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1、-指数函数教案(1)-第 9 页3.1 指数函数（1）【学习导航】 指数函数定义图象性质比较大小不等式的解复合函数的性质知识网络学习要求 1理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质；2初步了解函数图象之间最基本的初等变换。3能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小4提高观察、运用能力自学评价1形如 的函数叫做指数函数，其中自变量是 ，函数定义域是 ，值域是 2. 下列函数是为指数函数有 （且）3.指数函数恒经过点 4.当时，函数单调性为 ；当时，函数单调性是在上是 答案1. ,x, , 2. 34. 在上是增函数 ,减函数【精典范例】例1：比较大小：（1）；（2）；（3）分析：利用指数函数
2、的单调性点评:当底数相同的两个幂比较大小时，要考虑指数函数；当底数不相同的两个幂比较大小时，要寻找第三个值来与之比较例2：（1）已知，求实数的取值范围；（2）已知，求实数的取值范围.分析：利用指数函数的单调性.例3：设是实数，（1）求的值，使函数为奇函数（2）试证明：对于任意在为增函数；例1【解】（1）考虑指数函数，在上是增函数，（2）考虑指数函数，在上是减函数，（3）在上是增函数，在上是减函数，例2【解】（1）在上是增函数，由得，即实数的取值范围是.（2）在上是减函数，又，由得，即实数的取值范围是.点评:通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法.例3分析：此题虽形式
3、较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。（1），由是奇函数，即，.（2）证明：设，则由于指数函数在上是增函数，且，所以即，又由，得，所以，即因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数.点评:求与指数函数有关的复合函数的奇偶性、单调性时要注意运用指数函数的有关性质来解决问题.追踪训练一1.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 （） 2.已知函数在区间上的最大值与最小值的差是1，求实数的值；3. 解不等式：(1) (2)析：本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围答案1. 2. 解：当时，函数在区间上是增函数，；当时，函数在区间上是减函数，综上：或3. 解：(1)又在定义域
4、上是增函数原不等式等价于解之得原不等式的解集为(2)可以整理为， 即，又在定义域上是减函数，故原不等式的解集为【选修延伸】一、与指数函数有关的复合函数 例4: 求函数的定义域、值域、单调区间 分析：原函数由函数与复合而成，求解时要统筹考虑追踪训练二1求下列函数的定义域、值域：(1) (2) 例4【解】设，则，由于它们的定义域都是，所以函数的定义域为因为，所以，又，函数的值域为 函数在是增函数，而在上是减函数，所以设，则，从而，即，函数在是增函数，同理：函数在是减函数，函数的增区间，减区间是点评:形如的定义域与的定义域相同；求值域时要先确定的值域，再根据指数函数的性质确定的值域；当时，与的单调性
5、相同，当时，与的单调性相反思维点拔：（1）比较两个指数式的大小或解指数不等式往往要利用指数函数的性质；（2）与指数函数有关的复合函数的性质既要考虑到指数函数的性质，又要考虑到与之复合的函数性质变式训练解：（1） 原函数的定义域是， 令 则 得，所以，原函数的值域是（2） 原函数的定义域是， 令 则， 在是增函数 ， 所以，原函数的值域是第十七课时 指数函数（2）【学习导航】 知识网络 指数函数的图象图象间的变换图象的应用平移变换对称变换图象与方程、不等式学习要求 1进一步掌握指数函数的图象、性质；2初步掌握函数图象之间最基本的初等变换。3提高观察、抽象的能力自学评价1已知，与的图象关于 对称；
6、与的图象关于 对称.2. 已知，由 的图象 得到的图象； 得到的图象； 得到的图象； 得到的图象.答案1. 轴 ，轴 2. 向左平移个单位， 向右平移个单位向上平移个单位， 向下平移个单位 【精典范例】例1： 说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）； （2）例2：说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）；（2） 例3：画出函数的图象并根据图象求它的单调区间：（1）；（2）分析：先要对解析式化简 .例1【解】（1）比较函数与的关系：与相等， 与相等，与相等 ，由此可以知道，将指数函数的图象向左平移1个单位长度，就得到函数的图象。（2）比较
7、函数与的关系：与相等， 与相等，与相等 ， 由此可以知道，将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象。点评:一般地，当时，将函数的图象向左平移个单位得到的图象；当时，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象 例2【解】比较函数与的关系：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； 由此可以知道，将指数函数的图象向上平移1个单位长度，就得到函数的图象。同理可知，将指数函数的图象向下平移2个单位长度，就得到函数的图象。点评: 当时，将函数的图象向上平移个单位得到的图象；当时，将函数的图象向下平移个单位得到的图象。例3【解】（1），由图象可得函数递增区间为,递减区间为.(2) ，由图象可得函数
8、递增区间为,递减区间为点评:画与指数函数复合的函数图象时要先化简解析式，然后再寻找它与指数函数图象之间的关系.追踪训练一1. （1）函数恒过定点为_. （2）已知函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_.2. 怎样由的图象，得到函数的图象？3. 说出函数与图象之间的关系：答案1. _2. 解：将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，就得到函数的图象.3.解：当时，函数的图象向右移个单位；得到函数的图象；当时，函数的图象向左移个单位；得到函数的图象【选修延伸】一、指数函数图象与方程和不等式 例4: （1）求方程的近似解（精确到）；（2）求不等式的解集.追踪训练二1 已知是定义在上的奇函数，且
9、时，.（1）求函数的解析式；（）画出函数的图象；（）写出函数单调区间及值域；（）求使恒成立的实数的取值范围例4【解】方程可化为，分别画出函数与函数的图象（1）由图象可以知道，方程的近似解为；（2）不等式的解集为.点评:与指数函数有关的方程与不等式当用代数方法比较困难时，通常将它们拆成两个函数，通过观察函数的图象来求出结果.追踪训练2解：（），又当时，（） 函数的图象为（） 根据的图象知：的单调增区间为，；值域为.（）根据的图象知：使恒成立的实数的取值范围为第十八课时 指数函数（3）【学习导航】 指数函数应用剩留量问题复利问题增长（降低）率问题选用函数模拟数据知识网络 学习要求 1熟练掌握指数函
10、数的图象和性质；2能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题，体会指数函数是一类重要的函数模型； 3培养学生从特殊到一般的抽象、归纳的能力以及分析问题、解决问题的能力自学评价1在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为，平均增长率为，则对于时间的总产值，可以用公式 表示.【精典范例】例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式例2：某种储蓄按复利计算利息，若本金为元，每期利率为，设存期是，本利和（本金加上利息）为元（1）写出本利和随存期变化的函数关系式；（2）如果存入本金1000元，每期利率
11、为2.25%，试计算5期后的本利和分析：复利要把本利和作为本金来计算下一年的利息3：年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）例1【解】设该物质的质量是1,经过年后剩留量是经过1年,剩留量经过2年,剩留量经过年,剩留量点评:先考虑特殊情况，然后抽象到一般结论2.【解】 (1)已知本金为元,利率为则: 1期后的本利和为 2期后的本利和为期后的本利和为(2)将代入上式得(元).答:5期后的本利和为1117.68元点评:审清题意是求函数关系式的关键；
12、同时要能从具体的、特殊的结论出发，归纳、总结出一般结论3.【解】设2000年我国的年生产总值为,则年生产总值随时间(年)的函数关系可表示为图象为由图象可见经过10年国内生产总值约2倍.或当时 ，答:2010年我国国内生产总值约为2000年的2倍.点评:建立函数关系是解决实际问题的重要方法，同时利用函数图象求方程的近似解是常用方法追踪训练一1.（1） 一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件个,计划从今年开始的年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长,则此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式为 （2）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是元/个, 计划从今年开始的年内, 每
13、年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降,则此种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式是2. 年月日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息:”市政委员会今天宣布:本市垃圾的体积达到”,副标题是:”垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体积与垃圾体积的加倍的周期(年)数的关系的表格,并回答下列问题:周期数体积(1) 设想城市垃圾的体积每三年继续加倍,问年后该市垃圾的体积是多少?(2) 根据报纸所述的信息,你估计年前垃圾的体积是多少?(3) 如果,这时的表示什么信息?(4) 写出与的函数关系式,并画出函数图象(横轴取轴);(5) 曲线可能与
14、横轴相交吗?为什么?解:(1)由于垃圾的体积每年增加倍,年后即个周期后, 该城市垃圾的体积是.(2) 根据报纸所述的信息,估计年前垃圾的体积是.(3)如果,这时的表示年前,表示年前的垃圾.（4）与的函数关系式是，图象如图（5）对任意整数，有，所以，曲线不可能与横轴相交.【选修延伸】一、指数函数与二次函数的选择 例4: 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、万件、万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或（其中为常数）已知4月份该产品的产量为万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好并说明理由追踪训
15、练二1某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木。该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为，以后每年的木材增长率为，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满。问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？（参考数据：）例4【解】 (1)若选用二次函数,则可设为 由条件可得: 解得: 当时,(万件) (2)若选用 解得 当时,(万件)由(1)(2)可得选用较好.变式训练二解：设新树苗的木材量为，若连续生长10年，木材量为生长5年重栽新树苗，木材量为则生长5年重栽新树苗可获得较大的木材量第十九课时 指数函数(4)【学习导航】学习要求：1、巩固指数函数的图象及其性
16、质；2、掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数性质；【精典范例】一、 复合函数的定义域与值域例1、求下列函数的定义域与值域。(1)y=；(2)y=；(3)y=思维分析：y=a的定义域是f(x)的定义域；对于值域，要先求出f(x) 值域再利用指数函数单调性求解。二、利用复合函数单调性来解题例2、求函数y=的单调区间。点评：y=a的单调性由a和u=f(x)两函数在相应区间上单调性确定的，遵循“同增异减”法则。三、利用图象的性质比较大小例3、已知函数f(x)=ax(a0，且a1)，根据图象判断f(x1)+f(x2)与f()的大小，并加以证明。四、分类讨论思想在解题中的应用例4、已知f(x)=(e
17、xa)+ (exa)(a0)。（1） f(x)将表示成u= 的函数；（2） 求f(x)的最小值思维分析：平方展开重新配方，就可以得到所求函数的形式；然后根据二次函数的知识确定最值。例1【解】：（1）令，得。解得x1，或x1。故定义域为xx1，或x1及0a0即f(x1)+f(x2) f()。例4【解】：（1）将f(x) 展开重新配方得，f(x)=(ex+ex)2a(ex+ex)+2a2令u= ，得f(x)=4u4au+2 a2(u)(2)因为f(u)的对称轴是u=，又a所以当时，则当u=1时，f(u)有最小值，此时f(u) =f(1)=2(a1)。 当a2时，则当u=时，f(u)有最小值，此时f
18、(u)=f ()=a2.所以f(x)的最小值为f(x)=点评：这是复合函数求最值问题，为了求得最值，通过换元转化为二次函数，再由二次函数在区间上的单调性确定最值。追踪训练1、求下列函数定义域和值域.(1)y=；(2)y=2、求函数y=的单调区间.3、已知f(x)=（a0,且a）(1)求f(x)的定义域和值域；(2)判断f(x)与的关系；(3)讨论f(x)的单调性；4、已知g(x)=()x(x0)，而f(x)是定义在(，0)(0，+)上的奇函数，且当x0时，f(x)=g(x)，则f(x)的解析式为_ _.5、设a是实数，f(x)=.(1)证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数；(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数成立。例1答案：（1）定义域-1，2； ，1。（2）定义域xx-1 值域yy2,或0y1时，f(x)=在定义域上为增函数；当0a1时，f(x)=在定义域上为减函数。例4答案：f(x)_=例5答案：（1）证明略 （2）利用奇函数的定义式，易得a=1