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1、第二章 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,2.1.2空间中直线与直线之间 的位置关系,1.了解空间中两条直线的位置关系； 2.理解异面直线的概念、画法； 3.理解并掌握公理4及等角定理； 4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点一空间两直线的位置关系,思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？ 观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？ 答案平行与相交. 教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线； 六角螺母中直线AB与CD.,答案,(1)异
2、面直线：不同在_平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法： 定义法 两直线既不平行也不相交,答案,任何一个,(4)空间两条直线的三种位置关系 从是否有公共点的角度来分：,答案,_ _,没有公共点,有且仅有一个公共点_,从是否共面的角度来分：,_ _,在同一平面内,不同在任何一个平面内_,平行,异面,平行,相交,相交,异面,知识点二平行公理(公理4),思考在平面内，直线a，b，c，若ab，bc则ac，该结论在空间中是否成立？ 答案成立,1.文字表述：平行于同一
3、条直线的两条直线互相平行.,答案,知识点三等角定理 思考观察图，在长方体ABCD-ABCD中，ADC与ADC，ADC与DAB的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何？ 答案从图中可以看出， ADCADC， ADCDAB180.,答案,空间中如果两个角的两边分别对应_，则这两个角_或_.,平行,相等,互补,知识点四异面直线所成的角,思考在长方体A1B1C1D1-ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？,答案相等.,答案,答案,锐角(或直角),090,90,ab,返回,题型探究 重点难点 个个击破,类型一异面直线的判断,例1如图
4、，已知正方体ABCDABCD.哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？,反思与感悟,解由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与直线BA是异面直线.,解析答案,反思与感悟,判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交，也不平行，就是异面直线.,跟踪训练1(1)在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_对. 解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线428(对). (2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对
5、？ 解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH. 还原的正方体如图所示：,解析答案,8,类型二平行公理和等角定理的应用,例2(1)在空间四边形ABCD中，如图所示， 则EH与FG的位置关系是_.,解析连接BD，如图，,解析答案,平行,EHBD，,FGBD， EHFG.,(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点. 求证：BMCB1M1C1. 证明在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点， A1M1綊AM，四边形AMM1A1是平行四边形， A1A綊M1M. 又A1A綊B1B，M1M綊B1B， 四边形BB1M1M为平行四边形.B1M1BM
6、. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM. 由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角. BMCB1M1C1.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,1.空间两条直线平行的证明：(1)定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.(2)利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行. 2.“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能.,跟踪训练2如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点. 求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；,证明如图 ，连接AC， 在A
7、CD中，M，N分别是CD，AD的中点， MN是ACD的中位线，,解析答案,由正方体的性质得：ACA1C1，ACA1C1.,四边形MNA1C1是梯形.,(2)DNMD1A1C1. 证明 由(1)可知MNA1C1. 又NDA1D1， DNM与D1A1C1相等或互补. 而DNM与D1A1C1均为锐角， DNMD1A1C1.,解析答案,类型三两异面直线所成的角,例3如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1AAB，E、F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小.,解析答案,反思与感悟,解如图，取CD1的中点G，连接EG，DG， E是BD1的中点，,反思与感悟,四边形EFDG
8、是平行四边形， EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角. 又A1AAB， 四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点， DGCD1，D1GD90， 异面直线CD1，EF所成的角为90.,反思与感悟,求两条异面直线所成的角的一般步骤： (1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角. (2)计算角：求角度，常利用三角形. (3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.,返回,跟踪训练3如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是A1B1、
9、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.,解析答案,解方法一如图所示， 连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O， 取DD1的中点G， 连接OG，A1G，C1G. 则OGB1D，EFA1C1. GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. GA1GC1，O为A1C1的中点， GOA1C1. 异面直线DB1与EF所成的角为90.,解析答案,返回,方法二如图所示， 连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，,于是HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角. 连接HF，设AA11，,取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HIIF.,HF2EF2HE2.HEF90. 异面直线DB
10、1与EF所成的角为90.,1,2,3,达标检测,4,解析答案,1.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是() A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面 解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示.,D,1,2,3,4,解析答案,2.下列四个结论中假命题的个数是() 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 平行于同一直线的两直线平行； 若直线a，b，c满足ab，bc，则ac； 若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线. A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,解析均为假命题. 可
11、举反例，如a、b、c三线两两垂直. 如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面； 当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交.,答案B,1,2,3,4,3.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是() A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 解析如图(1)所示，直线a与b互相平行； 如图(2)所示，直线a与b相交； 如图(3)所示，直线a与b异面.,D,解析答案,1,2,3,4,解析答案,4.如图，已知长方体ABCDABCD中， AA2. (1)求异面直线BC和AC所成的角的大小. 解因为BCBC， 所以B
12、CA是异面直线AC与BC所成的角. 在RtABC中， BC2 ， 所以BCA45. 所以异面直线BC与AC所成的角为45.,1,2,3,4,解析答案,(2)求异面直线AA和BC所成的角的大小. 解因为AABB， 所以BBC是异面直线AA和BC所成的角.,所以BC4，所以BBC60. 所以异面直线AA与BC所成的角为60.,规律与方法,1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法. 2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小. 作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).,返回,