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1、-新北师大版八年级下册三角形的证明-第 14 页三角形的证明【知识点一：全等三角形的判定与性质】1判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2证题的思路：【典型例题】1用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC的依据是（）ASSS BASA CAAS D角平分线上的点到角两边距离相等2下列说法中，正确的是（ ）A两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C两
2、锐角对应相等的两个直角三角形全等 D面积相等的两个三角形全等3如图，ABCADE，若B80，C30，DAC35，则EAC的度数为（ ）A40B35C30D254已知：如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.5用三角板可按下面方法画角平分线：在已知AOB的两边上，分别取OMON （如图57），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分AOB，请你说出其中的道理 图57【巩固练习】1下列说法正确的是（ ）A一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B斜边相等的两个直角三角形全等C斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D一边长相等的两等腰直角三角形全等2
3、如图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数为（）A15 B20 C25 D303如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的图形是 （ ）A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙4如图49，已知ABCABC，AD、AD分别是ABC和ABC的角平分线（1）请证明ADAD；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗? 图495如图410，在ABC中，ACB90，ACBC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EFAEBF 图410（2）如图411，
4、将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系ADBD；ADBD；ADBD图411【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等【典型例题】1等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A12B15 C12或15D182等腰三角形的一个角是80，则它顶角的度数是（）A80B80或2
5、0C80或50D203已知ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A0x3Bx3 C3x6 Dx64如图，MON=43，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）A1个 B2个 C3个D4个5如图，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，DE过O且平行于BC，已知ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求ABC的周长6、如下图，在ABC中，B=90，M是AC上任意一点（M与A不重合）MDBC，交ABC的平分线于点D，求证：MD=MA. 【巩固练习】1如图，已知直线ABCD，DCF=110且AE=AF，则A等于（）A30
6、B40C50D702下列说法错误的是（）A顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D两个等边三角形全等3如图，是一个55的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1点A和点B在小正方形的顶点上点C也在小正方形的顶点上若ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A6B7C8D94如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A6B7C8D95如图：E在ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过
7、D作DGAC交BC于G求证：（1）GDFCEF；（2）ABC是等腰三角形【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60的三角形是等边三角形；有两个叫是60的三角形是等边三角形性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60【典型例题】1下列说法中不正确的是（）A有一腰长相等的两个等腰三角形全等B有一边对应相等的两个等边三角形全等C斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D斜边相等的两个等腰直角三角形全等2如图，在等边ABC中，BAD=20，AE=AD，则CDE的度数是（）A10B12.5C15D203、如右图
8、，已知ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.【变式练习】1下列命题：两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形其中错误的有（ ）A1个B2个C3个D4个2如图，AC=CD=DA=BC=DE则BAE是BAC的（）A4倍 B3倍 C2倍 D1倍3如图，等边ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上若DE=DB，则CE的长为 4如图，等边ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则FAE+AEF
9、的度数是（）A60 B110 C120 D1355如图，已知：MON=30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA1=1，则A6B6A7的边长为（）A6 B12C32 D646.如图，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q（1）求证：BQM=60；（2）如图，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由7如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CD
10、E，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G（1）求证：BE=AD；（2）求AFG的度数；（3）求证：CG=CH【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立这种证明方法称为反证法【基础练习】1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）Aa、b、c都是奇数 Ba、b、c或都是奇数或至少有两个偶数Ca、b、c都是偶数 Da、b、c中至少有两个偶数2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反证假设正确的是（）A假设三内角都不大于60 B假设三内角都大于
11、60C假设三内角至多有一个大于60 D假设三内角至多有两个大于603、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角【知识点五：直角三角形】1、直角三角形的有关知识l 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；l 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；l 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理
12、称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.【典型例题】1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2使两个直角三角形全等的条件是（）A一个锐角对应相等B两个锐角对应相等C一条边对应相等D两条边对应相等3等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A7B6C5D44如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A1 B C D25如图，在ABC中，C=90，B
13、=30，AD是BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（）A6B4 C3 D26如图，在44正方形网格中，以格点为顶点的ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）ABC4 D37如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F（1）求证：ACEBCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗? 请证明你的结论8如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个ABC，ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合（1）在图中画BCD，使BCD的面积=ABC的面积（点D在小正方形的顶点上）（2）请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形的周长9如图
14、，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处；（1）求证：BE=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明【变式练习】1利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（）A已知斜边和一锐角B已知一直角边和一锐角C已知斜边和一直角边D已知两个锐角2在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A B C D3如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2则最大的正方形E的面积是 4已知RtABC中，C=90
15、，且BC=AB，则A等于（）A30B45C60 D不能确定5已知：如图，在ABC中，A=30，ACB=90，M、D分别为AB、MB的中点求证：CDAB6如图，在55的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，BCD是不是直角? 请说明理由7正方形网格中的每个小正方形边长都是1每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图1中，画ABC，使ABC的三边长分别为3、；（2）在图2中，画DEF，使DEF为钝角三角形且面积为2【提高练习】1如图矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3则AB的长为（）A3B4C5 D6
16、2如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A4 B6C16 D55n2345a221321421521b46810c22+132+142+152+13张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想4如图，AC=BC=10cm，B=15，ADBC于点D，则AD的长为（）A3cmB4cm C5cm D6cm5如图，在ABC中，C=90，B=15，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，
17、BD=8，则AC= 6图1、图2分别是108的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：（1）在图1中画一个ABC，使ABC为面积为5的直角三角形；（2）在图2中画一个ABC，使ABC为钝角等腰三角形7已知，如图，ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P（1）求证：AEBCDA；（2）求BPQ的度数；（3）若BQAD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长【知识点六：线段的垂直平分线】l 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。l 线段垂直平分线逆
18、定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。n 三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。【典型例题】1如图，在RtABC中，C=90，B=30AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）AAE=BEBAC=BECCE=DEDCAE=B2如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD若ADC的周长为10，AB=7，则ABC的周长为（）A7B14C17 D203三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）A三条中线的交点B三边垂直平分
19、线的交点C三条高的交点D三条角平分线的交点4如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A在AC，BC两边高线的交点处B在AC，BC两边中线的交点处C在AC，BC两边垂直平分线的交点处D在A，B两内角平分线的交点处5如图，AD为BAC的角平分，线段AD的垂直平分线交AB于M，交AC于N，试说明MDAC6如图所示，ABC中，AB=AC，BAC=120，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F求证：BF=2CF7如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC边上的中点，CEAD于点E，BFAC交
20、CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF【变式练习】1如图，在RtABC中，B=90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E已知BAE=10，则C的度数为（）A30 B40 C50 D602如图，在ABC中，已知AC=29，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点EBCE的周长等于50，则BC的长为（）A2lB22C23D243如图，在ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，BC=13cm，则AEG的周长为（）AcmB13cmC26cmD154已知：如图，ABC的AABC，边BC的垂直平分线DE分别交AC，BC于D，E，则AD+BD与BC的关系是（）A大于B小于C等于D不能
21、确定5如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 你能画图说明吗? 6如图，在ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DEAB，BCE的周长为8cm，且ACBC=2cm，求AB、BC的长【提高练习】1如图，在ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点（1）若BAC=100，求EAN的度数；（2）若BAC=70，求EAN的度数；（3）若BAC=（90），直接写出用表示EAN大小的代数式2如图2，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，A=35，则D等于（）A50 B65
22、C55 D703如图3，在ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则AEC的周长等于（）Aa+b Bab C2a+b Da+2b4如图有一块直角三角形纸片，ACB=90，两直角边AC=4，BC=8，线段DE垂直平分斜边AB，则CD等于（）A2 B C3 D5如图，ABC=50，AD垂直平分线段BC于点D，ABC的平分线交AD于E，连接EC；则AEC等于（）A100 B105 C115 D120【知识点七：角平分线】l 角平分线上的点到角两边的距离相等。l 角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。n 三角形三条角平分线
23、交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。【典型例题】1如图，POA=POB，PDOA于点D，PEOB于点E，OP=13，OD=12，PD=5，则PE=（）A13 B12 C5 D12三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的（）A三条中线交点 B三条角平分线交点C三条高线交点 D三条高线所在直线的交点3如图，RtABC中，C=90，ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A5cm B4cm C3cm D2cm4如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（）APA=PB BPO平分APBCOA=
24、OB DAB垂直平分OP5如图，直线a、b、c，表示三条相互交叉的公路，现拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A一处 B四处 C七处 D无数处6求作一点P，使PC=PD，且点P到AC，AB的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出作法）7（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）设计了如下方案：（）AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是AOB的平分线（）AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB
25、之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是AOB的平分线（1）方案（）、方案（）是否可行? 若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PMOA，PNOB此方案是否可行? 请说明理由8如图，AD为ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G、试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论9如图，ABC中，O是BC的中点，D是BAC平分线上的一点，且DOBC，过点D分别作DMAB于M，DNAC于N求证：BM=CN【变式练习】1如图，OP平分MON，PAON于点A，
26、点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A1 B2 C3 D42如图所示，点E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别是C、D，若OE=4，AOB=60，则DE= 3如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足下列两个条件：点P到A，B两点的距离相等；点P到直线l1，l2的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出作法）4已知：如图所示，ABC中，C=90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF求证：CF=EB5已知：如图，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC（1）若连接AM，则AM是否平分BAD? 请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎
27、样的位置关系? 请说明理由【提高练习】1如图，AOB=30，OP平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于（）A4 B3 C2 D12如图，在ABC中，C=90，B=30，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）AD是BAC的平分线；ADC=60；点D在AB的中垂线上；SDAC：SABC=1：3A1 B2 C3 D43如图，锐角三角形ABC中，BCABAC，小靖依下列方法作图：（1）作A的角平分线交BC于D点（2）作AD的中垂线交AC于E点（3）连接DE根据他画的图形，判断下列关系何者正确? （）ADEACBDEABCCD=DEDCD=BD4如下图左，在矩形ABCD中，点P在AB上，且PC平分ACB若PB=3，AC=10，则PAC的面积为 5已知：如上图右，ABCD，O为BAC、ACD的平分线的交点，OEAC于点E，若两平行线间的距离为6，则OE= 62011年4月21日是重庆一中80周年校庆日，学校准备进一步美化校园，在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树如图，要求银杏树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且P到点A、D的距离也相等请用尺规作图作出银杏树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）