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1、中高考 找才子 始建于1998年 第53讲 圆锥曲线(二)1焦半径公式设P为圆锥曲线上任一点，r、d分别为点P到焦点及相应准线的距离，则red(1)对于椭圆1(ab0)，F1(c，0)、F2(c，0)是它的两个焦点设P(x，y)是椭圆上的任一点，则有r1|PF1|aex，r2|PF2|aex由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横坐标(对1是纵坐标)的一次函数焦半径公式的另一种形式(对于1，ab0)为r1|PF1|(是以F1x为始边，F1P为终边的角，不是F1P的倾斜角)(2)对于双曲线1(a0，b0)，F1(c，0)、F2(c，0)是它的两个焦点设P(x，y)是双曲线上
2、的任一点，若点P在双曲线的右支上，则有r1|PF1|exa，r2|PF2|exa；若点P在双曲线的左支上，则有r1|PF1|exa，r2|PF2|exa焦半径公式的另一种形式(对于1，a0，b0)为r2|PF2|(是以F2x为始边，F2P为终边的角，不是F2P的倾斜角)注意：当0时，点P在右支上，当0时，点P在左支上(3)对于抛物线y22px(p0)，F(，0)是它的焦点，设P(x，y)是抛物线上的任一点，则r|PF|x设xFP，则r2共轭直径二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径若两直径中的每一直径平分与另一直径平行的弦，则称此两直径为共轭直径(1)设椭圆的方程为1(ab0)，互为共轭直径的斜
3、率关系为kk；(2)设双曲线的方程为1(a0，b0)，互为共轭直径的斜率关系为kk；(3)设抛物线的方程为y22px(p0)，一组斜率为k的平行弦的中点轨迹为射线y3过焦点的弦(1)设椭圆的方程为1(ab0)，过F1(c，0)的弦长为2ae(x1x2)，过F2(c，0)的弦长为2ae(x1x2)过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数焦点弦长的另一种形式为l(是以F1x为始边，F1P为终边的角，不是F1P的倾斜角)(2)设双曲线的方程为1(a0，b0)，过F1(c，0)的弦长为|2ae(x1x2)|，过F2(c，0)的弦长为|2ae(x1x2)|焦点弦长的另一种形式为l|(是以F2x为始边
4、，F2P为终边的角，不是F2P的倾斜角)(3)设抛物线的方程为y22px(p0)，F(，0)，设xFP，则焦点弦长为l4双曲线的渐近线(1)如果曲线上的点无限远离原点时，存在一条直线l，使得P与此直线的距离无限趋向于零，则这条直线称为曲线C的一条渐近线双曲线1的渐近线方程为0(2)共轭双曲线的方程为1，共渐近线的双曲线系方程：互为共轭的两条双曲线有以下性质：0时得焦点在x轴上的双曲线；0时得焦点在y轴上的双曲线；0时即是双曲线的渐近线；两共轭的双曲线的离心率e1，e2满足1；它们的四个焦点在同一个圆上A类例题例1设A(x1，y1)为椭圆x22y22上的一点，过点A作一条斜率为的直线l，又设d为
5、原点到直线l的距离，r1，r2分别为点A到椭圆两焦点的距离试证明d为常数(1990年上海高考题)分析 根据题意利用焦半径公式计算r1，r2解 由椭圆方程y21得，a22，b1，c1，则e由r1aex1，r2aex1，得r1r2a2e2x 直线l的方程为yy1(xx1)，即 x1x2y1yx2yError! No bookmark name given.又A(x1，y1)在椭圆上，则x2y2，则x1x2y1y2，从而得d 将、代入d得：d说明 本题也可以先由点斜式求得直线l的方程，求出d；然后再根据点A的坐标，结合椭圆的方程分别解出r1和r2，但这样计算量比较大例2已知F是椭圆1(ab0)的右焦
6、点，弦A1B1、A2B2、A3B3过焦点F，M1、M2、M3分别是弦A1B1、A2B2、A3B3的中点求证：|A1B1|、|A2B2|、|A3B3|成等差数列的充要条件是点M1、M2、M3的横坐标x1、x2、x3成等差数列分析 利用中点公式和椭圆的第二定义进行转化证明 作椭圆的右准线l：xx0，(x0)作A1C1l于C1，作B1D1l于D1，作M1N1l于N1，记|A1C1|d1，|B1D1|d2，|M1N1|d则|A1B1|A1F|B1F|e(d1d2)2ed2e(x0x1)，同理，|A2B2|A2F|B2F|2e(x0x2)，|A3B3|A3F|B3F|2e(x0x3)，于是，|A1B1|
7、、|A2B2|、|A3B3|成等差数列的充要条件是(x0x1)(x0x3)2(x0x2)，即x1x32x2，即x1、x2、x3成等差数列从而得证！例3直线l经过点(1，1)，若抛物线y2x上存在两点关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围解 设直线l的方程为y1k(x1)，直线l垂直平分抛物线的弦AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)是AB的中点，则 yx1， (1)yx2， (2) (3)x1x22x0 (4)y1y22y0 (5)(1)(2)得， (y1y2)(y1y2)x1x2，即 ， 所以又由(5)知 y0由于M在直线l上，则y01k(x01)，则可得x0又M在
8、抛物线的内部，即yx0，所以()2，即0，也就是0，解得 2k0说明 在解涉及弦的中点等相关问题时，可以采用这样的方法：设弦的两个端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，然后列出五个方程来解：此两点在椭圆上可得两个方程，弦的中点又可得两个方程，关于斜率再得一个方程，利用消去参数以求出解情景再现1已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点为F1、F2，左准线l，P是双曲线左半支上一点，并且有|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的比例中项，求双曲线离心率e的取值范围2已知F1、F2为椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率e满足|PF1|
9、e|PF2|，则e的值为_3设P1、P2是抛物线x2y的一条弦，如果P1P2的垂直平分线方程为yx3，则弦P1P2所在直线方程为( )Ayx3 Byx3 Cyx2 D无法确定 (河南省1999年高中数学竞赛)B类例题例4已知点P在双曲线1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰好是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，求P点的横坐标(1999年全国高中数学联赛)分析 由于题中出现了圆锥曲线上一点到焦点的距离，故可以考虑利用焦半径的相关知识解 记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，它到左、右准线的距离分别为r1、r2，则a4，b3，c5，e，右准线
10、l为x于是r1r22a(P点在双曲线右支取“”号，在左支取“”号)故r2ed，r1ed2a由2dr1r2，得d 但e1，故“”号，即P点在双曲线左支上得d16因此，P的横坐标为16例5过双曲线x21的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得|AB|的直线l恰有3条，则_(1997年全国高中数学联赛)解 右支内最短的焦点弦4又2a2，故与左、右两支相交的焦点弦长2a2，这样的弦由对称性有两条故4时设AB的倾斜角为，则右支内的焦点弦4，当90时，4与左支相交时，arccos时，4故4说明 本题要充分考虑特殊位置和对称性例6已知抛物线C1的顶点(1，1)，焦点(，1)，另一抛物线C2的方程y2
11、ayx2b0，C1与C2在一个交点处它们的切线互相垂直，试证C2必过定点，并求该点的坐标(上海市1985年高中数学竞赛)解 C1的p，方程(y1)2x(1)，即y22yx0设交点为(x0，y0)，则C1的切线方程为y0y(yy0)(xx0)0.，即 2(y01)yx2y0x020同理可得，C2的切线方程为y0ya(y0y)(xx0)2b0，即 (2y0a)yxay0x04b0由题意知二者垂直，从而可得1(1)2(y01)(2y0a)0，整理得 4y022(a2)y02a10 由y022y0x00和y02ay0x02b0，相加得：2y02(a2)y02b0， 2得：2a14b20，可得4b2a1
12、2 代入C2方程整理即可得：2y22ay2x2a120，即 2y22x212a(y1)0，取方程组，解得(，1)即对任何满足的a、b，点(，1)在曲线C2上，即C2过定点，该定点的坐标为(，1)说明 解决与二次曲线的切线有关的问题时通常有如下的方法求得切线：(1)替换原则：二次曲线上的一点(x0，y0)处的切线方程：可把原二次曲线的方程中各含未知数的项按如下规则替换：x2x0x；y2y0y；xy(x0yxy0)；x(xx0)；y(yy0)(2)已知斜率的切线方程：椭圆1的斜率为k的切线方程为ykx；双曲线1的斜率为k的切线方程为ykx；抛物线y22px的斜率为k的切线方程为ykx(3)一般的切
13、线方程可以用求导的方法解决情景再现4定长为m的线段AB两个端点在双曲线1的右支上移动(m)，那么，AB中点M的横坐标的最小值为_；(用a，b，m表示) (安徽省2002年高中数学竞赛题)5如图所示，过椭圆C：1(ab0)上的动点P引圆O：x2y2b2的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，直线AB分别与x轴、y轴交于M、N两点求：(1)OMN面积的最小值；(2)椭圆C上是否存在P点，由P向圆O所引两切线互相垂直？证明你的结论6已知椭圆C：1上存在关于直线l：y2xm对称的两点，试求m的取值范围(四川省1993年高中数学竞赛)C类例题例7已知双曲线C1：1(a0)，抛物线C2的顶点在原点O，C2
14、的焦点是C1的左焦点F1求证：C1与C2总有两个不同的交点；是否存在过焦点F1的C2的弦AB，使AOB的面积有最大值或最小值？如果存在，求出AB所在直线的方程，如果不存在，说明理由(湖南省1998年高中数学竞赛)解 (1)双曲线焦点(a，0)，抛物线方程y24ax，C1、C2的交点坐标由方程组确定代入，得x22axa20，解得x(2)a当x(2)a时方程组无解；当x(2)a时方程组有两个解从而C1与C2有两个不同交点(2)当ABOx时，|AB|4a，SAOB6a2当AB不与x轴垂直时，设AB的斜率为k，则yk(xa)，代入抛物线方程得，y24a(a)，即 y2y12a20则48a2(1)，从而
15、|y2y1|4a则SAOB|y2y1|OF1|6a26a2即AOB的面积没有最大值，但有最小值，最小值为6a2此时直线AB的方程为xa例8已知l1、l2是双曲线1的两条渐近线，过椭圆1(ab0)的右焦点F作直线m，使ml1，m与l2的交点为P，m与已知椭圆的交点记作A与B(如图所示)，求的最大值及此时椭圆的离心率解 由题意可设l1：bxay=0，l2：bxay0则直线m的方程为：axbyac0(c，e，0e1)从而P(，)，则P在椭圆的右准线上记l(l0)，则由定比分点公式得点A坐标：x；y此坐标满足椭圆方程，代入得：(c2la2)2l2a4a2c2(1l)2整理得 c42la2c22l2a4
16、a2c22la2c2l2a2c2两边同除以a4得：e42l2e2l2e2整理得： l2e213(2e2)32当且仅当2e2时取等号，即e时，lmax1记t，作椭圆的右准线，分别过A、B作此准线的垂线，交准线于M、N由P在此准线上，知 t即 |BF|t|AF|，故 |AB|(1t)|AF|，又|AB|(t1)|PA|，故，即l，从而1，解得t1从而当椭圆的离心率等于时，取得最大值1情景再现7椭圆C的方程为1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y4xm，椭圆上总有不同的两点关于直线l对称8设y22n1x(n1，2，3，2000)为一族抛物线，分别过每条抛物线的焦点作倾斜角为45的直线，并截该抛物
17、线得弦AnBn(n1，2，3，2000)，将各弦绕其对应准线旋转90得到2000个旋转面，试求所有这些旋转面面积的和习题531已知抛物线y2ax与其关于点(2，1)对称的抛物线有2个不同的交点，且过这2个点的直线的倾斜角为45，这时实数a的值是_2若椭圆的长轴长为4，左顶点在抛物线y2x1上，且左准线为y轴，则这样的椭圆的离心率的最大可能值是 ；(上海市1992年高中数学竞赛)3直线1与椭圆1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得PAB面积等于3这样的点P共有( )A1个 B2个 C3个 D4个(2002年全国高中数学联赛)4设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若PF1F2的顶点P
18、在双曲线上，则PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是( )A在线段MN内部 B在线段F1M内部或在线段NF2内部C点M或点N D不能确定的 (1990年全国高中数学联赛)5设过椭圆1的右焦点的弦AB8，则AOB的面积是 ；(上海市1993年高中数学竞赛)6已知方向向量为v(1，)的直线l过点（0，2）和椭圆C：1(ab0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点E（2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cotMON0（O为原点）若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由(2005年高考题(福建卷)7已知抛物线y22px(p0)的
19、一条长为l的弦AB，求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时M点的坐标8已知AB、BC、AC是抛物线y22px（p0）的任意三条切线，它们交成一个ABC，求证ABC的垂心在某条固定的直线上本节“情景再现”解答：11e1 2 3C 45(1)OMN面积的最小值为；(2)当ab时，椭圆C上存在点P(，)，使得由P向圆O所引两切线互相垂直，当ab时，不存在满足要求的点P6m的取值范围为(2，2)7m的取值范围为(，)8所求侧面积之和等于p(420001)本节“习题13”解答：1a2 2 3B 4C 586(1)椭圆C的方程为1；(2)所求直线方程为yx，或yx或x27设A、B的坐标分别为A(，a)，
20、B(，b)，则中点M的坐标为（，），从而有(ab)24y2，(ab)28px4y2 ，又由|AB|l，有l2()2(ab)2(ab)2，将式代入得，4(2pxy2)(y2p2)p2l20 (1)当l2p时，由有x(y2p2)，当且仅当y时等号成立，点M到y轴的最短距离为xmin，此时点M的坐标为（，）(2)当0l2p时，由有x(4y2)， 对于0y12y22有x2x10可见，函数关于自变量y2是增函数，当y0时，有最小值xmin，此时M点的坐标为(，0)8ABC的垂心在抛物线的准线上设抛物线上三个切点为(pa2，pa)，(pb2，pb)，(pc2，pc)则BA的方程为2x2aypa2 ，同理AC的方程为：2x2cypc2 ，CB的方程为：2x2bypb2 ，则A点的坐标为、的交点，得2cy2aypc2pa2yp(ca)，xaypa2a(ca)pa2pac，则A（pac，p(ca)）同理可得，B（pab，p(ab)），C（pbc，p(bc)）因为kADb，则直线AD的方程为：y(ca)b(xpac)令x，得AD于准线交点H的坐标，H（，(abcabc)）而kBHckBH，故BHAC，同理CHAB，故H为ABC的垂心结论得证17