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1、-曲线的离心率求法-第 9 页圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数之间的联系。一、基础知识：1、离心率公式： （其中为圆锥曲线的半焦距）（1）椭圆： （2）双曲线：2、圆锥曲线中的几何性质及联系（1）椭圆：，（2）双曲线：3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距。从而可求解（2）利
2、用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解，或者带入曲线求解（3）利用三角形的相似关系（4）利用点线距离关系4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的坐标是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初
3、始要求：椭圆：，双曲线：二、考点一：求离心率方法一：焦点三角形问题例1（1）：设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 答案：A 小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意为中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与搭配形成三角形的中位线。（2）：椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点,为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为_答案： 小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。（3）：设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为 A. B
4、. C.答案：B（4）过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.方法二：利用坐标运算例2（1）已知椭圆方程为1(ab0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1k2|，则椭圆的离心率为_（2）：如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 答案：方法三：三角形的相似关系例3从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与
5、x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.B. C. D.方法四：利用点线距离关系例4(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_例3：如图所示，已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 答案：B考点二：求离心率的取值范围方法一：通过一些不等关系得到关于的不等式例1（1）.椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1
6、，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_（2）已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B. C. D.（3）：已知F是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为 （ ）A B C D 答案：B小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题方法二：题目中
7、某点的坐标是否有范围要求例2（1）：已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 答案：D（2）：已知是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 思路一：考虑在椭圆上的点与焦点连线所成的角中，当位于椭圆短轴顶点位置时，达到最大值。所以若椭圆上存在的点，则短轴顶点与焦点连线所成的角，考虑该角与的关系，由椭圆对称性可知，所以，即，进而即，解得，再由可得思路二：由可得，进而想到焦点三角形的面积：，另一方面：，从而，因为在椭圆上，所以，即，再同思路一可解得：思路三：可想到，进而通过向量坐标化，
8、将数量积转为方程。设，则有，则，即点一定在以为圆心，为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径时才可有交点，所以，同思路一可解得注：本题对在圆上也可由判定出在以为直径的圆上，进而写出圆方程思路四：开始同思路三一样，得到所在圆方程为，因为在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：代入消去可得：，整理后可得：，由可得：，同思路一即可解得：答案：小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解（3）已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点
9、，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()A. B. C. D.（4）：设点分别为椭圆的左右焦点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 答案：D小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标三、好题精选1、（2016，新余一中模拟）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 2、已知分
10、别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D3、设分别是双曲线的左右焦点，若双曲线左支上存在一点，使得，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 4、（2016四川高三第一次联考）椭圆和圆，（为椭圆的半焦距）对任意恒有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 5、（2015，新课标II）已知为双曲线的左右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 6、（2016，宜昌第一中学12月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的左支
11、上，且，则此双曲线离心率的最大值为（ ）A B C D7、（2015，山东）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则离心率为_8、（2014，浙江）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是_习题答案：1、答案：A解析：由抛物线方程可得：，过作准线的垂线，垂足为，所以，所以，可知取得最大值时，最小，数形结合可知当与抛物线相切时，最小。设，联立方程，即，则，此时，则，所以，则 2、解析：为钝角三角形，且即，即 答案：B3、思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形的特点，从入手，可得，数形结合可得四边形为菱形，所以，可判定为直角三角形。 ，可得 答案：A4、解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则对任意恒成立，即，平方变形后可得： 答案：B5、解析：设双曲线方程为，如图所示：，过点作轴于，在中，所以，代入双曲线方程可得：可得：，从而 答案：D6、解析：由双曲线可知，所以，因为点，即，所以，即最大值为 答案：A7、 解析：由方程可得其渐近线方程为，与抛物线联立可解得交点，抛物线的焦点坐标为，由及，可得：，即，从而，所以 8、解析：双曲线的渐近线方程为：，分别联立方程： 可解得： 中点