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1、-2017年高考全国3卷理科数学试题和答案解析-第 10 页2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合，则中元素的个数为（）A3B2C1D0【答案】B【解析】表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点的集合，故表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即元素的个数为2，故选B.2设复数z满足，则（）ABCD2【答案】C【解析】由题，则，故选C.3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线
2、图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.4的展开式中的系数为（）ABC40D80【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含的项为，则的系数为40，故选C.5已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点则的方程为（）ABCD【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线方程为，则又椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则由解得，则双曲线的方程为，故选B.6设函数，则下列
3、结论错误的是（）A的一个周期为 B的图像关于直线对称C的一个零点为D在单调递减【答案】D【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到，如图可知，在上先递减后递增，D选项错误，故选D.7执行右图的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为（）A5B4C3D2【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：初始状态01001第1次循环结束1002第2次循环结束9013此时首次满足条件，程序需在时跳出循环，即为满足条件的最小值，故选D.8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）ABCD【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径，
4、则圆柱体体积，故选B.9等差数列的首项为1，公差不为0若，成等比数列，则前6项的和为（）ABC3D8【答案】A【解析】为等差数列，且成等比数列，设公差为.则，即又，代入上式可得又，则，故选A.10已知椭圆（）的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】以为直径为圆与直线相切，圆心到直线距离等于半径，又，则上式可化简为，可得，即，故选A11已知函数有唯一零点，则（）ABCD1【答案】C【解析】由条件，得：，即为的对称轴，由题意，有唯一零点，的零点只能为，即，解得12在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为（）A3BCD2【答案】A【
5、解析】由题意，画出右图设与切于点，连接以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为切于点是中斜边上的高即的半径为在上点的轨迹方程为设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，两式相加得： (其中，)当且仅当，时，取得最大值3二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若x，y满足约束条件则的最小值为_【答案】【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为，则直线纵截距越大，值越小由图可知：在处取最小值，故14设等比数列满足，则_【答案】【解析】为等比数列，设公比为，即，显然，得，即，代入式可得，15设函数则满足的x的取值范围是_【答案】【解析】，即由图象变换可画出与的图象
6、如下：由图可知，满足的解为.16，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：当直线与成角时，与成角；当直线与成角时，与成角；直线与所成角的最小值为；直线与所成角的最大值为其中正确的是_（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】由题意知，三条直线两两相互垂直，画出图形如图不妨设图中所示正方体边长为1，故，斜边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系则，直线的方向单位向量，点起始坐标为，直线的方向单位向量，设点在运动过程中的坐标，其中为与
7、的夹角，那么在运动过程中的向量，设与所成夹角为，则故，所以正确，错误设与所成夹角为，当与夹角为时，即，此时与夹角为正确，错误三、解答题：（共70分第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求c；（2）设为边上一点，且，求的面积【解析】（1）由得，即，又，得.由余弦定理.又代入并整理得，故.（2），由余弦定理.，即为直角三角形，则，得.由勾股定理.又，则，18（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理
8、，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？【解析】易知需求量可取则分布列为：当时：，此
9、时，当时取到.当时：此时，当时取到.当时，此时.当时，易知一定小于的情况.综上所述：当时，取到最大值为. 19（12分）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分求二面角的余弦值【解析】取中点为，连接，；为等边三角形,即为等腰直角三角形，为直角又为底边中点令，则易得：，由勾股定理的逆定理可得即又由面面垂直的判定定理可得由题意可知即,到平面的距离相等即为中点以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，则，易得：，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，解得，解得若二面角为，易知为锐角，则20（1
10、2分）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆（1）证明：坐标原点在圆上；（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程【解析】显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意设，联立：得，恒大于，即在圆上若圆过点，则化简得解得或当时，圆心为，半径则圆当时，圆心为，半径则圆21（12分）已知函数（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值【解析】 ，则，且当时，在上单调增，所以时，不满足题意；当时，当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增若，在上单调递增当时矛盾若，在上单调递减当时矛盾若，在上单调递减，在上单调递增满足题意综上所述 当时即则有当且仅当
11、时等号成立一方面：，即另一方面：当时，的最小值为22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为（m为参数），设与的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C（1）写出C的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为与C的交点，求M的极径【解析】将参数方程转化为一般方程 消可得：即的轨迹方程为；将参数方程转化为一般方程 联立曲线和解得由解得即的极半径是23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围【解析】可等价为.由可得：当时显然不满足题意；当时，解得；当时，恒成立.综上，的解集为.不等式等价为，令，则解集非空只需要.而.当时，；当时，；当时，.综上，故.