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1、第53讲锥曲线的综合应用最值.范围问题思维导图利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式题型1:构建目标不等式解最值或范围问题（ 利用已知条件中的几何关系构建目标不等式利用点在曲线内（外）的充要条件或判别式构建目标不等式题型2:构建函数模型解最值或范围问题知识梳理1 .几何转化代数法若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质 来解决.2 .函数取值法当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立口标函数，再求这个函数的最值（或值域）、常 用方法有：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量
2、的 取值范围.题型归纳题型1构建目标不等式解最值或范围问题【例1-1】（2020山东济宁一模）已知椭圆C： 5+=1（心b0）的离心率为坐，且椭圆C过点停，啜（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆。的右焦点的直线/与椭圆。分别相交于A, B两点,且与圆。：/+尸=2相交于E,尸两 点，求科班出斤的取值范围.【解】由题意得？=坐所以=款， LT JJ?2所以椭圆的方程为F+3= 1,将点卷，代入方程得尻=2,即2=3,W y2所以椭圆的标准方程为（2）由（1）可知，椭圆的右焦点为（1,0）,设直线PB的斜率为攵P%k（）F kpF j 7_ j j _）（） QokpA= 1 = _kQFkPB
3、= -kQFkQB= -xo+4xo_5kpB2yc（x（）4-4）（x（）5）（x（）+4）（x（）5）99行（一 25）芽（xo+5）（x（）+4）（x（）5）x（）+4点P不同于A, B两点且直线Qb的斜率存在,/. - 5xo3)的右焦点为人 右顶点为A.已知|。4|一|。日=1,其中。为原点，6为 L/C椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程及离心率e的值；(2)设过点A的直线/与椭圆交于点5(3不在x轴上)，垂直于/的直线与/交于点M,与y轴交于点H. 若BF上HF,且NMO4WNAM0,求直线/的斜率的取值范围.解由题意可知|OQ = c= ya2-3,又|。4| 一|OF|=1,所以
4、44片3=1,解得。=2,所以椭圆的方程为+看=1,离心率e=?= cf 乙设加)，易知A(2,0),在M40 中，ZMOA ZMAOMAMO9即(xm2p+y务W4+y务，化简得x“Nl.设直线/的斜率为k(kWO), 则直线/的方程为y=k(x-2).设 B(xb,犯),联立消去y,整理得(43+3)1一16入+ 163- 12=0,整理得(43+3)1一16入+ 163- 12=0,解得x=2或X解得x=2或X8乒一64+3,由题意得xb=由题意得xb=8F 6-2k4F + 3从而1=4F+3.由知F(l,0),设(0,泡,则窃=(1, y”)，BF =则窃=(1, y”)，BF =(
5、94F(4标+3,由BFLHF,得而后=0,由BFLHF,得而后=0,归2期也即4后+3+43+3一归2期也即4后+3+43+3一左曰 94Zr解何y=FT出的距离之和为4,设弦MN的垂直平分194。1所以直线的方程为j=-vx+ . K 1乙K尸(I)，20F+9由j _1 9-4Z：2消去y,得口=12停+i) rd十，由加21,得21，解得女W 乎或攵与乎，所以直线/的斜率的取值范围为(一8,- 乎押率+8)【例11-3】已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C,其上一点。到两个焦点J3离心率为4.(1)求椭圆。的方程；(2)若直线/与椭圆。交于不同的两点M, N,且线段MN恰被直线x=：平
6、分，线的方程为y=kx-rm,求m的取值范围.解（1）由题意可设椭圆。的方程为由条件可得。=2, c=小，则/?=1.（2）法一：设弦MN的中点为P 故椭圆C的方程为1+f=l.yo ,加），Mm,孙），则由点M, N为椭圆C上的点，可知4品+）笳=4,4x8+y8=4,两式相减，得 4（XM XN）（Xm + xN）+ （），MyN）（M+yN）=。,又点又点将 xm+xn=2 义1, _o 加 yN-1,加十处一2yo,-代入上式得 yo仁一2州）在弦MV的垂直平分线上,所以3=一m,所以m=yo3=平,由点g, yo）在线段8夕上B（XB； / ）, B（xb,犯）为直线x=；与椭圆的交
7、点，如图所示）,所以y/ 勺0）%,即一审yo小.“、）3a/33a/3 口 一所以j m+2左=疝+3）,即 x=ky2l9联立联立消去 x,得(4攵2+1)2 + 8攵(23+5)/+16攵4+82 3 = 0,由 /0,唔。)电即机的取值范围为【跟踪训练1-1】已知焦点在y轴上的椭圆石的中心是原点。，离心率等于半，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4小,直线/： =丘+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A, 8两个点. (1)求椭圆E的方程；(2)若方=3同，求小的取值范围.22【解】根据已知设椭圆E的方程为，+方=1(泌0),焦距为2g由已知得色=*, .c=a9 b2 = a
8、2 c1.利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参 数的范围转化为已知参数的范围问题.由已知得色=*, .c=a9 b2 = a2 c1.利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参 数的范围转化为已知参数的范围问题.=r. a 224;以椭圆石的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4、心，：4yJa2+吩=2小a=44,.a=29 h=.二椭圆E的方程为x2+= 1.(2)根据已知得P(0, m),设 4(xi, Axi+/n), 3(及，区2+/),y=kx-m,99 消去y,底+产一4=0得/2
9、+4)%2+22区+租24 = 0.由已知得 A=4/Trk14(Zr+4)(?124)0,即 Z?m2+40,且 Xi+12 =且 Xi+12 = 2km3+4m24 用及=再了由方=3尚，得汨= -3x2.3(汨+工2)2 + 4%逮2= 12 岔-12x9=0.12m2 L4(m24)耐讨+手+4 =即 IT?女2 + 加2 2 4 = 0.当加2=时，m2Z:2+z7i2於一4 = 0不成立,V* 2.利用已知条件中的几何关系构建目标不等式的核心是用转化与化归的数学思想，招几何关系转化为代数 不等式，从而构建出目标不等式. m2+40,4nr 0,-(4m2)m2正二?一+4,即,21
10、 。.解得 1ah2-4y2yl_/ 6序44 小，(m2+5)2 m2+5m2+5设 1=7席+1, 01, +0),则5=第=喈W小，/+7当，=,即，=2,加=/5时，ABZ)的面积取得最大值小.【名师指导】题型2构建函数模型解最值或范围问题【例2-1】在平面直角坐标系中0为坐标原点，圆。交x轴于点出,交y轴于点5，&似S，比为顶点，R, F2分别为左、右焦点的椭圆石恰好经过点（1,阴.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点（一2,0）的直线/与椭圆交于N两点，求面积的最大值. 72解 由已知可得，椭圆的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为多+方=1（汕0）,焦距为2g则 b=c,/.
11、a2=b1-c2=2b2,椭圆E的标准方程为券+$=L1又椭圆E过点（1,孝），今十1=1，解得2=1.?.二椭圆E的标准方程为与+y2=l.（2）由于点（一2,0）在椭圆E外，直线/的斜率存在.+/=1 12，由 zl0,得 00)与点 Nf (0,0).联立方程，得x+y=t, j2=2/?(x+1),消去 y,整理得 2(212+2p)x+(f1)2 2p=0,设直线 x+1+y=E 与抛物线)2=2p(x+1)交于点 A (%, y), B (X2, 2), 由根与系数的关系可得xxi = (t1)22p.消去x,整理得)a+2py2p/=0,由根与系数的关系可得yyi= -2pt.由
12、已知得,xiX2+yij2=0,“9口 m/o 32?+ 1所以Q I)?2p2pf=0,整理行 2p=-.易得.三地，即fW2(舍去)或，22,Z2-2?+1因为 2p= 口 =/+144327+ 1在y4,所以函数了=在，2, +8)上单调递增,所以即的取值范围为，+【跟踪训练2-2已知M为椭圆C：【跟踪训练2-2已知M为椭圆C：x125=1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为。,足 pB jMD.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A, 3两点分别为椭圆。的左、右顶点，尸为椭圆C的左焦点，直线P3与椭圆。交于点。，直 线QF, %的斜率分别为必小趋法求的取值范围.【解】设P(x, y), M(m, n)9依题意知设(犯0),且yWO.由尸。=|MD,得(加一x, y)=,|(0,n),m=x93=歹文M(m, )为椭圆C:=1上的点,=1 ,即 f+y2 = 25,故动点P的轨迹E的方程为x2+y2=25(y0).(2)依题意知4一5,0), Q5,0), F(4,0),设Q5),州)，丁线段45为圆E的直径，：.APrBP,4F 21+ 1=r+l+ry4,函数)=-n在 ze2, +8)上单调递增, I X6