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1、精选优质文档-倾情为你奉上 基本不等式知识点总结向量不等式:【注意】:同向或有;反向或有;不共线.(这些和实数集中类似)代数不等式:同号或有;异号或有.绝对值不等式: 双向不等式:(左边当时取得等号,右边当时取得等号.)放缩不等式:,则.【说明】:(,糖水的浓度问题). 【拓展】:.,则;,;,.,.函数图象及性质(1)函数图象如图:(2)函数性质:值域:;单调递增区间:,;单调递减区间:,. 基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式:(当且仅当时取到“”)【变形】:(当a = b时,)【注意】: ,2、均值不等式:两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平
2、均算术平均几何平均调和平均”*.若,则 (当且仅当时取“=”); 若,则 (当且仅当时取“=”)若,则 (当且仅当时取“=”)*.若,则 (当且仅当时取“=”)若,则 (当且仅当时取“=”)3、含立方的几个重要不等式(a、b、c为正数):(,); *不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当时,同时除以ab得或。 *均为正数,八种变式: ; ; ;若b0,则;a0,b0,则;若a0,b0,则; 若,则。上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。最值定理(积定和最小),若积,则当时和有最小值;(和定积最大),若和,则当是积有最大值.【推广】:已知,则有.(1)若积是定值,则当最大时,最
3、大;当最小时,最小.(2)若和是定值,则当最大时,最小;当最小时,最大.已知,若,则有则的最小值为:已知,若则和的最小值为:.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”:凑系数(乘、除变量系数).例1.当 时,求函的数最大值.凑项(加、减常数项):例2.已知 ,求函数的最大值.调整分子:例3.求函数的值域;变用公式:基本不等式有几个常用变形,,不易想到,应重视;例4.求函数的最大值;连用公式:例5.已知,求的最小值;对数变换:例6.已知,且,求的最大值;三角变换:例7.已知,且,求的最大值;常数代换(逆用条件):例8.已知,且,求的最小值.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞:平方和为定值若(为定值
4、,),可设,其中.在上是增函数,在上是减函数;在上是增函数,在上是减函数;.令,其中.由,得,从而在上是减函数.和为定值若(为定值,),则在上是增函数,在上是减函数;.当时,在上是减函数,在上是增函数;当时,在上是减函数,在上是增函数.在上是减函数,在上是增函数;积为定值若(为定值,),则.当时,在上是减函数,在上是增函数;当时,在上是增函数;.当时,在上是减函数,在上是增函数;当时,在上是减函数;在上是减函数,在上是增函数.倒数和为定值若(为定值,),则成等差数列且均不为零,可设公差为,其中,则得.当时,在上是减函数,在上是增函数;当时,在上是增函数,在上减函数;.当时,在上是减函数,在上是增函数;当时,在上是减函数,在上是增函数;.令,其中且,从而在上是增函数,在上是减函数.专心-专注-专业