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1、一 重心三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。 锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形重心的性质重心的性质 1、重心到顶点的距离与重心到对边、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为中点的距离之比为2 1。 2、重心和三角形、重心和三角形3个顶点组成的个顶点组成的3个个三角形面积相等。即重心到三条边的距三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。离与三条边的长成反比。w 重 心 w三条中线定相交，交点位置真奇巧，三条中线定相交，交点位置真奇巧， w 交点命名为交点命名为“重心重心”，重心性质要明了，重心性质要明了，w 重心分割中线段，数段之比
2、听分晓；重心分割中线段，数段之比听分晓； w长短之比二比一，灵活运用掌握好长短之比二比一，灵活运用掌握好 外心外心三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形外心的性质：外心的性质： 1、当三角形为锐角三角形时，外心在三、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 2、外心到三顶点的距离相等、外心到
3、三顶点的距离相等 w外外 心心 w 三角形有六元素，w 三个内角有三边 作三边的中垂线，w 三线相交共一点 此点定义为“外心”，w 用它可作外接圆 “内心”“外心”莫记混，w “内切”“外接”是关键三角形垂心三角形垂心 三角形的三条高（所在直线）交于一点，三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。该点叫做三角形的垂心。锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形垂心的性质：垂心的性质： 1、垂心到三角形一顶点距离为此三角、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的形外心到此顶点对边距离的2倍。倍。 2、垂心分每条高线的两部分乘积相等。、垂心分每条高线
4、的两部分乘积相等。w 垂垂 心心 w 三角形上作三高，三高必于垂心交 w 高线分割三角形，出现直角三对整， w 直角三角形有十二，构成六对相似形， w 四点共圆图中有，细心分析可找清 w三角形垂心到任一顶点的距离三角形垂心到任一顶点的距离等于其外心到对边距离的等于其外心到对边距离的2倍倍 三角形内心三角形内心 三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形 1、三角形的三条内角平分线交于一、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形的内心到边的距离等
5、、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。之一。 内心的性质：内心的性质： w内内 心心 w 三角对应三顶点，w 角角都有平分线， 三线相交定共点，w 叫做“内心”有根源； 点至三边均等距，w 可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然 三角形旁心三角形旁心 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。做三角形的旁心。 三角形的中心：只有正三角形才三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，有中心，这时重心
6、，内心，外心，垂心，四心合一。垂心，四心合一。 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。w 定义：w 重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; w 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;w 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; w 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心; w旁心：是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。 w 中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。三角形四心的复习三角形四心的复习重心重心垂心垂心外心外心内心内心定义定义三条三条_ _的的交点交点(即内切
7、圆圆心). 三条三条_的交点的交点三条三条_的的交点交点(即外接圆圆心).三条三条_的交点的交点图形图形性质性质重心分中线重心分中线比为比为_ 外心到外心到_距离距离相等相等 内心到内心到_距离相距离相等等 位置位置必在的必在的_ 锐角在锐角在_，钝角，钝角在在_直角在直角在_ 锐角在锐角在_，钝角在钝角在_，直角，直角在在_。 必在的必在的_ 中线中线高线高线中垂线中垂线角平角平分线分线2:1顶点顶点三边三边内部内部内部内部外部外部直角顶点直角顶点内部内部外部外部斜边中点斜边中点内部内部重心：重心：w 证明三条中线交于同一点重心分中证明三条中线交于同一点重心分中线的比为线的比为2：1证法证法
8、1 1图图证法证法2 2图图外心：外心：证明三条垂直平分线交于同一点证明三条垂直平分线交于同一点内心：内心：证明三条角平分线交于同一点证明三条角平分线交于同一点相关结论(1)三角形的内心到三角形三边距离相等.(2)三角形的外心到三角形三个顶点距离相等.(3)三角形的重心把每条中线均分成2:1两部分.(4)直角三角形的内切圆半径r= (a+b-c);外接圆半径R=(5)三角形面积公式：S= 周长 r(6)等腰三角形的内心、外心、重心、垂心共线(均在对称轴上).(7)等边三角形的内心、外心、重心、垂心共点.2 2C C2 21 12 21 1三角形各心常见应用举例w 例1：三条直线a、b、c 分别
9、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路距离相等，则可供选择的地址有几处？w 例2：A、B 、C三个点分别表示三个学校，要建一个快餐店，使三个学校到快餐店距离相等，则快餐店应建在何处？练习w 1。等腰三角形底边上的高与底角的平分线的交点是等腰三角形的 心。w 2。点P是ABC内部一点，且PAB, PBC,PAC面积相等，则点P是ABC的 w 心。w 3。 O与ABC三边相交所截得的线段相等，则点O是ABC的 心。例例1 设G为ABC的重心，M、N分别为BC、CA的中点，求证：四边形GMCN和GAB的面积相等 典型例题例例2 证明三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边
10、的距离的二倍 练一练：w 已知三角形三边长分别为5、12、13，那么：w 垂心到外心的距离是 ，w 重心到垂心的距离是 ，w 垂心到最大边的距离是 ，w 斜边上的高是 ，w 重心到最长边的距离是 。w 外心到最短边的距离是 ，w 内心到垂心的距离是 。 w小结w 三角形的主要线段三角形的主要线段中线、高、内角平分中线、高、内角平分线及各边的垂直平分线各交于一点线及各边的垂直平分线各交于一点w “四心四心”不要混淆，中线是不要混淆，中线是“重心重心”（“中中”与与“重重”谐音），高线是垂心（高与垂直有谐音），高线是垂心（高与垂直有关），外接圆圆心是外心，因它到三角形三顶关），外接圆圆心是外心，因它到三角形三顶点距离相等，故必是三边垂直平分线的交点。点距离相等，故必是三边垂直平分线的交点。内切圆圆心是内心，因它到三角形三边距离相内切圆圆心是内心，因它到三角形三边距离相等，所以它必在三内角的平分线上。等，所以它必在三内角的平分线上。w “四心四心”在同一三角形中的位置关系是：等在同一三角形中的位置关系是：等腰三角形中腰三角形中“四心四心”共线，在对称轴上。等边共线，在对称轴上。等边三角形中三角形中“四心四心”共点，称为共点，称为“中心中心”。