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1、二、典型例题分析与解答二、典型例题分析与解答 第二、三章机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数微分学总结一、知识点与考点一、知识点与考点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、知识点与考点一、知识点与考点(一)导数与微分00000()()()limx xxf xxf xdyf x|dxx若令0 xxx1.导数定义:则0000( )()()limxxf xf xf xxx0( )(0)(0)limxf xff x2.左右导数:0000000()()( )()()limlimxxxf xxf xf xf xf xxxx0000000()()( )()()limlimxxxf xxf xf
2、xf xf xxxx左导数:右导数:机动 目录 上页 下页 返回 结束 0()( )( ) = limxf xxf xf xx00() =( )x=xf xf x |.导函数简称导数,且有函数 y = f (x) 在点4.导数的几何意义:0()f x处的导数0 x表示曲线y = f (x)在点处的切线斜率.00()M x ,y即有0() = tanf x.曲线的切线方程为000()().yyf xxx3.导函数的定义:曲线的法线方程为00001()()0 .() yyxxf xf x （）yxo0y0 x00()M x ,yTN 是 x0时比x 高阶的无穷小量,并称Ax为f (x)在其中A是与
3、x 无关的量,若函数的增量可表示为y=Ax+ ,则称 y = f (x) 在点 x 处可微 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 记为dy , 即dy=Ax .5.微分的定义:由于x=dx ,所以( ),Af x6.微分的几何意义:( )dyf x dx.点 x 处的微分,yxoxTxxdyy当y是曲线y = f (x) 上点的纵坐标的增量时, dy表示曲线的切线纵坐标的增量.7.基本定理定理1(导数存在的判定定理)定理2(函数可导与连续的关系)机动 目录 上页 下页 返回 结束 可导函数必连续,但连续函数未必可导.可导000()()().-+f xf x= f x定理4.(函数与其反函数的导
4、数的关系)可微1dxdydydx反函数的导数等于直接函数导数的倒数.定理3.(函数一阶可导与可微的关系)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5)(6)(7)设 ( )yf u及dydy du,dxdu dx ( )yfx(4) ( )dyf u du均为可导函数, 则复合函数 可导, 且或 (微分形式不变性)2( )uuvuv =vv2( )uvduudvd=vv()cu = cu()d cu = cdu2( )ccv =vv2( )ccdvd=vv()uvw =uvw+uvw+uvw()d uvw = vwdu+uwdv+uvdw( )u=x( )( )xuxy = yuf u x8.运算
5、法则(1)()uv =uv()d uv = dudv()u v =uv+uv()d u v = vdu+udv(3)(2) 9.基本初等函数的导数与微分公式(3)(1)( )0C = .(2)(4)(8)机动 目录 上页 下页 返回 结束 1(ln )x .x1() =-d xxdx.( ) = 0d C(ln )dxdx.x()lnxxaaa.1() =-xx.(5)(6)(7)()lnxxd aaadx.()xxe e .()xxd ee dx.1(log)lnax .x a(log)lnadxdx.x a(sin )cosx x.(sin )cosdxxdx.(cos )sinx x.
6、(cos )sin dxxdx.(9)221(tan )=seccosxx.x22(tan ) =seccosdxdxxdx.x机动 目录 上页 下页 返回 结束 (10)(11)(14)(15)(12)(13)221(cot )=cscsinxx.x 22(cot ) =cscsindxdxxdx.x (sec )sec tanxxx.(sec )sec tandxxxdx.(csc )csc cotxxx. (csc )csc cot dxxxdx.21(arcsin )1x.x2(arcsin )1dxdx.x21(arccos )1x.x 2(arccos )1dxdx.x 21(ar
7、ctan )1x.x2(arctan )1dxdx.x(16)21(arccot )1x.x 2(arccot )1 dxdx.x(17)221ln(1)1xx.x10.高阶导数220()( )limxd yf xxf xydxx1110()( )limn( n)( n)( n )( n)nxd yfxxfxyydxx例例1. 设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx06lim200 )0(fxxx012lim200 )
8、(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x机动 目录 上页 下页 返回 结束 11.方程确定的隐函数的导数例例2.设函数 y= y (x) 由方程确定,dydx.求cos()0 x yexy解法1:方程两边对x 求导数得:(1)sin()()0,x+yeyxyyxy解得sin()sin()x yx ydyyxye.dxexxy方程两边微分得:解法2:()sin()()0 x yedxdyxyydxxdy,sin()sin()x yx ydyyxye.dxexxy解得:sin() sin()x yx+yexxy dyyxyedx, 12.参
9、数方程确定的函数的导数例例3. 设求机动 目录 上页 下页 返回 结束 21xt cosyt22d y.dx2,dxtdtsin, dytdtsin2dytdtdxtdt1 sin2t.t 22d ydx解:()ddydx dx1 sin()2dtdxt1 sin()2dt dtdttdx21 cossin 122ttttt 3sincos4tttt13.对数求导法:求“幂指函数”及多个因子相乘除函数的导数时用对数求导法.解法解法1:取对数取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 sinlnlnxyx1sincos lnxyx xyxsinsin(cos ln).xxyxx xx等式两边对 x
10、 求导数:则有:sin lnx x例例4. 设sin(0),xyxxy.求解法解法2: 作作指数对数恒等变形指数对数恒等变形:sinsinln()sin ln=,xxxxxyxeesin ln= ()xxyesin ln=(sinln )xxexxsin1=(coslnsin).xxxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 425(1)2(3)xxyx123ln1ln(2)ln345ln yxxx例例5.设则有131214(2)5(3)yyxxx解解y.求取对数等式两边对 x 求导数:3 425(1)231214(2)5(3)(3)xxyxxxx(二) 中值定理机动 目录 上页 下页 返
11、回 结束 1.罗尔定理(1)在闭区间a , b上连续;(3) 且 f (a) = f (b) ;成立.(2)在开区间(a , b)内可导;若函数 f (x) 满足条件:则在开区间(a , b)内至少存在一点 使2.拉格朗日中值定理 若函数 f (x) 满足条件:(1)在闭区间a , b上连续;(2)在开区间(a , b)内可导;则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式( )0f .( )( )( )()()f bf af baab3. 柯西中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 0;F(x)成立.( )( )( )()( )( )( )f bf af abF bF aF若函数 f (
12、x) ,F (x) 满足条件:(1)在闭区间a , b上连续;(2)在开区间(a , b)内可导且则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式(三)导数的应用定理1 设函数 f (x)在(a , b)内可导,1. 函数的单调性()xa,b 若对都有( )0( )0),f xf x或则称 f (x)在(a , b)内单调增(减) .2.函数的极值0( )()f xf x设函数 f (x) 在0 x内有定义, x 为该邻域内异于机动 目录 上页 下页 返回 结束 0()U x的任意一点,若恒有(或0( )()f xf x则称为 f (x) 在该邻域的极大(小)值.0()f x极大值与极小值统称为
13、函数的极值,方程使函数取得极值的点称为极值点.定理2. (函数取得极值的必要条件) 的根称为函数 f (x) 的驻点.则有设函数 f (x)在点 处可导,(可导函数的极值点必为驻点)( ) = 0f x0() = 0.f x且在该点处取得极值,0 x定理3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 (函数取得极值的第一充分条件)设函数 f (x)在内可导,0()U x0() = 0,f x且(或 f (x)在点0 x处连续但不可导).(1) 若当x 由左至右经过0 x时( )f x由“+”变“”,则0()f x为函数的极大值.(2)若当x由左至右经过时由“-”变“+”,(3) 若当x由左至右经过为函
14、数的极小值.则0 x( )f x则不变号,不是0()f x0 x时( )f x0()f x函数的极值.定理4机动 目录 上页 下页 返回 结束 (函数取得极值的第二充分条件)设函数 f (x)在0 x处0()0,f x0() = 0,f x且(1) 若0()0,f x则0()f x为函数 f (x)的极大值.(2) 若0()0,f x则0()f x为函数 f (x)的极小值.3.函数的最值求连续函数 f (x)在a , b上的最值的步骤:(1).求 f (x)在(a , b) 内的驻点及导数不存在的点;(2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值;(3).比较上述函数值, 其中最大者为最大值,
15、最小者为最大值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 12x ,x恒有1212()()22xxf xf xf(弧在弦的下方)(或则称曲线 f (x)在(a , b)内为凹(凸)弧.曲线上凹弧与凸弧的分界点4.函数曲线的凹凸性和拐点设函数 f (x)在(a , b)内连续,若对于(a , b)内任意两点1212()()22xxf xf xf(弧在弦的上方)xyoxyo1x2x122xxxyo1x2x122xx称为曲线的拐点.定理1.(曲线凹凸性的判定定理)( ) 0,( )0)f xf x 或若在(a , b)上机动 目录 上页 下页 返回 结束 则曲线 y = f (x) 在00() = 0()
16、,f xf x或不存在0 x当x 自左至右经过定理2.(曲线拐点的判定定理) 若在处0 x时( )f x变号, 则00()x , f x是曲线y = f (x) 的拐点.(a , b) 上为凹(凸)弧.二二典型例题分析与解答应填1.1已知则(3)2f ,0(3)(3)lim2hfhf_.h013()(3)lim2hfhf=h 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 0(3)(3)lim2hfhfh1(3)2f 注释注释: 本题考查导数的定义.122 1. 例例6.设例例7.2,1( ),1xexf xaxb x在在处可导处可导,求求, .a b1x 解解:( )f x 在在1x 处处连续连
17、续且且可导可导,即即(1 )(1 )(1),(1)(1).fffff211(1)lim( )lim,xxxff xee11(1 )lim( )lim(),xxff xaxbab(1 )(1)(1 ), (1) .abefff 由由2211(1)limlim22 ,1xxxxeefxeex11(1)limlim.11xxaxbeaxbabfaxx由由(1)(1)2 (2).fefa再代入再代入(1)得得.ae 例例8. 设f (x)可导,( )( )(1sin )F xf x|x|则是F (x)在x=0可导的( ).(A) 充分必要条件 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 (0)0f(B) 充
18、分条件但非必要条件;(C) 必要条件但非充分条件;解解:直接计算解此题.由于A(D) 既非充分条件又非必要条件.( ) sinf x |x|而f (x)可导,所以F (x)的可导性与( )( )(1sin )F xf x|x|的可导性相同.=( )+( )|sin |,f xf xx故选项(A)正确. (x)在 x = 0 处可导的充分必要条件是机动 目录 上页 下页 返回 结束 0( ) sin(0) = limxf x |x|x注释注释:即f (0) = 0 .本题考查函数在一点处可导的充要条件.0( )sin= limxf xxx(0)f0( ) sin(0) = limxf x |x|
19、x0( )sin= limxf xxx(0)f (0) =(0),ff令( )( ) sinxf x |x|由导数的定义知解题过程中化简题目的解题技巧应注意掌握.0= lim( )xf x0=lim( )xf x例例9 曲线在点(0,1)处的切线方程是_.曲线在点(0,1)的切线方程为解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释: ( ) 1cos()( )1y xxyyxy x.yx两边对x求导得:(0)1y.1yx. 1yx.即为sin()ln()xyyxx将 x = 0, y = 1 代入式得:本题考查隐函数求导数及导数的几何意义.1yx.例例10 设函数设函数( )yy x由方程
20、由方程1xyyxe 确定确定,求求(0),(0).yy解解 由由( )( ), (1)xyxyy xexeyxy x( )( )( )xyxyy xeyxy xeyxy x( )( )(2( )( ),(2)xyxyxeyxy xyxy xxey xxy x0011()( )1.xyxyxxyyeeyxy x由原方程得由原方程得0,1,xy代入代入(1)得得(0)1,y再将再将0,1,xy(0)1,y代入代入(2)得得(0)2.y注释注释 本题考查求隐函数在求隐函数在一点一点处的一阶、二阶导数处的一阶、二阶导数.注意求导数时注意求导数时,不必写出导函数不必写出导函数.机动 目录 上页 下页 返
21、回 结束 例例1111 证明方程证明方程cbacxbxax 23423在在(0,1)(0,1)内至少有一实根内至少有一实根 分析分析 如令如令)(234)(23cbacxbxaxxf )1(),0(ff则则的符号不易判别的符号不易判别不便使用介值定理不便使用介值定理用用 RolleRolle 定理来证定理来证证证 令令xcbacxbxaxxf)()(234 则则内可导内可导上连续，上连续，在在)1 , 0(1 , 0)(xf且且0)1()0( ff故由故由RolleRolle 定理知定理知0)()1 , 0( f使使即即cbacxbxax 23423在在(0,1)(0,1)内有一实根内有一实根
22、例例12.处( ).设y=f (x)是方程则函数f (x)在点且机动 目录 上页 下页 返回 结束 (C) 某邻域内单调增加;(B) 取得极小值;的一个解,(A) 取得极大值;解解: :240yyy0()0f x,0() = 0f x,0 x(D) 某邻域内单调减少.由于y = f (x) 是方程240yyy的一个解,所以有( )2( )4 ( )0f xf xf x.即有000()2()4 () = 0f xf xf x.将0()0f x,0() = 0f x代入上式得00() =4 () 0f xf x.所以函数f (x)在点0 x处取得极大值.A选项(A)正确.机动 目录 上页 下页 返
23、回 结束 例例13.且设 f (x)有二阶连续导数,则( ).(A) f (0) 是 f (x)的极大值;(0)0f ,0( )lim1xf x,|x|(B) f (0) 是 f (x)的极小值;(C) (0,f (0) )是曲线y= f (x)的拐点;(D) f (0)不是 f (x) 的极值点,(0,f (0) )也不是曲线y= f (x)的拐点.解解:由于0( )lim10 xf x,|x| 由极限的保号性知存在 x= 0的某去心邻域,在此邻域内有( )0f x,|x|即有( )0f x.B即有机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于0( )(0)(0)lim0 xf xf f .x当x
24、 0时, ( ) 0,f x函数 f (x)单调增.故选项(B)正确.例例14.由于x =1 是 (x)在(0,+)21( ) = 2ln +1+ xx.x机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )0,x则 (x) 在x=1处取得极小值.又 (1) = 0 ,即则当x 0 时,(1) = 2 0,则 (x) 在x=1处取得区间(0,+)22(1)ln(1)xxx.试证:当x 0 时,22(1)ln(1)xxx.证证: 令 22( ) = (1)ln(1)xxxx.易知 (1) = 0 .1( ) = 2 ln2(1) xx xxxx1= 2 ln2x xx.x(1) = 0.内的唯一的极小值点
25、,上的最小值.证毕.例例15. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 20sin1lim11xxex.x解法一解法一原式=02coslim1xxexxx221112x x ,则注释注释:本题考查洛必达法则求未定式极限.由于x0时,0coslimxxexx0sinlim1xxex1.解法二解法二原式=20sin1lim12xxexx0coslimxxexx0sinlim1xxex1.解法2先对分母用等价无穷小代换,再用洛必达法则.例例16.原式=解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释:20tanlimtanxxxxx本题考查洛必达法则求未定式极限.2011limtanx_.xxx（）
26、应填解题过程30tanlimxxxx220sec1lim3xxx220tanlim3xxx220lim3xxx13.13.13中应特别注意应用无穷小代换以简化计算.填空题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例17 已知,00)1 ()(1xbaxxxxfx在解解: 由题0 x求)(xf处可导,ba,在0 x处连续， 则),(lim)(lim00 xfxfxx即, eb 且),0()0(ff考虑)0( f0)1 (lim10 xexxx0)0()(lim0 xfxfx) 1() 1ln() 1()1 (lim210 xxxxxxxxxxxex23) 1ln(lim20 xxxex23lim20
27、2e2ea(08-09, 三三(1)0( fa例例18. 18. 求数列求数列nn的最大项的最大项 . .证证: : 设设),1()(1xxxfx用对数求导法得用对数求导法得)ln1()(21xxxfx令令,0)( xf得得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1因为因为)(xf在在),1只有唯一的极大点只有唯一的极大点,ex 因此在因此在ex 处处)(xf也取最大值也取最大值 . .又因又因,32 e442 且,33nn为数列故33中的最大项中的最大项 . .极大值极大值列表判别列表判别: :例例19.(1)存在( )( )1f f .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (0) = 1 0,使得( )( )10f, ( )1f=.即使得第二节 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释:证毕.本题(2)考查拉格朗日中值定理的应用.( )(0)1( ) =fff ,本题(1)考查连续函数零点定理的应用;(1)( )1 (1)( ) =111fff ,1( )( )11f f .(2) 由拉格朗日中值定理, 存在(0, ),(1),