路基下底宽AB的长度2如图，扶梯AB的坡比为4；3，滑梯CD坡比为1：2，AE=6cm，BC=5cm，一男孩从扶梯A走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下到D，共经过多少路程？3如图，方格纸中小正方形的边长为1，是格点三角形，求：（1）的面积（2）的周长；（3）点C到AB的距离。