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1、-几个常见函数的导数1-第 8 页几个常见函数的导数 制作人：徐凯精讲部分：年级：高三 科目：数学 类型：同步 难易程度：易 建议用时：20-25min一.知识点：知识点一几个常用函数的导数原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0且a1)f(x)ln xf(x
2、)二.典例分析：题型一利用导数公式求出函数的导数例1求下列函数的导数：(1)ysin；(2)y5x；(3)y；(4)y；(5)ylog3x；(6)y12sin2.解(1)y0；(2)y(5x)5xln 5；(3)y(x3)3x4；(4)y()(x)；(5)y(log3x)；(6)y12sin2cos x，y(cos x)sin x.反思与感悟若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导题型二利用导数公式解决切线有关问题例2(1)已知P，Q为抛物线yx2上两点，点P，Q横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的
3、坐标为_答案(1，4)解析yx，kPAy|x44，kQAy|x22.P(4,8)，Q(2,2)，PA的直线方程为y84(x4)，即y4x8，QA的直线方程为y22(x2)，即y2x2，联立方程组得A(1，4)(2)已知两条曲线ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由解设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1y|cos x0，k2y|sin x0，要使两切线垂直，必须k1k2cos x0(sin x0)1，即sin 2x02，这是不可能的两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切
4、线互相垂直反思与感悟1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解2求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤题型三利用导数公式求最值问题例3求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离解设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为(，)，所求的最短距离d.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的
5、几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算三.课堂小结：1利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3 对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化精练部分：年级：高三 科目：数学 类型:同步 难易程度：易 建议用时：随堂练习10-15min 课后作业30min四.随堂练习：一、选择题1下列各
6、式中正确的个数是()(x7)7x6；(x1)x2；()x；()x；(cos x)sin x；(cos 2)sin 2.A3 B4 C5 D6答案B2已知过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为()A. B.或 C. D.答案B解析y4，x，故选B.3已知f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()A4 B4 C5 D5答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.4已知曲线yx3在点(2,8)处的切线方程为ykxb，则kb等于()A4 B4 C28 D28答案C解析点(2,8)在切线上，2kb8，又y|x232212k，由可得：k12，b16，kb28.5已知f(x)，g(
7、x)mx，且g(2)，则m_.答案4解析f(x)，g(x)m.g(2)，m4.6设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_答案(1,1)五. 课后作业：1若f(x)sin x，f()，则下列的值中满足条件的是()A. B. C. D.答案A解析f(x)cos x，f()cos ，时，cos ，故选A.2若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30答案A解析设切点(x0，y0)，l的斜率ky|xx04x4，x01，切点(1,1)，l的方程为y14(x1)，即4xy30.3已知直线ykx
8、是曲线yex的切线，则实数k的值为()A. B Ce De答案D解析yex，设切点为(x0，y0)，则ex0ex0x0，x01，ke.4曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线的方程为_答案3xy110解析y3x26x63(x22x2)3(x1)233，当x1时，斜率最小，切点为(1，14)，切线方程为y143(x1)，即3xy110.5若曲线yx在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a_.答案64解析yx，yx，曲线在点(a，a)处的切线斜率ka，切线方程为yaa(xa)令x0得ya；令y0得x3a.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S3aaa18，a64.
9、6已知A、B、C三点在曲线y上，其横坐标依次为1、m、4(1m4)，当ABC的面积最大时，m的值等于_答案解析如图，在ABC中，边AC是确定的，要使ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B点的切线平行于直线AC时，ABC的面积最大f(m)，A点坐标为(1,1)，C点坐标为(4,2)，kAC，m.7已知曲线f(x)x33x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程解设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率kf(x0)3x3，切线方程为y(3x3)x16，又切点(x0，y0)在切线上，y03(x1)x016，即x3x03(x1)x016，解得x02，切线方程为9xy160.