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1、二次根式提高题及常考题型压轴题一选择题（共13小题）1二次根式中x的取值范围是（）Ax3Bx3且x0Cx3Dx3且x02计算：，正确的是（）A4BC2D3如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2A168B12+8C84D424若1x2，则的值为（）A2x4B2C42xD25下列计算正确的是（）A=2B=C=xD=x6下列各式变形中，正确的是（）Ax2x3=x6B=|x|C（x2）x=x1Dx2x+1=（x）2+7下列二次根式中，及是同类二次根式的是（）ABCD8化简+的结果为（）A0B2C2D29已知，ab0，化简二次
2、根式a的正确结果是（）ABCD10设a为的小数部分，b为的小数部分则的值为（）A+1B+1C1D+111把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）ABCD12如果=2a1，那么（）AaBaCaDa13已知：a=，b=，则a及b的关系是（）Aab=1Ba+b=0Cab=0Da2=b2二填空题（共17小题）14如果代数式有意义，那么x的取值范围为15在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a2|的结果为16计算：=17观察下列等式：第1个等式：a1=1，第2个等式：a2=，第3个等式：a3=2，第4个等式：a4=2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：an=；（2）a1+a2+a3+a
3、n=18计算2的结果是19计算（+）（）的结果等于20化简：（0a1）=21如果最简二次根式及可以合并，那么使有意义的x的取值范围是22已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有对23对正实数a，b作定义a*b=a，若2*x=6，则x=24已知x+y=，xy=，则x4y4=25已知=（x，y为有理数），则xy=26已知是正整数，则实数n的最大值为27三角形的三边长分别为3、m、5，化简=28若实数m满足=m+1，且0m，则m的值为29计算下列各式的值：；观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=30观察下列各式：=11+31+1，=22+32+1，=32+33+1
4、，猜测： =三解答题（共10小题）31计算（1）4+（2）（1）（1+）+（1+）232若1a2，求+的值33已知x，y都是有理数，并且满足，求的值34先化简，再求值：，其中x=3（3）035（1）已知|2012x|+=x，求x20132的值；（2）已知a0，b0且（+）=3（+5）求的值36观察下列各式及其验证过程：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n2）表示的等式，并说明它成立37先化简，再求值：（+），其中a=+138求不等式组的整数解39阅读及计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务古希腊的几
5、何学家海伦在他的度量一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积40已知：y=+，求的值二次根式提高题及常考题型压轴题(含解析)参考答案及试题解析一选择题（共13小题）1（2017春启东市月考）二次根式中x的取值范围是（）Ax3Bx3且x0Cx3Dx3且x0
6、【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出3x0且x0，求出即可【解答】解：要使有意义，必须3x0且x0，解得：x3且x0，故选B【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点，能根据题意得出3x0且x0是解此题的关键2（2017春萧山区校级月考）计算：，正确的是（）A4BC2D【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案【解答】解：=2=故选：D【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键3（2017春嵊州市月考）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2A168B12
7、+8C84D42【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解【解答】解：两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，它们的边长分别为=4cm，=2cm，AB=4cm，BC=（2+4）cm，空白部分的面积=（2+4）41216，=8+161216，=（12+8）cm2故选B【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长4（2016呼伦贝尔）若1x2，则的值为（）A2x4B2C42xD2【分析】已知1x2，可判断x30，x10，根据绝对值，二次
8、根式的性质解答【解答】解：1x2，x30，x10，原式=|x3|+=|x3|+|x1|=3x+x1=2故选D【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a0）的代数式叫做二次根式当a0时，表示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a小于0时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）2、性质：=|a|5（2016南充）下列计算正确的是（）A=2B=C=xD=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案【解答】解：A、=2，正确；B、=，故此选项错误；C、=x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；故选：A【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键6
9、（2016杭州）下列各式变形中，正确的是（）Ax2x3=x6B=|x|C（x2）x=x1Dx2x+1=（x）2+【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案【解答】解：A、x2x3=x5，故此选项错误；B、=|x|，正确；C、（x2）x=x，故此选项错误；D、x2x+1=（x）2+，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键7（2016巴中）下列二次根式中，及是同类二次根式的是（）ABCD【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案【解答】解
10、：A、=3，及不是同类二次根式，故此选项错误；B、=，及，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，及不是同类二次根式，故此选项错误；D、=，及不是同类二次根式，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键8（2016营口）化简+的结果为（）A0B2C2D2【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案【解答】解：+=3+2=2，故选：D【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算9（2016安徽校级自主招生）已知，ab0，化简二次根式a的正确结果是（）ABCD【分析】直接利用二次根式的性质进而化简得出答案【解答】解：ab0，
11、a=a=故选：D【点评】此题主要考查了二次根式的性质及化简，正确应用二次根式的性质是解题关键10（2016邯郸校级自主招生）设a为的小数部分，b为的小数部分则的值为（）A+1B+1C1D+1【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题【解答】解：=，a的小数部分=1；=，b的小数部分=2，=故选B【点评】该题主要考查了二次根式的化简及求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答11（2016柘城县校级一模）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）ABCD【分析】先根据被开方数大于等于0判断出a是负数，然后平方
12、后移到根号内约分即可得解【解答】解：根据被开方数非负数得，0，解得a0，a=故选A【点评】本题考查了二次根式的性质及化简，先根据被开方数大于等于0求出a的取值范围是解题的关键，也是本题最容易出错的地方12（2016杨浦区三模）如果=2a1，那么（）AaBaCaDa【分析】由二次根式的化简公式得到12a为非正数，即可求出a的范围【解答】解：=|12a|=2a1，12a0，解得：a故选D【点评】此题考查了二次根式的性质及化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键13（2016临朐县一模）已知：a=，b=，则a及b的关系是（）Aab=1Ba+b=0Cab=0Da2=b2【分析】先分母有理化求出a
13、、b，再分别代入求出ab、a+b、ab、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项【解答】解：a=2+，b=2，A、ab=（2+）（2）=43=1，故本选项正确；B、a+b=（2+）+（2）=4，故本选项错误；C、ab=（2+）（2）=2，故本选项错误；D、a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2）2=44+3=74，a2b2，故本选项错误；故选A【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键二填空题（共17小题）14（2017静安区一模）如果代数式有意义，那么x的取值范围为x2【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可【解答】解：
14、由题意得，x+20，解得，x2，故答案为：x2【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键15（2016乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a2|的结果为3【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案【解答】解：由数轴可得：a50，a20，则+|a2|=5a+a2=3故答案为：3【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键16（2016聊城）计算：=12【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案【解答】解：=3=3=12故答案为：12【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，
15、正确化简二次根式是解题关键17（2016黄石）观察下列等式：第1个等式：a1=1，第2个等式：a2=，第3个等式：a3=2，第4个等式：a4=2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：an=；（2）a1+a2+a3+an=1【分析】（1）根据题意可知，a1=1，a2=，a3=2，a4=2，由此得出第n个等式：an=；（2）将每一个等式化简即可求得答案【解答】解：（1）第1个等式：a1=1，第2个等式：a2=，第3个等式：a3=2，第4个等式：a4=2，第n个等式：an=；（2）a1+a2+a3+an=（1）+（）+（2）+（2）+（）=1故答案为=；1【点评】此题考查数字的变化规律
16、以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案18（2016哈尔滨）计算2的结果是2【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并求解即可【解答】解：原式=23=3=2，故答案为：2【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于掌握二次根式的化简及同类二次根式合并19（2016天津）计算（+）（）的结果等于2【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得【解答】解：原式=（）2（）2=53=2，故答案为：2【点评】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式及二次根式的性质是关键20（2016博野县校级自主招生）化简：（0a1）
17、=a【分析】结合二次根式的性质进行化简求解即可【解答】解：=|a|0a1，a210，a=0，原式=|a|=（a）=a故答案为：a【点评】本题考查了二次根式的性质及化简，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的化简21（2016绵阳校级自主招生）如果最简二次根式及可以合并，那么使有意义的x的取值范围是x10【分析】根据二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得a的值，根据被开方数是非负数，可得答案【解答】解：由最简二次根式及可以合并，得3a8=172a解得a=5由有意义，得202x0，解得x10，故答案为：x10【点评】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出关于a
18、的方程是解题关键22（2016温州校级自主招生）已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有7对【分析】A，B只能是15n2，然后分别讨论及的取值，最终可确定有序数对的个数【解答】解：15只能约分成3，5那么A，B只能是15n2先考虑A这边：，那么B可以这边可以是1或者，此时有：（15，60），（15，15），（60，15），只能B这边也是，此时有：（60，60），那么B这边也只能是，2（+）=1，此时有：（240，240）的话，那么B这边只能是，那么2（+）=1，此时有：（135，540），（540，135）综上可得共有7对故答案为：7【点评】本题考查二次根式的化简求值，
19、难度较大，关键是根据题意分别讨论及的取值23（2016福州自主招生）对正实数a，b作定义a*b=a，若2*x=6，则x=32【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程，求解即可【解答】解：a*b=a，2*x=2，方程2*x=6可化为2=6，解得x=32，故答案为：32【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键24（2016黄冈校级自主招生）已知x+y=，xy=，则x4y4=【分析】把所给式子两边平方再相加可先求得x2+y2，再求得x2y2，可求得答案【解答】解：x+y=，xy=，（x+y）2=x2+2xy+y2=（）2=+，（xy）2=x22xy+y2=（）2=
20、，x2+y2=，又x2y2=（x+y）（xy）=（）（）=1，x4y4=（x2+y2）（x2y2）=，故答案为：【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用乘法公式分别求得x2+y2和x2y2的值是解题的关键25（2016黄冈校级自主招生）已知=（x，y为有理数），则xy=1【分析】把已知条件两边平方，整理可得到x+y2，结合x、y均为有理数，可求得x、y的值，可求得答案【解答】解：=，（）2=（）2，即23=x+y2，x+y2=2=+2，x，y为有理数，x+y=+，xy=，由条件可知xy，x=，y=，xy=1，故答案为：1【点评】本题主要考查二次根式的化简，由条件求得x、y的值是解题的关键26（
21、2016春固始县期末）已知是正整数，则实数n的最大值为11【分析】根据二次根式的意义可知12n0，解得n12，且12n开方后是正整数，符合条件的12n的值有1、4、9，其中1最小，此时n的值最大【解答】解：由题意可知12n是一个完全平方数，且不为0，最小为1，所以n的最大值为121=11【点评】主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数27（2016山西模拟）三角形的三边长分别为3、m、5，化简=2m10【分析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可【解答】解：三角形的三边长分别为3、m、5，2m8，=m2（8m）=2m10故答案为：2m10【点评】本题主要考查
22、了二次根式的性质及化简及三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系28（2016武侯区模拟）若实数m满足=m+1，且0m，则m的值为【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出关于m的等式即可得出答案【解答】解：=m+1，且0m，2m=m+1，解得：m=故答案为：【点评】此题主要考查了二次根式的性质及化简，正确开平方是解题关键29（2016龙岩模拟）计算下列各式的值：；观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=102016【分析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律进而得出答案【解答】解：=10；=100=102；=1000=103；=10000=104，可得=102016故答案
23、为：102016【点评】此题主要考查了二次根式的性质及化简，正确得出结果变化规律是解题关键30（2016丹东模拟）观察下列各式：=11+31+1，=22+32+1，=32+33+1，猜测：=20112+32011+1【分析】根据题意得出数字变换规律进而得出答案【解答】解：由题意可得：=20112+32011+1故答案为：20112+32011+1【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题关键三解答题（共10小题）31（2017春临沭县校级月考）计算（1）4+（2）（1）（1+）+（1+）2【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；（2）利用完全平方公式和
24、平方差公式计算【解答】解：（1）原式=32+=32+2=3；（2）原式=15+1+2+5=2+2【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可32（2017春沂源县校级月考）若1a2，求+的值【分析】根据a的范围即可确定a2和a1的符号，然后根据算术平根的意义进行化简求值【解答】解：1a2，a20，a10则原式=+=+=1+1=0【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解算术平方根的意义，理解=|a|是关键33（2017春启东市月考）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形
25、：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可【解答】解：，x，y都是有理数，x2+2y17及y+4也是有理数，解得有意义的条件是xy，取x=5，y=4，【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解34（2016锦州）先化简，再求值：，其中x=3（3）0【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x的值代入进行计算即可【解答】解：，=，=，=x=3（3）0，=41，=21，=1把x=1代入得到：=即=【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用35（2016湖北校级自主
26、招生）（1）已知|2012x|+=x，求x20132的值；（2）已知a0，b0且（+）=3（+5）求的值【分析】（1）由二次根式有意义的条件可知x2013，然后化简得=2012，由算术平方根的定义可知：x2013=20122，最后结合平方差公式可求得答案（2）根据单项式乘多项式的法则把（+）=3（+5）进行整理，得出a215b=0，再进行因式分解得出（5）（+3）=0，然后根据a0，b0，得出5=0，求出a=25b，最后代入要求的式子约分即可得出答案【解答】解：（1）x20130，x2013x2012+=x=2012x2013=20122x=20122+2013x20132=201222013
27、2+2013=（2012+2013）+2013=2012（2）（+）=3（+5），a+=3+15b，a215b=0，（5）（+3）=0，a0，b0，5=0，a=25b，原式=2【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，用到的知识点是二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根的性质、平方差公式的应用，第（1）题求得x2013=20122，第（2）求出a=25b是解题的关键36（2016山西模拟）观察下列各式及其验证过程：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n2）表示的等式，并说明它成立【分析】根据
28、观察，可得规律，根据规律，可得答案【解答】解：（1）5=验证：5=；（2）n=，证明：n=【点评】本题考查了二次根式的性质及化简，运用n=的规律是解题关键37（2016仙游县校级模拟）先化简，再求值：（+），其中a=+1【分析】利用通分、平方差公式等将原式化简为，代入a的值即可得出结论【解答】解：原式=（+），=，=，=当a=+1时，原式=【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将原式化简成本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据求值是关键38（2016高邮市一模）求不等式组的整数解【分析】首先解不等式组，注意系数化“1”时，这两个不等式的系数为负数，
29、不等号的方向要改变还要注意题目的要求，按要求解题【解答】解：整理不等式组，得；不等式组的整数解为2，1，0【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法要注意系数化“1”时，系数是正还是负，正不等号的方向不变，负不等号的方向改变还要注意审题，根据题意解题39（2016太原一模）阅读及计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务古希腊的几何学家海伦在他的度量一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三
30、角形的面积S=（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于6（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积【分析】（1）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解；（2）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解【解答】解：（1）p=9，S=6答：这个三角形的面积等于6（2）S=答：这个三角形的面积是故答案为：6【点评】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算40（2016春饶平县期末）已知：y=+，求的值【分析】首先根据二次根式中的被开方数必须是非负数，求出x的值是多少，进而求出y的值是多少；然后把求出的x、y的值代入化简后的算式即可【解答】解：+有意义，解得x=8，y=+=+=0+0+=【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义31 / 31