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1、三角形的五心,一 重心,三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。,锐角三角形,钝角三角形,直角三角形,重心,重心的性质,1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。,重 心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好,外心,三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。,锐角三角形,钝角三角形,直角三角形,外心,外心的性质：,1、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外
2、心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。,2、外心到三顶点的距离相等,外 心 三角形有六元素， 三个内角有三边 作三边的中垂线， 三线相交共一点 此点定义为“外心”， 用它可作外接圆 “内心”“外心”莫记混， “内切”“外接”是关键,三角形垂心,三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。,锐角三角形,钝角三角形,直角三角形,垂心,垂心的性质：,1、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 2、垂心分每条高线的两部分乘积相等。,垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相
3、似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清 三角形垂心到任一顶点的距离等于其外心到对边距离的2倍,三角形内心,三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。,锐角三角形,钝角三角形,直角三角形,内心,1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。,内心的性质：,内 心 三角对应三顶点， 角角都有平分线， 三线相交定共点， 叫做“内心”有根源； 点至三边均等距， 可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然,三角形旁心,三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。,三角形的中心
4、：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。,三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。,定义： 重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心; 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心; 旁心：是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。 中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。,三角形四心的复习,中线,高线,中垂线,角平分线,2:1,顶点,三边,内部,内部,外部,直角顶点,内部,外部,
5、斜边中点,内部,重心： 证明三条中线交于同一点重心分中线的比为2：1,证法1图,证法2图,外心： 证明三条垂直平分线交于同一点,内心： 证明三条角平分线交于同一点,相关结论,(1)三角形的内心到三角形三边距离相等. (2)三角形的外心到三角形三个顶点距离相等. (3)三角形的重心把每条中线均分成2:1两部分. (4)直角三角形的内切圆半径r= (a+b-c);外接圆半径R= (5)三角形面积公式：S= 周长 r (6)等腰三角形的内心、外心、重心、垂心共线(均在对称轴上). (7)等边三角形的内心、外心、重心、垂心共点.,三角形各心常见应用举例,例1：三条直线a、b、c 分别表示三条相互交叉的
6、公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路距离相等，则可供选择的地址有几处？ 例2：A、B 、C三个点分别表示三个学校，要建一个快餐店，使三个学校到快餐店距离相等，则快餐店应建在何处？,练习,1。等腰三角形底边上的高与底角的平分线的交点是等腰三角形的 心。 2。点P是ABC内部一点，且PAB, PBC,PAC面积相等，则点P是ABC的 心。 3。O与ABC三边相交所截得的线段相等，则点O是ABC的 心。,例1 设G为ABC的重心，M、N分别为BC、CA的中点， 求证：四边形GMCN 和GAB的面积相等,典型例题,例2 证明三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍,练一练：,已
7、知三角形三边长分别为5、12、13，那么： 垂心到外心的距离是 ， 重心到垂心的距离是 ， 垂心到最大边的距离是 ， 斜边上的高是 ， 重心到最长边的距离是 。 外心到最短边的距离是 ， 内心到垂心的距离是 。,小结,三角形的主要线段中线、高、内角平分线及各边的垂直平分线各交于一点 “四心”不要混淆，中线是“重心”（“中”与“重”谐音），高线是垂心（高与垂直有关），外接圆圆心是外心，因它到三角形三顶点距离相等，故必是三边垂直平分线的交点。内切圆圆心是内心，因它到三角形三边距离相等，所以它必在三内角的平分线上。 “四心”在同一三角形中的位置关系是：等腰三角形中“四心”共线，在对称轴上。等边三角形中“四心”共点，称为“中心”。,