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1、-周期问题(含答案)-第 6 页简单的周期问题一、填空题1某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_2 1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期_3按如图摆法摆80个三角形，有_个白色的4节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是_灯5时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是_时6把自然数1，2，3，4，5如表依次排列成5列，那么数“1992”在_列7把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是_8循环小数与这两个循环小数在小数
2、点后第_位，首次同时出现在该位中的数字都是79一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，共有1991个数（1）其中共有_个1，_个9_个4；（2）这些数字的总和是_10 所得积末位数是_二、解答题（共4小题，满分0分）11紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如89=72，在9后面写2，92=18，在2后面写8，得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？121991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13 n=，那么n的末两
3、位数字是多少？14在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期二考点：日期和时间的推算。1665141分析：因为某年二月份有五个星期日，又知47=28，所以这年二月份应为29天，而且可知2月1日和2月29日均为星期天所以3月1日为星期一到六月一日经过了3月、4月、5月，因为3月、5月又1天，4月有30天，所以共有31+30+31+1=93天，每个星期有七天，所以93
4、7=132，所以6月1日是星期二解答：解：因为74=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了31+30+31+1=93（天）937=132，所以这年6月1日是星期二答：这年六月一日是星期二故答案为：二点评：本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年2（3分）198
5、9年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期日考点：日期和时间的推算。1665141分析：先求出这十年有多少天，再求这些天里有多少周，还余几天；再根据余数求出这一天是星期几解答：解：这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有36510+2=3652（天）；36527=521（周）5（天），5+2=7，所以再过十年的12月5日是星期日故答案为：日点评：本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，
6、公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年3（3分）按如图摆法摆80个三角形，有39个白色的考点：简单周期现象中的规律。1665141分析：从图中可以看出，三角形按“黑黑白白黑白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，806得出周期数和余数，一个周期有3个白色，加上余数的白色个数，即可得解解答：解：806=132，余数2全是黑色，所以，白色的三角形有：133=39；答：有39个白色的故答案为：39点评：看出规律，找到周期，是解决这类题的关键4（3分）节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小
7、明想第73盏灯是白灯考点：简单周期现象中的规律。1665141分析：每四盏灯为一个周期，白灯、红灯、黄灯、绿灯，以此类推，73是多少个周期余数是几，排一下就知道了解答：解：734=181，所以是白灯；答：小明想第73盏灯是 白灯故答案为：白点评：此题考查了简单周期现象中的规律5（3分）时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是13时考点：时间与钟面。1665141分析：分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时；一天24小时，199124=82（天）23（小时），1991小时共82天又23小时；现在是14时正，经过82天仍然是14时正，再过23小时，正好是
8、13时解答：解：199124=82天23小时，1991小时共82天又23小时14+2324=13小时，答：时针表示的时间是13时故答案为：13点评：考查了时间与钟面，在圆面上，沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短针，就组成了我们天天见到的钟面钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题，周期现象就是其中的一个重要方面6（3分）把自然数1，2，3，4，5如表依次排列成5列，那么数“1992”在第三列考点：数表中的规律。1665141分析：9个数一个循环，这9个数不变的排列是第一列、第二列、第三列、第四列、第五列、第五列、第四列、第三列、第二列；那么求出
9、1992是多少个循环，得出余数，即可得解解答：解：19929=2213；所以，1992在第三列故答案为：第三点评：此题考查了数表中的规律，认真分析得出结论7（3分）把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是7考点：简单周期现象中的规律；循环小数与分数。1665141分析：先把化成小数：0.0.571428571428571428，是一个循环小数，它的循环周期是6，六个数字依次是：5，7，1，4，2，8因为1106=182，所以第110位上的数是一周期的第二个数即7解答：解：因为=0.571428571428，是个循环小数，它的循环周期是6，具体地六个数字依次是5，7，1，4，2，8；1106
10、=182，所以第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7故答案为：7点评：做这类题先把分数化为小数，（一般为循环小数），周初他的循环周期及循环的数列，求第几位上的数字，就用这个数字除以循环周期，余几就是一个循环周期的第几个数字8（3分）循环小数与这两个循环小数在小数点后第35位，首次同时出现在该位中的数字都是7考点：循环小数及其分类；公约数与公倍数问题。1665141分析：根据已知条件可知，这两个小数的循环节分别是7位数和5位数，求出5和7的最小公倍数即可解答：解：因为0.1992517的循环节是7位数，0.34567的循环节是5位数，又5和7的最小公倍数是35，所以两个循环小数在小数
11、点后第35位，首次同时出现在该位上的数字都是7故答案为：35点评：此题答解答主要根据求两个数的最小公倍数解答9（3分）一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，共有1991个数（1）其中共有853个1，570个9568个4；（2）这些数字的总和是8255考点：数字串问题；数字和问题。1665141分析：不难看出，这串数每7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环，即周期为7，且每个周期中有3个1，2个9，2个4因为19917=2843，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9其中1的个数是：3284+1=853（个），9的
12、个数是2284+2=570（个），4的个数是2284=568（个）这些数字的总和为1853+9570+4568=8255解答：解：（1）这串数每7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环，且每个周期中有3个1，2个9，2个4因为19917=2843，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9其中1的个数是：3284+1=853（个），9的个数是2284+2=570（个），4的个数是2284=568（个）（2）这些数字的总和为：1853+9570+4568=8255故答案为：853，570，568；8255点评：在做题时应首先观察规律：7个数即1，9，9，1，4，1，
13、4为一个循环10（3分） 所得积末位数是9考点：乘积的个位数。1665141分析：当7的个数是1时，末位是7；当7的个数是2时，末位是9；当7的个数是3时，末位是3；当7的个数是4时，末位是1；当7的个数是5时，末位又是7；由此发现积的末尾依次出现7、9、3、1；依此规律解答即可解答：解：先找出积的末位数的变化规律：71末位数为7，72末位数为9，73末位数为3，74末位数1；75=74+1末位数为7，76=74+2末位数为9，77=74+3末位数为3，78=742末位数为1；由此可见，积的末位依次为7，9，3，1，7，9，3，1，以4为周期循环出现因为504=122，即750=7412+2，
14、所以750与72末位数相同，也就是积的末位数是9故答案为：9点评：此题考查的目的是：通过计算发现规律，依照规律解答这类问题二、解答题（共4小题，满分0分）11紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如89=72，在9后面写2，92=18，在2后面写8，得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？考点：数字串问题。1665141分析：依照题述规则多写几个数字：1989286884286884可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6因为（19894）6=3305，正好除尽，286
15、884所以所求数字是8解答：解：依照题述规则多写几个数字得到：1989286884286884286884可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6因为（19894）6=3305，所以286884的第四个数字为8，所求数字是8点评：此题属于数字串问题，解答此题的关键是要找出规律：1989后面的数总是不断循环重复出现286884121991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？考点：简单周期现象中的规律。1665141分析：本题问的是两积相加的和末两位数是多少，所以不必求出两个积，求出两个积的末尾两位数即可可知19
16、91个1990相乘所得的积末尾两位是00；1个1991末两位数是91，2个1991相乘的积末两位数是81，3个1991相乘的积末两位数是71，4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11，01，11个1991相乘积的末两位数字是91，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10因为199010=199，所以1990个1991相乘积的末两位数是01即可得答案解答：解：因为1991个1990相乘所得的积末两位是01个1991末两位数是91，2个1991相乘的积末两位数是81，3个1991相乘的积末两位数是71，4个至10个1991相乘的积的末两
17、位数分别是61，51，41，31，21，11，01，11个1991相乘积的末两位数字是91，可知每10个1991相乘的末两位数字重复出现，周期为10因为199010=199，所以1990个1991相乘积的末两位数是01所以两个积相加的和末两位是01答：再相加的和末两位是01点评：做此题不能被庞大的数字所迷惑，要看清问的是什么要求两积相加和的末两位数，只要知道每个积的末两位数，然后相加即可，不用算出两积的具体得数1991个1990相乘所得的积的末尾两位数很显然是00，求1990个1991相乘所得的积的末尾两位数，要靠推算，找出其中的规律，通过计算可知末尾两位数是呈周期循环出现的再根据循环现象求1
18、990个1991相乘所得积的末尾两位数即可13n=，那么n的末两位数字是多少？考点：周期性问题。1665141分析：此题可用列表法寻找规律n是1991个2的连乘积，即n=21991首先从2的较低次幂入手寻找规律，列表如下：nn的十位数字n的个位数字nn的十位数字n的个位数字21022129622042139223082148424162156825322163626642177227282184428562198829122207621024221522114822204解答：解：n是1991个2的连乘积，可记为n=21991，首先从2的较低次幂入手寻找规律，见上表观察上表，容易发现自22开始
19、每隔20个2的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为20因为199120=9911，所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8所以，n的末两位数字是48答：n的末两位数字是48点评：此题属于周期性问题，考查学生探索规律的能力14在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？考点：染色问题；公约数与公倍数问题。1665141分析：因为100能被5整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色于是我们可以看作是从同一端点染色6与5的最小公倍数是30，即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环，每一周的长度是30厘米，如图所示由图示可知长1厘米的短木棍，每一周期中有两段，如第1周期中，65=1，5564=1剩余10厘米中有一段所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段解答：解：2（10010）30+1，=23+1，=7（段）答：那么长度是1厘米的短木棍有7根点评：解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易