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1、第二章 一元函数微分学,一 导数 二 微分 三 微分中值定理 四 洛必达法则 五 导数的应用,第一节 导数,定义,(一) 导数的概念与性质,其它形式,即,关于导数的说明:,明显:,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,几何意义,切线方程为:,法线方程为:,可导与连续的关系,定理:可导连续 (逆否命题)不连续不可导 (逆命题)连续可导?不一定 例:y=|x|在x=0处连续,但在x=0处不可导。,(二)导数的运算,基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则,设u=u(x),v=v(x)都可导,则,反函数的求导法则,复合函数的求导法则,隐函数求导法则,设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定,求y,
2、只需直接由方程F(x,y)=0关于x求导,将y当做中间变量,依复合函数链式法则求之。,由参数方程确定的函数求导法则,对数求导法,练习,p28 例1 例5 例8 例16 例23 例24 例25 例31 例36,第二节 微分,先看个例子:,微分的运算法则,复合函数的微分,这个性质称为一阶微分形式不变性。,练习 p36 例37 例40 例44,第三节 微分中值定理,若函数f(x)在区间I上导数恒为零,则f(x)在区间I上是一个常数。,若在区间(a,b)内,恒有f(x)=g(x),则在(a,b)内必有f(x)=g(x)+C, 其中C为某个常数。,推论,p39 例47 例48,练习,第四节 洛必达法则,
3、可转化为洛必达的形式,例,例,例,解,例,例,练习,p43 例51 例57,第五节 导数的应用,(一)求曲线的切线方程与法线方程 (二)函数的单调性与极值 (三)函数的最值 (四)曲线的凸凹性,(一)求曲线的切线方程与法线方程,当,0时,法线方程为,-1/,(二)函数的单调性与极值,1 函数单调性,定理,2 函数的极值,定理(极值的必要条件) 设f(x)在点x0处可导,且x0为f(x)的极值点,则f(x0)=0.,(三)函数的最大值与最小值,设函数y=f(x)在闭区间a,b上有定义,x0a,b,若对于任意xa,b, 恒有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0),则f(x0)为函数y=f(x)在
4、闭区间a,b上 的最大值(或最小值),称点x0为f(x)在a,b上的最大值点(或最 小值点)。,注 极值与最值的区别 极值是一个局部概念 ,只是某个点的函数值与它附近点的函数值 比较最大或最小,并不意味着它在函数整个定义域内最大或最小。 而最值是对整个定义域而言,是一个整体性的概念。,函数最值求法步骤:,(1)求出 ) (xf的所有极值点(驻点和导数不存在 的点); (2)计算并比较f(x)在所有极值点及两个端点处的值,其中最大者就 是最大值,最小者就是最小值。,(四)曲线的凸凹性,凹,凸,定理1,曲线的拐点,渐近线,定义 当曲线上一点M沿曲线y=f(x)无限远离原点时,如果M到一条直线L的 距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 若直线L与x轴平行,则称L为曲线y=f(x)的水平渐近线。 若直线L与x轴垂直,则称L为曲线y=f(x)的铅直渐近线。,练习 p48 例59 例60 例65 例70 例72 例75 例77,