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1、-向量基础知识及应用-第 5 页向量基础知识及应用基本知识：1. 向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则、平行四边形法则）；2. 向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则、平行四边形法则）；3. 实数与向量的积. 向量共线的充要条件 ：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数,使得=。4. 向量和的数量积：=| |cos，其中为和的夹角。向量在上的投影：|cos，其中为和的夹角 =05. 向量的坐标表示: ; 若向量，则 |；若P1（，）、P2（，），则 ; 6. 向量的坐标运算及重要结论： 若 =（，）, =（，）, 则 +=0 cos= （为向量的夹角）7. 点P分有向线段所成的比
2、的： ，或 P内分线段时, ; P外分线段时, .8. 定比分点坐标公式： ，中点坐标公式：9. 三角形重心公式及推导（见课本例2）： 三角形重心公式：10. 图形平移：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量平移)，得到图形F，我们把这一过程叫做图形的平移。平移公式： 或 平移向量=（h，k）应用：1利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1已知向量满足条件，求证：是正三角形解：令O为坐标原点，可设由，即两式平方和为，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角
3、形.例2 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角 的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，从而可求：,2利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例3已知，AD为中线，求证证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，则，从而，.3利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例4 已知点是且试用解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，所以，易求，设例5 如图，用表示解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，4利用向量的数量积解决两直线垂直问题例6 求证：三角形的
4、三条高交于同一点 分析如图，已知中，由，要证明利用向量法证明，只要证得即可；证明中，要充分利用好，这两个条件. 证明：在上，而 ，即 又，即 -得： ， 即从而， .5利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.例7 求平面内两点间的距离公式 分析已知点求两点间的距离这时，我们就可以构造出向量，那么而，根据向量模的公式得，从而求得平面内两点间的距离公式为. 解：设点 ， ,而 点与点之间的距离为：6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.例8 证明: 分析如图，在单位圆上任取两点,以为始边，为终边的角分别为，设出两点的坐标，即得到的坐标，则为向量的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证. 证明：在单位圆上任取两点，以为始边，以为终边的角分别为，则点坐标为点坐标为；则向量，它们的夹角为，,由向量夹角公式得：,从而得证.注：用同样的方法可证明7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.例9 证明柯西不等式 证明：令（1） 当或时，结论显然成立；（2） 当且时，令为的夹角，则 . 又 （当且仅当时等号成立） .（当且仅当时等号成立）例10求的最值解：原函数可变为，所以只须求的最值即可，构造，那么.故.