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1、-基本不等式知识点归纳-第 6 页 基本不等式知识点总结向量不等式：【注意】：同向或有；反向或有；不共线.(这些和实数集中类似)代数不等式：同号或有；异号或有.绝对值不等式： 双向不等式：（左边当时取得等号，右边当时取得等号.）放缩不等式：，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：.，则；函数图象及性质(1)函数图象如图：(2)函数性质：值域：；单调递增区间：，；单调递减区间：，. 基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)【变形】：（当a = b时，）【注意】： ，2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算
2、术平均几何平均调和平均”*.若，则 (当且仅当时取“=”）; 若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）*.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）： *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以ab得或。 *均为正数，八种变式： ； ； ；若b0,则；a0,b0,则；若a0,b0,则； 若，则。上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。最值定理（积定和最小），若积，则当时和有最小值；（和定积最大），若和，则当是积有最大值.【推广】：已知，则有.（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时
3、，最小.（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.已知，若，则有则的最小值为：已知，若则和的最小值为：应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数最大值.凑项（加、减常数项）：例2.已知 ，求函数的最大值.调整分子：例3.求函数的值域；变用公式：基本不等式有几个常用变形,，不易想到，应重视；例4.求函数的最大值；连用公式：例5.已知，求的最小值；对数变换：例6.已知，且，求的最大值；三角变换：例7.已知，且，求的最大值；常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：平方和为定值若（为定值，），可设，其
4、中.在上是增函数，在上是减函数；在上是增函数，在上是减函数；.令，其中.由，得，从而在上是减函数.和为定值若（为定值，），则在上是增函数，在上是减函数；.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数.在上是减函数，在上是增函数；积为定值若（为定值，），则.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数；.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数；在上是减函数，在上是增函数.倒数和为定值若（为定值，），则成等差数列且均不为零，可设公差为，其中，则得.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上减函数；.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数；.令，其中且，从而在上是增函数，在上是减函数.