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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西Cauchy 在讨论数学分n1a k2kn1b k2kn1a b k2析中的“ 流数” 问题时得到的；但从历史的角度讲,该不等k式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,由于,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地 步； 柯西不等式特别重要,敏捷奇妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解；柯 西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用；一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中
2、,令n2,a 1a a2db b 1c b 2d,得二维形式a b 3a b n2a2b2c2d2acbd22 b 22 b 32 b na b 1 1a b 2等号成立条件：adbca/bc/扩展：2 a 12 a 22 a 32 a n2 b 1等号成立条件：a 1:b 1a 2:b 2an:b n当a i0 或b i0 时,a i和 都等于 ,i不考虑a i:b i1,2,3,n二维形式的证明：a2b2c2d2a b c d2Rabcd2 b c22 a c22 b d22 a d22 b c222 a c22abcd2 b d22 a dacbd2adbc2acbd2等号在且仅在adb
3、c0即ad bc 时成立三角形式名师归纳总结 a22 bc2d2bcac2bd2第 1 页,共 11 页等号成立条件：ad三角形式的证明：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a2b2c2d22a2b2c2d22a2b2c2d2a2b2c2d22ac2bdc2d2注： 表示肯定值a22acc2b2-2bdd2ac2bd2ac2b2d两边开根号,得a2b向量形式,=a a 2,a3,an,b b b 3,b nnN n2L2 b n等号成立条件：为零向量,或=R向量形式的证明：ur令 m = a a a 3 , Lur rm n a b 1 1 a b 2,
4、a n,r nb b b 3, L , b nur rm n cosur r m na b 3La b nur r m n2 b 22 b 3Q2 a 12 a 2ur rm n2 a 3L2 a n2 b 12 b 22 b 3L2 b ncoscos12 a n2 b 1ab 1 1a b 2 2a b 3 3La b n n2 a 12 a 22 a 3L一般形式nak2nb k2na kb k2a 2:b 2an:b n,或ai、b i均为零；k1k1k1b 1等号成立条件：a 1:一般形式的证明：n1ak2n1b k2n1a kb k2kkk证明：不等式左边=2 2a b j2 2a
5、 b iLL共n2/ 2 项L不等式右边=a b ia bja bja b iL共2 n/ 2 项用均值不等式简洁证明,不等式左边 不等式右边,得证；推广形式 卡尔松不等式 ：卡尔松不等式表述为：在 m*n 矩阵中,各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - mx 12x 12Lx 1 nx 21x21Lx 2nLxm 1xm 1Lxmnm1Nimx i21imx i31Limxin1x i1mmmmi1m n111其中,或者 ：mnx ij1n1im1mmx ij
6、j1ji11其中,m nN,x ijR或者x 1y 1Lx 2y2LLxnynL注：11nxnynLx 表示x 1, , ,x 的乘积,其余同理推广形式的证明：推广形式证法一：记A 1x 1y 1L,A 2x 2y 2L, LA nx ny nL由平均不等式得x 1x 2Lx nnLx x 2Lx n1LA A 2LxA n1LyA n1A 1A 2A nnny 1nA A 2LA ny 2y n1同理可得A 1A 2A ny y 1 2y nnA A 2nA A 2LA nL L上述 个不等式叠加,得名师归纳总结 1A A 2Lx1111Ln第 3 页,共 11 页nA A 2LyA nn+
7、A n11Lxnyn11即A A 2LA nx 2xnynLLn即x 1y 1Ly2LLx ny nn1xnynL,证毕- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 或者推广形式证法二：事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证,这个不等式并不难,可以简洁证明如下：由均值不等式mmixj1i1mixj1j1nxjinxjimj1同理有mjmx j211xj21m1nxjinmj1xjii11L Lmmixjnji1mixjnjij1nxj1nxm111m以上各式相加得n1m1ixjkji1kjnx11上式也即n1m1mxjkjim1, 该式整理,得：j1kinx
8、j11n1mxjk1minxjimkj1mj11得卡尔松不等式,证毕付：柯西（ Cauchy ）不等式相关证明方法：a 1 b 1a 2b 2a 1a2a nb n2a2 a 102 a 2b i2 a n22 b 12 b 22 b n2aib iR,i1 ,2n等号当且仅当n或ka i时成立（ k 为常数,i1 2,n）现将它的证明介绍如下：名师归纳总结 证明 1：构造二次函数2 xfx a 1xb 12a 2xb 222 b 1a nxb n2第 4 页,共 11 页=2 a 12 a 2Ln a n2a b 1 1a b 2La b nx2 b 2Ln b nQ2 a 1a2Ln a
9、n02- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx0恒成立Q4a b 1 1a b 2La b n242 a 1L2 a 2Lb 1 2n a n2 b 12 b 2Ln b n0即a b 1 1a b 2 2La b n n2a 1 2a 2 2a n nb 2 2Lb n n当且仅当a xb x0i1,2Ln即a 1a2Lan时等号成立b 1b 2b n证明（ 2）数学归纳法（1）当n1时左式 =a b 1 12右式 =ab 1 12a b 1 12a b 222 2a b 12 2a b 2明显左式 =右式当n2时,右式2 a 12 a 22 b 12
10、 b 2a b 1 12a b 222 a a b b 2a b 2a b 22右式仅当即a b 1a b 2即a 1a 2时等号成立b 1b 2Lk b k故n1,2时 不等式成立（2）假设 nkk,k2时,不等式成立即a b 1 1a b 2 2La b k k22 a 12 a 2Lk a k2 b 12 b 2当b ikai,k 为常数,i1,2Ln或a 1a 2La k0时等号成立0时等号成立设2 a 12 a 2La22 b 12 b 2L2 b kkCa b 1 1a b 2La b k就2 a k12 b k12 b k12 a k2 1 b k1C22 Ca k1 b k12
11、 a k2 1 b k1Ca k1 b k122 a 12 a 2L2 a k2 a k12 b 12 b 2L2 b k2 b k1a b 1 1a b 2La b ka k1b k12当b ikai,k 为常数,i1,2Ln或a 1a 2La k即nk1时不等式成立综合（ 1）（2）可知不等式成立名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、柯西不等式的应用1、巧拆常数证不等式例 1：设 a、b、c 为正数且互不相等；求证：a2bb2c a2cfa2cb. Q 、 、c均为正数为证结论正确,只需证:为证结论正确,只需证
12、：2abca1bb1ca1cf9而2abc=abbcac1又Q92 1 1 1只需证 :2abca1bb1ca1cabbcaca1bb1cac1 1 129又Q 、 、c互不相等,所以不能取等原不等式成立,证毕；2、求某些特别函数最值例 2：求函数 y 3 x 5 4 9 x 的最大值；函数的定义域为 5, 9, y f 0y 3 x 5 4 9 x32 42 2 x 5 2 9 x5*2 10函数仅在 4 x 5=3 9 x,即 x 6.44 时取到3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式；名师归纳总结 已知点x 0,y 0及直线l:xyC0220第 6 页,共 11 页设点 p 是直线 l
13、上的任意一点,就xxC0（1）p p2x0x 12y0y 12（2）点p p 两点间的距离p p 就是点 p 到直线 l 的距离,求（ 2）式有最小值,有 1 222x 0x 12y0y 12x 0x 1y0y 1x 0y 0Cx 1y 1C- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由（ 1）（2）得：22gp p 2x 0y 0C即p p 2x 0y 0C（ 3）22当且仅当y 0y 1:x 0x 1p p 2l（3）式取等号即点到直线的距离公式即p p 1 2x 02y 02C4、 证明不等式例 3 已知正数a b c 满意abc1证明a3b3c3a2b2
14、c23证明：利用柯西不等式a2b22 c2331313122,再加上a2b2c2a a2b b2c c232232a2b2c2abca3b33 cbabc2Qabc1又由于a22c2abbcca在此不等式两边同乘以得：abc232 ab2c2.3a22 bc2Qa2b2c23 ab3c3故a3b3c3a2b2c235、 解三角形的相关问题例 4 设 p 是V ABC内的一点,x y z 是 p 到三边a b c 的距离, R 是VABC外接圆的半径,证明xyz1Ra2b2c22证明：由柯西不等式得,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - -
15、 - - - - xyzax1by1cz1axbyczg111abcabc记 S 为V ABC的面积,就abcca1abbcca1Ra2b2c2axbycz2 S2 g abc4 R2Rxyzabcabbc2Rabc2R2故不等式成立；6、 求最值例 5 已知实数a b c ,d 满意abcd3,a22 b23 c26d25试求 a 的最值解：由柯西不等式得,有2b23c26d2111bcd2时等号成立,2366d即2 b22 3 c26 d2bcd52 a3a2由条件可得,3c2当且仅当2b解得, 1a1 21 31 6代入b1, c1,d1时,amax236b1, c2,d1时amin13
16、37、利用柯西不等式解方程例 6 在实数集内解方程x2xy2yz293986244y解：由柯西不等式,得名师归纳总结 x2y2z2z826224228x6y24y2第 8 页,共 11 页Qx2y22822 6249646364 1442 39424y23928 xy又- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2y22 z82622428x6y24z2即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件,得xyz24y39联立,可得8624它与8x6yx6y9z18 1313268、用柯西不等式说明样本线性相关系数n x i x y i y在线性回来中,有
17、样本相关系数 r= i 1,并指出 r 1 且 r 越接近n n x i x 2 y i y 2i 1 i 1于 1,相关程度越大,r 越接近于 0,就相关程度越小；现在可用柯西不等式说明样本线性相关系数；名师归纳总结 现记a ix ix ,b iyiy ,就,j12i,12n均在直线第 9 页,共 11 页nr=ni1a b i i2 b i,由柯西不等式有,r2 a ini1i1x y i当r1时,na b i2na2n2 bii1i1i1此时,yybk, k 为常数；点x ixa iyyk xx 上, ra b i当r1时,na b i2na2nb i2ii1i1i1即na b2na2n
18、2 b i0ii1i1i1而na b2na2n2 b ia bii1i1i11ijn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a b ja b i20abja b0就1ijnb ik k为常数；ai此时,此时,y iyb ik, k 为常数x ixa i点x y i i均在直线 yyk xx 邻近,所以r 越接近于1,相关程度越大当r0时,a b不具备上述特点,从而,找不到合适的常数k ,使得点x y i都在直线 yyk xx邻近；所以,r 越接近于 0,就相关程度越小；9、关于不等式a2b2c2d2acbd2的几何背景几何背景 ：如图,在三角形OPQ 中,P
19、a,b,Qc,d,QOP,OPa2b2,OQc2d2, Q（c,d）PQac 2 bd2. O P（a,b）将以上三式代入余弦定理PQ2OP2OQ22OPOQcos,并化简,可得cosa2acbd2d2或2 cosa2acbd2d2.b2cb2c2由于0cos21,所以,a2acbd2d21,b2c2于是a2b2c2d2acbd2. 柯西不等式的相关内容简介（1）赫尔德 Holder不等式a np1 b 1qb 2qb nq1a 1b 1a 2b 2a nb n111 a 1pa 2ppqpq当pq2时,即为柯西不等式； 因此,赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式,在分析学中有着较为广泛的应
20、用；名师归纳总结 （2）a平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）a 1b 12a2b 22anb n2第 10 页,共 11 页a 1222a n2b 12b 22b n2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可以借助其二维形式a 12a 22b 12b 22a 1b 12 a2b 22来懂得,依据三角形的两边之和大于第三边,很简洁验证这一不等式的正确性；该不等式的一般形式11,xa2b 2p anb np1a 1pa2panpp b 1pb 2pb nppa 1b 1pp称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式；它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几,何体定义了一种 “ 距离” 的基础上得到的, 即对于点xx1,x2,n,yy1,y2,yn定义其距离为x ,ynx iyip1. pi 闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何,建立了一种类似于现代度量空间的 理论,即实变函数中的赋范空间基础；这从另一个侧面表达了柯西不等式的丰富数学背景；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页