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1、-数学中的对称美-第 7 页 数学中的对称美摘要：古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现”数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的显现，是自然美的客观反映，是科学美的核心。数学美的内容十分丰富，对称美是数学美的一个重要组成部分，它普遍存在于数学的各个分支。关键词：数学美；对称美；对称性 一：数学中的对称美:在数学史上，数学美是数学发展的伟大动力。虚数的引入，非欧几何的创立，射影几何的诞生，微积分的严格化，无不体现了数学美对数学发现与发展的指导作用。数学美一般表现为简单、对称、统一、奇异等重要特征。这些特征渗透在数学的理论、语言、定理、公式、方法技巧及数学的实
2、际应用之中。比如对称是最能给人以美感的一种形式.数学中的对称美，是指数学中的部分与部分、部分与整体之间的和谐一致，以及各种数学概念和理论之间存在的“对等性”。这样对称美便成了数学美中的一个重要组成部分，它普遍表现在初等数学与高等数学的各个分支。二：如何发现数学对称美：对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美和对称紧密相连。大自然中具备对称美的事物有许许多多，如枫叶、雪花等
3、等，对称本身就是一种和谐、一种美。在数学中的应用也非常广泛，如：大家都非常熟悉的轴对称图形等等，其实根据对称原如何掌握对称这一基本原理去解决一些实际问题，找到事物之间的内在统一性，用数学的思想去内化这一即简单，又蕴涵深刻哲理的原理，这需要我们深层了解隐藏在问题后面的本质特征，现根据笔者在教学中发现的一些案例，来阐述如何发现数学中的对称美。(一)、 从回文数中得到启发，巧解等差数列 回文数有许多如：2002年就是一个回文数，下一个回文数就要等到2112年，整数乘法中最有趣的一个回文数就是：11=1，1111=121，111111=12321。根据这一规律可以巧算出：=，对于回文数这一特殊结果，大
4、都觉得非常惊讶，对此产生浓厚的兴趣，感叹数的对称美。对称作为一种美,在宇宙万物中成为一个永恒的定理，就象有阴就有阳，有黑就有白一样，说的更玄乎一些，像现代物理学理论中所推论的那样有正物质就有反物质，如，我们生活中所看到感受到的一切客观事物都是正物质，同样宇宙中也存在我们看不见的能量和正物质一样相等的反物质，这样宇宙才均衡，就像宇宙中有你，同样也存在着“反你”，如果有一天“你们”一握手，那么你和“反你”就顿时消失，就像5+（-5）=0一样，说来有些荒唐，可是这种设想在解答一些难题时，却显得巧妙、易懂。如在小学对程度比较好的学生上等差数列求和时，大都用公式：（首项+末项）项数2来教学，可对于小学生
5、要掌握和理解有一定困难。如一道“有女不善织”的古代算术题：有位妇女不善织布，她每天织的布都比上一天要减少一些，减少的数量是相等的，她第一天织了五尺，最后一天织了一尺，一共织了三十天，她一共织了多少尺布？这题的难点在于除了第一天和最后一天，中间每天织的布不是整数，而且每天比上一天少织多少布也不易求。可运用对称的思想是这样解答的：假设还有另一位姑娘也和这位妇女一样织布，只不过她与这位妇女织布的情况刚好相反：姑娘每天织的布都比上一天要增加一些，增加的数量是相等的，她第一天织一尺，最后一天织五尺，也织了三十天，由此可知，姑娘和妇女所织布的总长度是相等的，妇女所织的布每天减少的数量与姑娘织布每天增加的布
6、的数量是相等的，因此每天两人共织的布为六尺，三十天共织630=180尺，每人织90尺。这题的巧妙之处在于将抽象的一组等差数列求和转化为形象生动的形似回文数一般的对称求和方法，也和物理学中所说的正物质和反物质有异曲同工之妙。其实做为等差数列求和都可以用这种思路解答，运用对称的思维来理解等差数列比单纯讲求和公式要形象、生动的多。（二）、 从轴对称图形中发现对称原理的运用根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。在数学中，轴对称图形同时也为人们研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中也常运用这一原理。如：桌面上有21个棋子，排成一排，你一
7、次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是20粒
8、（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个大圆盘上，要硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对方摆不下为止，对方先输。其实这两题的思维方法都来自轴对称图形的基本特征，教师在教学完轴对称图形的内容后可以适当的渗透这方面的知识，学生即乐于学习，又加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，发现对称的美，感受到数学的魅力。 “对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称
9、多项式等，从奇偶性上也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，还有许许多多的地方都体现出它的魅力，就像亚里士多德所说的那样：虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。我们要认真陶所数学中的对称美发现学数学的乐趣和规律。 三:数学对称美在高等数学等中的应用：高等数学里，对称的例子也经常遇到。矩阵和行列式被人们称为“美丽的花园”，即使不懂数学的人，也能感到其排列的整齐和处处对称，从而领略它们的形式之美。从对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，
10、对称的概念略有拓广常把某些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美和对称紧密相连。（1）数形对称美：几何中的对称美。几何图形的对称美是对称美最通俗、最直观的解释。在几何图形中，平行四边形是中心对称的，等腰三角形是轴对称的，球形最为特殊，它既是中心对称，又是轴对称，也是面对称的图形。正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆。”正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才有了美丽的图案，有了巧夺天工的建筑，进而渲染出五彩斑斓的世界。 在几何中，许多问题
11、的解决也运用了对称性原理。笛卡尔创建的解析几何学可以说是美学思想在数学领域的成功运用。在笛卡尔直角坐标系中，代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达成完美的统一。而在各种曲线方程标准形式的推导中，更是充分利用了图形本身的对称性。 例如：曲面积分的对称性有 成立，则称关于具有轮换对称性.定义2：若函数，则称函数关于函数具有轮换对称性.1第一类曲面积分对称性定理定理1：若积分曲面可以分成对称的两部分，在对称点上被积函数的绝对值相等即光滑曲面关于(或,或)坐标面对称，则有（）,在对称点上取相反的符号即关于 (或,或)的奇函数（）=2，在对称点上取相同的符号即为关于(或,或)的偶
12、函数推论1：若光滑曲面可以分成对称的两部分,且关于原点对称，则（），为关于(或,或)的奇函数（）=8,为关于(或,或)的偶函数例1：计算下列面积的曲面积分，其中为球面上的部分解： 利用对称性知 设= 则=例2:计算曲面积分,其中解： 令， 则 关于原点对称，解被积函数=为关于的偶函数由推论= =（2）数式对称美：（一）代数中的对称美。对称是代数中随处可见的现象。譬如，实数a与-a互为相反数，复数a+bi与a-bi互为共轭复数，导数的运算法则，（u+v）u+v，（uv）uv+uv，这些有着明显的对称性。还有，原函数与反函数的图像关于直线y=x对称，偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对
13、称，都给人以赏心悦目之感。 例1古人发现的“杨辉三角”，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 1112113311464115101051它具有的性质： （1）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 （2）第n行的数字个数为n个。 （3）第n行数字和为2（n-1）。 （4）每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角形。 “杨辉三角”形式上所具有的对称美和谐统一，令人叹为观止。例2 似乎黄金分割点（在c处）不是对称点，但若将左端点记为A，右端点记为B，黄金分割点记为C，而且C关于中点的对称点D,也是AB的黄金分割点，因为AD=
14、CB，再进一步，D又是的黄金分割点，C是DB的黄金分割点。由此讨论下去，可以视为一种连环对称。 ;（一）对称美在微分学中的应用。对称现象在微分学中并不少见。如，连续与间断，有限与无限，无穷小与无穷大，曲线的凹凸等概念前后呼应，成对出现。在多元复合函数求偏导数时，可以利用函数关于自变量的对称性简便计算。 定义1（对称多项式）若函数z=f（x1，x2，xn）中任意两个自变量交换后，仍然表示原来的函数，则称此函数关于自变量对称。 结论：若函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微，且f（x，y）=f（y，x），则fx（x，y）=fy（y，x）。由结论可知，对于二元的关于自变量对称的可微函数，求其关于y
15、的偏导数，只需将函数关于x的偏导数中的x与y交换位置即可，此结论还可推广到n阶导数。用对称图形表示对偶。数学的对称美自然地表现在数学元素的“对偶”和数例1、 在欧氏平面几何中,对命题“过两点可以作一条直线”。我们把其中“点”换成 。而这个命题显然是错误的,因为两直线平行时就没有交点。这说明在这个命题中,点与直线的关系不离例三例3 坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等
16、于0，即u(y,z,x)=0， 也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分 f(x,y,z)dS=f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分 f(x,y,z)dS=f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分 f(x,y,z)dS=f(z,x,y)dS ，同样可以进行多种其它的变换。(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可。比如:如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x
17、)=0，那么在这个曲面上的积 分 f(x,y,z)dxdy=f(y,z,x)dydz,f(x,y,z)dydz=f(y,z,x)dzdx, f(x,y,z)dzdx=f(y,z,x)dxdy.(3) 将1中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分 f(x,y)ds=f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称 。第二类和（2）总结相同。(4) 二重积分和三重积分都和(1
18、)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分取间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。注意两点，一是被积函数关于某一变量的奇偶性，二是看一下积分区域，是否关于该变量坐标轴两边对称。比如说2维空间，如果被积函数是X的积函数，那么考察积分区域，是否关于Y对称。如果想要考察X，Y坐标是否可对换，那么就需要考察积分区域是否关于y=x对称。三维空间类似，如果被积函数是X的积函数，那么考察积分区域，看一下是否关于YZ平面对称。所谓的轮换对称，如果要满足的话，就需要三者之间都可互换了。但是要注意，这里有一个特殊情况，就是对坐标的曲面积分，例如X2dydz,如
19、果x2是关于YZ平面对称，x2是偶函数，则这个积分是零，原因是对于坐标的曲面积分，前面和后面的积分符号刚好相反。 参考文献：数学文化 顾沛 高等教育出版社 数学分析 欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传彰高等教育出版社林根对称的。设想两平行直线在无穷远点相交,这时点与直线就形成对称关系。狄沙格正是在此设想下初步建立了射影几何理论。我们把例1中的对偶关系用下面的图直观的表现出来:上行表示过两点可以确定一条直线,箭头的含义是“确定”。左、右两个箭头表示交换点与直线的位置。下行表示“两直线交于一点”,箭头的含义是“相交”,这是根据设想做出的,这个设想使图成为完美的矩形,并且点与直线的对偶关系转化为了几何上
20、的对称。 数学中的对称美为数学研究提供了一种独特的方法,即对称法。简单的说,对称法就是运用对称性的思维方法。例1中所做的“设想”就是使用了对称法。数学家用对称图形表示对偶。数学的对称美自然地表现在数学元素的“对偶”和数例1、 在欧氏平面几何中,对命题“过两点可以作一条直线”。我们把其中“点”换成“直线”,“直线”换成“点”,再适当改变关系词,则命题变为“两直线交于一点”。而这个命题显然是错误的,因为两直线平行时就没有交点。这说明在这个命题中,点与直线的关系不是对称的。设想两平行直线在无穷远点相交,这时点与直线就形成对称关系。狄沙格正是在此设想下初步建立了射影几何理论。我们把例1中的对偶关系用下
21、面的图直观的表现出来:上行表示过两点可以确定一条直线,箭头的含义是“确定”。左、右两个箭头表示交换点与直线的位置。下行表示“两直线交于一点”,箭头的含义是“相交”,这是根据设想做出的,这个设想使图成为完美的矩形,并且点与直线的对偶关系转化为了几何上的对称。 数学中的对称美为数学研究提供了一种独特的方法,即对称法。简单的说,对称法就是运用对称性的思维方法。例1中所做的“设想”就是使用了对称法。数学家利用这一方法,揭示和发现了很多的数学奥秘,得到非常有用的理论和结论。也正是对称法,启发我们将“对偶”转化为“对称”。除了射影几何外,现代代数学中也有此类应用。 例2、 设k是域, A 是一个k - 空
22、间。称A 是一个k - 代数,如果A 中元素有乘法运算和单位元, 并且乘法运算满足结合律。我们用映射A A A表示乘法运算,用映射: A k表示A 中单位元,则结合律和单位元分别可表述为下面的交换图: 将所有出现的箭头反向,并且用替换, 用替换,得和,并且有交换图:其中的称为余乘法,称为余单位,交换图( 3)称为余乘法的余结合律。这里,“乘法与余乘法”,“结合律与余结合律”都是对偶元素。余代学命题的对偶上。但是“对偶”没有几何的直观。如何使数学中的“对偶”有视觉上的对称美,并且利用这种美发现数学问题? 射影几何学在这方面有极好的应用。 用对称图形表示对偶。数学的对称美自然地表现在数学元素的“对
23、偶”和数学命题的对偶上。但是“对偶”没有几何的直观。如何使数学中的“对偶”有视觉上的对称美,并且利用这种美发现数学问题? 射影几何学在这方面有极好的应用。 转贴于 中国论利用这一方法,揭示和发现了很多的数学奥秘,得到非常有用的理论和结论。也正是对称法,启发我们将“对偶”转化为“对称”。除了射影几何外,现代代数学中也有此类应用。 例2、 设k是域, A 是一个k - 空间。称A 是一个k - 代数,如果A 中元素有乘法运算和单位元, 并且乘法运算满足结合律。我们用映射A A A表示乘法运算,用映射: A k表示A 中单位元,则结合律和单位元分别可表述为下面的交换图: 将所有出现的箭头反向,并且用替换, 用替换,得和,并且有交换图:其中的称为余乘法,称为余单位,交换图( 3)称为余乘法的余结合律。这里,“乘法与余乘法”,“结合律与余结合律”都是对偶元素。余代学命题的对偶上。但是“对偶”没有几何的直观。如何使数学中的“对偶”有视觉上的对称美,并且利用这种美发现数学问题? 射影几何学在这方面有极好的应用。 用对称图形表示对偶。数学的对称美自然地表现在数学元素的“对偶”和数学命题的对偶上。但是“对偶”没有几何的直观。如何使数学中的“对偶”有视觉上的对称美,并且利用这种美发现数学问题? 射影几何学在这方面有极好的应用。 转贴于 中国论