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1、-柯西不等式各种形式的证明及其应用-第 9 页柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西()在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，等号成立条件：扩展：等号成立条件：二维形式的证明：三角形式三角形式的证明：向量形式向量形式的证明：一般形式一般形式的证
2、明：证明：推广形式(卡尔松不等式)：卡尔松不等式表述为：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。或者：或者推广形式的证明：推广形式证法一：或者推广形式证法二：事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证，这个不等式并不难，可以简单证明如下：付：柯西（）不等式相关证明方法： 等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 恒成立即当且仅当 即时等号成立证明（2）数学归纳法 （1）当时 左式= 右式=显然 左式=右式当 时， 右式 右式 仅当即 即时等号成立故时 不等式成立 （2）假设时，不等式成立即 当 ，k为常数， 或时等号成立设
3、 则当 ，k为常数， 或时等号成立即 时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的应用1、巧拆常数证不等式例1：设a、b、c为正数且互不相等。求证：. 均为正数 为证结论正确，只需证： 又又互不相等，所以不能取等原不等式成立，证毕。2、求某些特殊函数最值例2：函数的定义域为5，9,3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。 已知点及直线 设点p是直线上的任意一点， 则 （1） （2）点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得： 即 （3）当且仅当 （3）式取等号 即点到直线的距离公式即4、 证明不等式例 3已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式又因为
4、 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故5、 解三角形的相关问题例 4设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。6、 求最值例5已知实数满足， 试求的最值 解：由柯西不等式得，有即由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立，代入时， 时 7、利用柯西不等式解方程例6在实数集内解方程解：由柯西不等式，得又即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得8、用柯西不等式解释样本线性相关系数在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现
5、记，则，由柯西不等式有，当时，此时，为常数。点 均在直线上，当时，即而为常数。此时，此时，为常数点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。9、关于不等式的几何背景 几何背景：如图，在三角形中，则 Q（c，d） O P（a，b）将以上三式代入余弦定理，并化简，可得 或因为，所以，于是柯西不等式的相关内容简介（1） 赫尔德()不等式 当时，即为柯西不等式。因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。（2） 平面三角不等式（柯西不等式的等价形式） 可以借助其二维形式来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。该不等式的一般形式 称为闵可夫斯基（）不等式。它是由闵可夫斯基在对n维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点，定义其距离为闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础。这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。