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1、专题达标检测专题达标检测一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共1212小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共6060分分) )1.1.（20082008湖南理，湖南理，9 9）长方体）长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的8 8个顶点在同一个球面上个顶点在同一个球面上, ,且且ABAB=2,=2,ADAD= ,= ,AAAA1 1=1=1，则顶点则顶点A A、B B间的球面距离是间的球面距离是 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如图，由题意知球心如图，由题意知球心O O为长方体的体对角线为长方体的体对角线BDBD1 1

2、的中点的中点. .又又 3222224222)3(212221BD 长方体外接球半径为长方体外接球半径为 . . | |OAOA|=|=|OBOB|= .|= . 又又| |ABAB|=2|=2， | |OAOA| |2 2+|+|OBOB| |2 2=|=|ABAB| |2 2.AOBAOB= .= . A A、B B间的球面距离为间的球面距离为 答案答案 C C22222222 2. .若若 、 为两个确定的相交平面为两个确定的相交平面,a ,a、b b为一对异面为一对异面 直线，则下列条件中能使直线，则下列条件中能使a a、b b所成的角为定值的有所成的角为定值的有 （ ） a ,ba

3、,b a ,b a ,b a ,ba ,b a ,ba ,b A.0 A.0个个 B.1B.1个个 C.2C.2个个 D.3D.3个个 解析解析 不可；不可；不可；不可；a a与与b b所成的角和平面所成的角和平面 ， 所成角相等或互补；所成角相等或互补；不可，故选不可，故选B B. . B3 3. .若若a a、b b表示互不重合的直线，表示互不重合的直线， 、 表示不重合的表示不重合的 平面，则平面，则a a 的一个充分条件是的一个充分条件是 （ ） A A. ,a . ,a B B. ,a . ,a C C.ab,b.ab,b D D. =b,a. =b,a ,ab,ab 解析解析 A

4、A，B B，C C选项中，直线选项中，直线a a都有可能在平面都有可能在平面 内，不能满足充分性，故选内，不能满足充分性，故选D D. .D4.4.正四棱柱正四棱柱ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AAAA1 1=2=2ABAB，则异面直，则异面直线线A A1 1B B与与ADAD1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 （ ） A.A.B.B.C.C.D.D. 解析解析 连结连结D D1 1C C，ACAC，易证，易证A A1 1B BD D1 1C C，ADAD1 1C C即为异面直线即为异面直线A A1 1B B与与ADAD1 1所成的角所成的角

5、. .设设ABAB=1=1，则，则AAAA1 1=2=2，ADAD1 1= =D D1 1C C= = ，ACAC= = ， coscosADAD1 1C C = = 515253545254552255D5 5. .两个腰长均为两个腰长均为1 1的等腰直角三角形的等腰直角三角形ABDABD、ABEABE，若，若 它们构成的二面角为它们构成的二面角为6060，则，则D D、E E两点间的距离两点间的距离 为为 （ ） A A. .1 1B B. .1 1或或 C.1C.1或或 或或D.1D.1或或 解析解析 （1 1）AB=BD=BE=AB=BD=BE=1 1，且，且DBE=DBE=6060，

6、 显然，显然，DBEDBE为正三角形，此时为正三角形，此时DE=DE=1 1； （2 2）AB=AD=BE=AB=AD=BE=1 1，且，且DAB=ABE=DAB=ABE=9090，此，此 时时DE= DE= ； （3 3）AD=BD=AE=BE=AD=BD=AE=BE=1 1，且，且 ADB=AEBADB=AEB = =9090，此时，此时DE= .DE= .22223222C6 6. .如图在正方体如图在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， 当动点当动点MM在面在面ABCDABCD内运动时，总有内运动时，总有 D D1 1A=DA=D1 1MM，

7、则动点，则动点MM在面在面ABCDABCD内的内的 轨迹是下列哪个图形上的一段弧轨迹是下列哪个图形上的一段弧（） A.A.圆圆 B.B.椭圆椭圆 C.C.双曲线双曲线 D.D.抛抛物线物线 解析解析 因为满足条件的动点在底面因为满足条件的动点在底面ABCDABCD内运动时，内运动时， 动点的以动点的以D D1 1D D为轴线，以为轴线，以D D1 1A A为母线的圆锥，所以为母线的圆锥，所以 动点动点MM在面在面ABCDABCD内的轨迹是圆的一部分内的轨迹是圆的一部分. . 故选故选A A. .A7 7. .在正三棱锥在正三棱锥S SABCABC中，中，MM、N N分别分别 是棱是棱SCSC、

8、BCBC的中点，且的中点，且MNAMMNAM， 若侧棱若侧棱SA=SA=2 2 ，则正棱锥，则正棱锥S S ABC ABC 外接球的表面积是外接球的表面积是 （ ） A.12 B.32 A.12 B.32 C.36 D.48 C.36 D.48 解析解析 由于由于MNAMMNAM， MNBSMNBS，则，则BSAMBSAM， 又根据正三棱锥的性质知又根据正三棱锥的性质知BSACBSAC，则，则BSBS平面平面 SACSAC，于是有，于是有ASB=BSC=CSA=ASB=BSC=CSA=9090，SASA、 SBSB、 SCSC为三棱锥为三棱锥S SABCABC外接球的内接正方体的三外接球的内接

9、正方体的三 条棱，设球半径为条棱，设球半径为R R，则，则4 4R R2 2= =3 3SASA2 2= =3636，球表面积，球表面积 为为4 4 R R2 2= =3636 . .C38.8.（20082008陕西理，陕西理，9 9）如图）如图, , , , =l, =l, A A , ,B B , ,A A, ,B B到到l l的距离分别是的距离分别是a a和和b b, ,ABAB与与 , , 所成的角分别是所成的角分别是 和和 , ,ABAB在在 , , 内的内的射影分别是射影分别是m m和和n n. .若若a a b b, ,则则 （ ） A.A. , ,m m , ,m m n n

10、 C. C. , ,m m n n D.D. n n 解析解析 如图所示如图所示. .ABAB与与 成的角为成的角为ABCABC= = , , ABAB与与 成的角为成的角为BADBAD= = , , sinsin=sin=sinABCABC= ,= , sin sin=sin=sinBADBAD= .= . a a b b,sin,sinsinsin. BCBC, ,即即m m n n. . 答案答案 D DABaABb22bAB 22aAB 9.9.已知直线已知直线ll平面平面 , ,直线直线m m平面平面 , ,有下面四个有下面四个 . . 命题：命题： lmlm； lmlm； lm l

11、m lmlm 其中正确的两个命题是其中正确的两个命题是 （ ） A.A.与与B.B.与与 C. C.与与D.D.与与 解析解析 命题命题即：如果两个平面互相平行，那么一即：如果两个平面互相平行，那么一 出个平面上的垂线一定垂直于另一个平面内的直线出个平面上的垂线一定垂直于另一个平面内的直线. . 命题正确命题正确. .命题命题即：如果两个平面互相垂直，那么一个平面即：如果两个平面互相垂直，那么一个平面 的垂线一定平行于另一个平面内的一条直线，的垂线一定平行于另一个平面内的一条直线，为为假命题假命题. . 命题命题即：一个平面的垂线如果平行于另一个平面即：一个平面的垂线如果平行于另一个平面 内的

12、一条直线，那么这两个平面互相垂直，命题正内的一条直线，那么这两个平面互相垂直，命题正 确确. . 命题命题即：一个平面的一条垂线如果垂直于另一个即：一个平面的一条垂线如果垂直于另一个 平面内的一条直线，那么这两个平面互相平行，命平面内的一条直线，那么这两个平面互相平行，命 题题错误错误. . 注意：由注意：由正确，可排除正确，可排除B B，C C；由；由错误，可排除错误，可排除 A A，故选，故选D D. .用这种排除法更简捷用这种排除法更简捷. . 答案答案 D D 1010. .如图，已知如图，已知ABCABC为直角三角形，其中为直角三角形，其中 ACBACB = =9090，MM为为AB

13、AB的中点，的中点，PMPM垂直于垂直于ABCABC所在平所在平 面，那么面，那么 （ ）A A.PA=PBPC.PA=PBPCB B.PA=PBPC.PA=PBPCC C.PA=PB=PC .PA=PB=PC D D.PAPBPC.PAPBPC解析解析 MM是是RtRtABCABC斜边斜边ABAB的中点，的中点，MA=MB=MC.MA=MB=MC.又又PMPM平面平面ABCABC，MAMA、MBMB、MCMC分别是分别是PAPA、PBPB、PCPC在平面在平面ABCABC上的射影，上的射影，PA=PB=PC.PA=PB=PC.应选应选C C. .答案答案 C C1111. .（2009200

14、9四川理，四川理，5 5）如图，已知六棱锥）如图，已知六棱锥P P ABCDEF ABCDEF的底面是正六边形，的底面是正六边形，PAPA平面平面ABCABC， PA=PA=2 2ABAB，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是 （ ） A A.PBAD.PBAD B B. .平面平面PABPAB平面平面PBCPBC C.C.直线直线BCBC平面平面PAEPAE D D. .直线直线PDPD与平面与平面ABCABC所成的角为所成的角为4545解析解析 若若PBADPBAD，则，则ADABADAB，但，但ADAD与与ABAB成成6060角，角，A A错误；平面错误；平面PABPAB与平面与平面A

15、BDABD垂直，所以平面垂直，所以平面PABPAB一一定不与平面定不与平面PBCPBC垂直，垂直，B B错误；错误；BCBC与与AEAE是相交直线，是相交直线，所以所以BCBC一定不与平面一定不与平面PAEPAE平行，平行，C C错误；直线错误；直线PDPD与与平面平面ABCABC所成角为所成角为PDAPDA，在，在RtRtPADPAD中，中，AD=PAAD=PA，PDA=PDA=4545，D D正确正确. .答案答案 D D1212. .如图所示，在长方体如图所示，在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， AAAA1 1 =A =A1 1D D1 1

16、= =1 1，AB=AB=2 2，E E为为ABAB的中点，则的中点，则C C1 1到平面到平面 D D1 1DEDE的距离为的距离为 （ ） A. B.2A. B.2 C. D. C. D. 23523解析解析 如图所示，采用等体积的方法解决如图所示，采用等体积的方法解决. .三棱锥三棱锥C C1 1- -DDDD1 1E E的高即的高即C C1 1点到面点到面DDDD1 1E E的距离的距离. .由由 易求得高为易求得高为 . .故选故选A A. .，VVCDDEEDDC11112答案答案 A A二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共4 4小题，每小题小题，每小题4 4分，共分，共161

17、6分）分）13.13.（20092009陕西文，陕西文，1515）如图，球）如图，球O O的半径为的半径为2 2，圆，圆O O1 1是一小圆，是一小圆，OOOO1 1= = ，A A、B B是圆是圆O O1 1上两点，若上两点，若AOAO1 1B B= ,= ,则则A A、B B两点间的球面距离两点间的球面距离为为 . . 解析解析 则则OABOAB为正三角形，为正三角形， 故故AOBAOB= .= .A A、B B两点间的球面距离为两点间的球面距离为 232, 2,2)2(22121222121BOAOABOOOAAO3.3232214.14.（20092009安徽理，安徽理，1515）对于

18、四面体）对于四面体ABCDABCD，下列命，下列命 题正确的是题正确的是 . . （写出所有正确命题的编号）（写出所有正确命题的编号） 相对棱相对棱ABAB与与CDCD所在的直线异面；所在的直线异面； 由顶点由顶点A A作四面体的高，其垂足是作四面体的高，其垂足是BCDBCD三条三条 高线的交点；高线的交点； 若分别作若分别作ABCABC和和ABDABD的边的边ABAB上的高，则这上的高，则这 两条高所在的直线异面；两条高所在的直线异面； 分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线相分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线相 交于一点；交于一点； 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱长最长棱必有某

19、个端点，由它引出的另两条棱长 度之和大于最长棱度之和大于最长棱. .解析解析 假设假设ABAB与与CDCD不是异面直线，则不是异面直线，则ABAB、CDCD共面，共面，这与这与ABCDABCD是四面体矛盾，故是四面体矛盾，故ABAB、CDCD是异面直线，是异面直线，因此因此正确，由于该四面体的相对棱不一定互相垂正确，由于该四面体的相对棱不一定互相垂直，因此过顶点直，因此过顶点A A作四面体的高其垂足不一定是作四面体的高其垂足不一定是BCDBCD三条高的交点，因此三条高的交点，因此不正确不正确. .当当ABCABC与与ABDABD是全等的三角形时，两个平面内是全等的三角形时，两个平面内ABAB边

20、上的高边上的高的垂足重合，此时两条高相交，故的垂足重合，此时两条高相交，故不正确不正确. .分别作分别作三组相对棱中点的连线，所得三条线段相交于一点，三组相对棱中点的连线，所得三条线段相交于一点，下面用向量法证明该结论正确下面用向量法证明该结论正确. .设设P P1 1、P P2 2、P P3 3分别是分别是EGEG、FHFH、MNMN的中点，又设的中点，又设 = = a a, =, =b b, =, =c c, ,则则同理，同理， （a a+ +b b+ +c c）, , ( (a a+ +b b+ +c c) ). .所以三点所以三点P P1 1、P P2 2、P P3 3重合，从而四面体

21、三条相对棱的重合，从而四面体三条相对棱的中点的连线相交于一点，故中点的连线相交于一点，故正确正确. .由于三角形的任由于三角形的任何两边之和大于第三边，因此最长棱必有某个端点，何两边之和大于第三边，因此最长棱必有某个端点，由它引出的另外两条棱的长度之和大于最长棱由它引出的另外两条棱的长度之和大于最长棱. .因此因此正确正确. .答案答案 ABACADEGABEPAEAP212111ACABAEAGAB(41)(212141) AD412AP413AP（a a+ +b b+ +c c）. .15.15.如图，在长方体如图，在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1

22、中，中， AB=BCAB=BC = =2 2，AAAA1 1= =1 1，则，则BCBC1 1与平面与平面BBBB1 1D D1 1D D所成角的正所成角的正 弦值为弦值为 . . 解析解析 如图，在平面如图，在平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1内过点内过点C C1 1作作B B1 1D D1 1 的垂线，垂足为的垂线，垂足为E.E.连结连结BE.BE. C C1 1EBEB1 1D D1 1 C C1 1EBBEBB1 1C C1 1EE平面平面BDDBDD1 1B B1 1. .CC1 1BEBE的正弦值就是所求值的正弦值就是所求值. .BCBC1 1= = ，C C1

23、1E= E= ，sinsinCC1 1BE= .BE= .答案答案 51222222225105211BCEC51016.16.如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，MM、 N N分别为分别为A A1 1B B1 1，CCCC1 1的中点，的中点，P P为为ADAD上一动点，上一动点， 记记 为异面直线为异面直线PMPM与与D D1 1N N所成的角，则所成的角，则 的取值的取值 集合为集合为 . . 2三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共6 6小题，共小题，共7474分）分）17.17.（1212分）分）(2009(2

24、009陕西理，陕西理，18)18)如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中，中，ABAB=1=1，ACAC= =AAAA1 1= = ，ABCABC=60=60. . (1) (1)证明：证明：ABABA A1 1C C； （2 2）求二面角）求二面角A AA A1 1C CB B的大小的大小. . 方法一方法一 （1 1）证明证明 三棱柱三棱柱 ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1为直三棱柱，为直三棱柱， ABABAAAA1 1. . 在在ABCABC中，中，ABAB=1=1，ACAC= = ，ABCABC=60=60, ,由正弦定理得由

25、正弦定理得ACBACB=30=30, , BACBAC=90=90, ,即即ABABACAC，ABAB平面平面ACCACC1 1A A1 1. . 又又A A1 1C C平面平面ACCACC1 1A A1 1，ABABA A1 1C C. .33 （2 2）解解 如图（如图（1 1），作），作ADADA A1 1C C交交A A1 1C C于点于点D D，连结连结BDBD，由三垂线定理知，由三垂线定理知BDBDA A1 1C C， ADBADB 为二面角为二面角A AA A1 1C CB B的的 平面角平面角. .在在RtRtAAAA1 1C C中，中， 在在RtRtBADBAD中，中，tan

26、tanADBADB= = ADBADB=arctan=arctan , , 二面角二面角A A- -A A1 1C C- -B B的大小为的大小为arctanarctan . . 方法二方法二（1 1）证明证明 三棱柱三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1为直三为直三棱柱，棱柱， AAAA1 1ABAB，AAAA1 1ACAC, ,2663311CAACAAAD36ADAB3636 在在ABCABC中，中，ABAB=1=1，ACAC= = ，ABCABC=60=60, , 由正弦定理得由正弦定理得ACBACB=30=30, , BACBAC=90=90, ,即即ABABACAC

27、. . 如图（如图（2 2），建立空间直角坐标系，），建立空间直角坐标系， 则则A A（0 0，0 0，0 0），），B B（1 1，0 0，0 0），），C C（0 0， ，0 0），），A A1 1（0 0，0 0， ），）， =(1,0,0),=(1,0,0), =(0, ,- ).=(0, ,- ). =1=10+00+0 +0 +0(- )=0,(- )=0, ABABA A1 1C C. . (2) (2)解解 如图（如图（2 2），可取），可取m m = = =(1,0,0)=(1,0,0)为平为平面面AAAA1 1C C的法向量，设平面的法向量，设平面A A1 1BCBC的法向

28、量为的法向量为3333333CAAB1ABCA1AB n n=(=(l l, ,m m, ,n n),), 则则.515arccos.51511)3(001010113,cos).1 , 1 ,3(, 1,3, 033, 03),0 ,3, 1(, 0, 012222221的大小为二面角则不妨取又BCAAnmnmnmnmmnmlnmmlBCnCAnBC18.(1218.(12分分)()(20092009成都模拟成都模拟) )如图如图1 1，在平行四边形，在平行四边形ABCD ABCD 中，中， AB=AB=1 1，BD= BD= ，ABD=ABD=9090，E E是是BDBD上的上的 一个一个

29、 动点动点. .现将该平行四边形沿对角线现将该平行四边形沿对角线BDBD折成直折成直 二面角二面角A-BD-CA-BD-C，如图，如图2 2所示所示. . （1 1）若若F F、G G分别是分别是ADAD、BCBC的中点，且的中点，且ABAB平面平面 EFGEFG，求证：，求证：CDCD平面平面EFGEFG； （2 2）当图当图1 1中中AE+ECAE+EC最小时，求图最小时，求图2 2中二面角中二面角A- A- EC-B EC-B的大小的大小. .2（1 1）证明证明 ABAB平面平面EFGEFG，平面平面ABDABD平面平面EFG=EFEFG=EF，ABEF.ABEF.FF是是ADAD的中

30、点，的中点，EE是是BDBD中点中点. .又又GG是是BCBC的中点，的中点，GECD.GECD.CDCD平面平面EFGEFG，CDCD平面平面EFG.EFG.（2 2）解解 由图由图1 1可知，当可知，当AE+ECAE+EC最小时，最小时，E E是是BDBD的的中点中点. .平面平面ABDABD平面平面BCDBCD，ABBDABBD，ABAB平面平面BCD.BCD.故以故以B B为坐标原点，平行于为坐标原点，平行于CDCD的直线为的直线为x x轴，轴，BDBD所在的直线为所在的直线为y y轴，轴，ABAB所在的直线为所在的直线为z z轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角

31、坐标系. .则则A A（0 0，0 0，1 1），），C C（1 1， ，0 0），），D D（0 0， ，0 0），），E E（0 0， ，0 0）；）； = =（0 0， ，1 1），）， = =（1 1， ，0 0）. .设平面设平面AECAEC的法向量为的法向量为n n1 1= =（x x1 1,y ,y1 1,z ,z1 1）, ,则则 n n1 1 = =0 0 0 0 x x1 1- - y y1 1+ +1 1z z1 1= =0 0 n n1 1 = =0 0 1 1x x1 1+ + y y1 1+ +0 0z z1 1= =0 0222222222222EAECEAEC

32、x x1 1=-z=-z1 1 y y1 1= z= z1 1, ,平面平面ACEACE的一个法向量为的一个法向量为n n1 1= =(-1, ,1)(-1, ,1). .而平面而平面BCEBCE的一个法向量为的一个法向量为n n2 2= =（0 0，0 0，1 1）. .coscosn n1 1，n n2 2= = ，显然，二面角显然，二面角A-EC-BA-EC-B为锐角，为锐角，二面角二面角A-EC-BA-EC-B的大小为的大小为6060. .2221|2121 nnnn|解得解得19.19.（1212分）已知侧棱垂直于底面的四棱柱分）已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDABCD- -A A

33、1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面是菱形，且的底面是菱形，且DABDAB=60=60，AD AD = =AAAA1 1，F F为棱为棱BBBB1 1的中点，点的中点，点MM为线段为线段ACAC1 1的中点的中点. . （1 1）求证：直线）求证：直线MFMF平面平面ABCDABCD； （2 2）求证：平面）求证：平面AFCAFC1 1平面平面ACCACC1 1A A1 1; ; （3 3）求平面）求平面AFCAFC1 1与平面与平面ABCDABCD所成的锐二面角的大所成的锐二面角的大小小. . （1 1）证明证明 延长延长C C1 1F F交交CBCB的延长线于点的延长线于点N

34、N，连结，连结ANAN. .因为因为F F是是BBBB1 1的中点，所以的中点，所以F F为为C C1 1N N的中点，的中点，B B 为为CNCN的中点的中点. .又又MM是线段是线段ACAC1 1的中点，故的中点，故MFMFANAN. . 又又MFMF平面平面ABCDABCD，ANAN平面平面ABCDABCD， MFMF平面平面ABCDABCD. . （2 2）证明证明 连结连结BDBD，由直四棱柱，由直四棱柱ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，可知：可知：A A1 1A A平面平面ABCDABCD，又，又BDBD平面平面ABCDABCD，A A1 1A

35、 ABDBD. . 四边形四边形ABCDABCD为菱形，为菱形，ACACBDBD. . 又又ACACA A1 1A A= =A A，ACAC、A A1 1A A平面平面ACCACC1 1A A1 1， BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1. . 在四边形在四边形DANBDANB中，中，DADABNBN且且DADA= =BNBN， 所以四边形所以四边形DANBDANB为平行四边形为平行四边形. . 故故NANABDBD，NANA平面平面ACCACC1 1A A1 1. . 又又NANA平面平面AFCAFC1 1 平面平面AFCAFC1 1平面平面ACCACC1 1A A1 1. . （

36、3 3）解解 由（由（2 2）知）知BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1， 又又ACAC1 1平面平面ACCACC1 1A A1 1， BDBDACAC1 1，BDBDNANA，ACAC1 1NANA. . 又由又由BDBDACAC可知可知NANAACAC， C C1 1ACAC就是平面就是平面AFCAFC1 1与平面与平面ABCDABCD所成锐二面所成锐二面角的平面角角的平面角. . 在在RtRtC C1 1ACAC中，中，tantanC C1 1ACAC= = ，故，故C C1 1ACAC=30=30. . 平面平面AFCAFC1 1与平面与平面ABCDABCD所成锐二面角的大小

37、为所成锐二面角的大小为 3030. .311CACC20.20.（1212分）分）如图所示，在斜三棱柱如图所示，在斜三棱柱 A A1 1B B1 1C C1 1ABCABC中，底面是等腰三中，底面是等腰三 角形，角形，AB=ACAB=AC，侧面，侧面BBBB1 1C C1 1CC 底面底面ABC.ABC. （1 1）若若D D是是BCBC的中点，的中点， 求证：求证：ADCCADCC1 1； （2 2）过侧面过侧面BBBB1 1C C1 1C C的对角线的对角线BCBC1 1的平面交侧棱于的平面交侧棱于 MM，若，若AM=MAAM=MA1 1， 求证：截面求证：截面MBCMBC1 1侧面侧面B

38、BBB1 1C C1 1C C； （3 3）AM=MAAM=MA1 1是截面是截面MBCMBC1 1侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C的充要的充要 条件吗？请你叙述判断理由条件吗？请你叙述判断理由. .（1 1）证明证明 AB=ACAB=AC，D D是是BCBC的中点，的中点，ADBC.ADBC.底面底面ABCABC侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C，且交线为，且交线为BCBC，ADAD侧面侧面BBBB1 1C C1 1C.C.又又CCCC1 1侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C，ADCCADCC1 1. .（2 2）证明证明 取取BCBC1 1的中点的中点E E，连结，连结

39、DEDE、ME.ME.在在BCCBCC1 1中，中，D D、E E分别是分别是BCBC、BCBC1 1的中点，的中点，DE .DE .又又AAAA1 1 CC CC1 1，DE AADE AA1 1. .MM是是AAAA1 1的中点（由的中点（由AM=MAAM=MA1 1知），知），DE AM.DE AM.AMEDAMED是平行四边形，是平行四边形，AD ME.AD ME.121CC21 由由（1 1）知知ADAD面面BBBB1 1C C1 1C C， MEME侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C， 又又MEME面面BMCBMC1 1, , 截面截面BMCBMC1 1侧面侧面BBBB1 1

40、C C1 1C.C.（3 3）解解 结论是肯定的，充分性已由结论是肯定的，充分性已由（2 2）证明证明. . 下面仅证明必要性（即由截面下面仅证明必要性（即由截面BMCBMC1 1侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C 推出推出AM=MAAM=MA1 1，实质是证明，实质是证明MM是是AAAA1 1的中点），的中点）， 过过MM作作MEME1 1BCBC1 1于于E E1 1. . 截面截面MBCMBC1 1侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C，交线为，交线为BCBC1 1. . ME ME1 1面面BBBB1 1C C1 1C C， 又由又由（1 1）知知ADAD侧面侧面BBBB1 1

41、C C1 1C C， ADMEADME1 1，MM、E E1 1、D D、A A四点共面四点共面. . 又又AMAM侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C，面面AMEAME1 1DD面面BBBB1 1C C1 1C=DEC=DE1 1，由线面平行的性质定理可知由线面平行的性质定理可知AMDEAMDE1 1. .又又ADMEADME1 1，四边形四边形AMEAME1 1D D是平行四边形，是平行四边形，AD=MEAD=ME1 1，DEDE1 1 AM. AM.又又AMCCAMCC1 1，DEDE1 1CCCC1 1. .又又DD是是BCBC的中点，的中点，EE1 1是是BCBC1 1的中点的中

42、点. .DEDE1 1= CC= CC1 1= AA= AA1 1，AM= AAAM= AA1 1，MA=MAMA=MA1 1. .AM=MAAM=MA1 1是截面是截面MBCMBC1 1侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C的充要条件的充要条件. .21212121.21.（1212分）如图所示，四棱锥分）如图所示，四棱锥P PABCDABCD 中，中，PAPA平面平面ABCDABCD，PBPB与底面所成与底面所成 的角为的角为4545，底面，底面 ABCDABCD为直角梯形，为直角梯形， ABC=BAD=ABC=BAD=9090,PA=BC= AD.,PA=BC= AD. （1 1）求证

43、：平面求证：平面PACPAC平面平面PCDPCD； （2 2）在棱在棱PDPD上是否存在一点上是否存在一点E E，使，使CECE平面平面 PABPAB？若存在，请确定？若存在，请确定E E点的位置；若不存在，点的位置；若不存在， 请说明理由请说明理由. .21（1 1）证明证明 设设PA=PA=1 1，由题意，由题意BC=PA=BC=PA=1 1，AD=AD=2 2. .PAPA平面平面ABCDABCD，PBPB与平面与平面ABCDABCD所成的角为所成的角为PBA=PBA=4545, ,AB=AB=1 1, ,由由ABC=BAD=ABC=BAD=9090, ,易得易得CD=AC= CD=AC

44、= ，由勾股定理逆定理得，由勾股定理逆定理得ACCD.ACCD.又又PACDPACD，PAAC=APAAC=A，CDCD平面平面PACPAC，又又CDCD平面平面PCDPCD，平面平面PACPAC平面平面PCD.PCD.2（2 2）解解 存在点存在点E E使使CECE平面平面PAB.PAB. 分别以分别以ABAB、ADAD、APAP为为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立空间直角轴建立空间直角 坐标系如图所示，坐标系如图所示， 则则P P（0 0，0 0，1 1），），C C（1 1，1 1，0 0），），D D（0 0，2 2， 0 0），设），设E E（0 0，y y，z z），则），

45、则 = =（0 0，y y，z z-1-1），）， = =（0 0，2 2，-1-1）. . ，y y （-1-1）- - 2 2（z z-1-1）= =0 0 = =(0,2,0(0,2,0）是平面是平面PABPAB的法向量，的法向量， 又又 = =（-1-1,y ,y-1-1,z ,z），若使），若使CECE平面平面PABPAB，则，则 . .PEPDPEPDADCECEAD（-1-1，y y-1-1，z z）（0 0，2 2，0 0）= =0 0，y=y=1 1代入代入，得，得z= .z= .EE是是PDPD的中点，的中点，存在存在E E点使点使CECE平面平面PABPAB，此时，此时E

46、 E为为PDPD的中点的中点. .2122.22.（1414分）（分）（20082008安徽理，安徽理，1818）如图）如图 所示，在四棱锥所示，在四棱锥O OABCDABCD中，底面中，底面 ABCDABCD是边长为是边长为1 1的菱形，的菱形，ABC= ABC= ， OAOA底面底面ABCDABCD，OA=OA=2 2，MM为为OAOA的的 中点，中点，N N是是BCBC的中点的中点. . （1 1）证明证明: :直线直线MNMN平面平面OCD;OCD; （2 2）求异面直线求异面直线ABAB与与MDMD所成角的大小；所成角的大小； （3 3）求点求点B B到平面到平面OCDOCD的距离的

47、距离. . 4方法一方法一 （1 1）证明证明 如图如图（1 1），取，取OBOB中点中点E E，连结，连结MEME、NENE，则则MEAB.MEAB.又又ABCDABCD，MECD.MECD.又又NEOCNEOC，平面平面MNEMNE平面平面OCD.OCD.又又MN MN 平面平面MNEMNE，MNMN平面平面OCD.OCD.（2 2）解解 CDABCDAB，MDCMDC为异面直线为异面直线ABAB与与MDMD所成的角所成的角( (或其补角或其补角) ). .作作APCDAPCD于点于点P P，连结，连结MP.MP.OAOA平面平面ABCDABCD，CDMP.CDMP.ADP= ADP= ，

48、DP= . DP= . MD= = MD= = ，coscosMDPMDP= = .MDC=MDP= .= = .MDC=MDP= .ABAB与与MDMD所成角的大小为所成角的大小为 . .（3 3）解解 ABAB平面平面OCDOCD，点点B B和点和点A A到平面到平面OCDOCD的距离相等，连结的距离相等，连结OPOP，过点，过点A A作作AQOPAQOP于点于点Q.Q.APCDAPCD，OACDOACD，CDCD平面平面OAP.OAP.AQAQ平面平面OAPOAP，AQCD.AQCD.又又AQOPAQOP，AQAQ平面平面OCDOCD，线段，线段AQAQ的长就是的长就是点点A A到平面到

49、平面OCDOCD的距离的距离. .422222ADMA MDDP2133点点B B到平面到平面OCDOCD的距离为的距离为 . .方法二方法二 作作APCDAPCD于点于点P.P.如图如图(2)(2)所示所示, ,分别以分别以ABAB、APAP、AOAO所在直线为所在直线为x x、y y、z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系. .32223222,22,223211422222OPAPOAAQDPAPDPADOADPODOP32图图（2 2）A A（0 0，0 0，0 0），B B（1 1，0 0，0 0），P P(0(0， ，0 0），），D D（ ），）， O O（0 0，0 0

50、，2 2），），MM（0 0，0 0，1 1），），N N（ ）. .220 ,22,220 ,42,421（1 1）证明证明设平面设平面OCDOCD的法向量为的法向量为n n=(x,y,z=(x,y,z) )，则，则n n =0, =0,n n =0. =0.即即取取z= ,z= ,解得解得n n= =(0,4, )(0,4, ). . n n= =（ ）（0 0，4 4， ）= =0 0，MNMN平面平面OCD.OCD.OPOD)222, 0(),1,42,421 (，OPMN)2,22,22(OD. 0222220222zyx，yz2MN142421，22（2 2）解解 设设ABAB与与