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1、第1课时函数的单调性,第一章 1.3.1单调性与最大(小)值,1.理解单调区间、单调性等概念； 2.会划分函数的单调区间，判断单调性； 3.会用定义证明函数的单调性.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点一函数单调性,思考1画出函数f(x)x、f(x)x2的图象，并指出f(x)x、f(x)x2的图象的升降情况如何？,答案,答案两函数的图象如下：,函数f(x)x的图象由左到右是上升的； 函数f(x)x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.,一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则
2、为减函数，相应区间称为减区间.,思考2用图象在某区间上上升(或下降)来描述函数单调性很直观，课本为什么还要用定义刻画单调性？,答案,答案因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的.,一般地，设函数f(x)的定义域为I： (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.,答案,增函数,减函数,知识点二函数的单调区间,答案,一般地，有下列常识： (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D定义域I. (
3、3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.,返回,题型探究 重点难点 个个击破,类型一求单调区间并判断单调性,例1(1)如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？,解析答案,解yf(x)的单调区间有5,2，2,1，1,3，3,5，其中yf(x)在区间5,2，1 , 3上是减函数，在区间2, 1，3, 5上是增函数.,解析答案,(2)写出yx23|x|2的单调区间.,画出草图：,反思与感悟,反思与感悟,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不
4、能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.,解析答案,跟踪训练1(1)根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；,解函数在1,0，2,4上是减函数，在0,2，4,5上是增函数.,解析答案,(2)写出y|x22x3|的单调区间.,所以y|x22x3|的单调减区间是(，1，1,3； 单调增区间是1,1，3，).,类型二证明单调性,例2(1)物理学中的玻意耳定律p (k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之；,解析答案,解析答案,证明根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，)上的
5、任意两个实数，且V1V2，则,由V1，V2(0，)，得V1V20. 由V10. 又k0，于是p(V1)p(V2)0，即p(V1)p(V2).,所以，函数p ，V(0，)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.,解析答案,(2)已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)1，且当x0时，f(x)1.求证：函数f(x)在R上是增函数.,证明方法一设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1x2.令xyx1，yx2，则xx1x20. f(x1)f(x2)f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1.x0，f(x)1，f(x)10， f(x1)f(x2)0，即f
6、(x1)f(x2). 函数f(x)在R上是增函数. 方法二设x1x2，则x1x20， 从而f(x1x2)1，即f(x1x2)10. f(x1)fx2(x1x2)f(x2)f(x1x2)1f(x2)，故f(x)在R上是增函数.,反思与感悟,反思与感悟,运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：取值作差变形定号小结.,解析答案,1x1x2，x1x20,1x1x2，,即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).,解析答案,(2)已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有
7、f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1.求证：f(x)在R上是减函数.,解析答案,证明对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，令m1，n0，可得f(1)f(1)f(0)， 当x0时，0f(x)1，f(1)0，f(0)1. 令mx0，nx0， 则f(mn)f(0)f(x)f(x)1，f(x)f(x)1，,对任意实数x，f(x)恒大于0. 设任意x10， 0f(x2x1)1，,f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1) f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)10， f(x)在R上单调递减.,类型三用单调性解不等式,例3(1)已知函数f(x)在区间
8、(a，b)上是增函数，x1，x2(a，b)且f(x1)f(x2)，求证：x1x2；,解析答案,证明假设x1，x2(a，b)且x1x2. 则由f(x)在区间(a，b)上是增函数， 得f(x1)f(x2)，与已知f(x1)f(x2)矛盾，故假设不成立. x1x2.,解析答案,(2)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围.,反思与感悟,反思与感悟,若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小.,解析答案,跟踪训练3在例3(2)中若函数yf(x)的定义域为R，且为增
9、函数， f(1a)f(2a1)，则a的取值范围又是什么？,解yf(x)的定义域为R，且为增函数，,返回,1,2,3,达标检测,4,5,答案,1.已知函数f(x)x2，则() A.f(x)在(，1)上是减函数 B.f(x)是减函数 C.f(x)是增函数 D.f(x)在(，1)上是增函数,D,1,2,3,4,5,答案,C,1,2,3,4,5,答案,B,1,2,3,4,5,4.已知函数yf(x)满足：f(2)f(1)，f(1)f(0)，则下列结论正确的是() A.函数yf(x)在区间2，1上单调递减，在区间1,0上单调递增 B.函数yf(x)在区间2，1上单调递增，在区间1,0上单调递减 C.函数y
10、f(x)在区间2,0上的最小值是f(1) D.以上的三个结论都不正确,答案,D,1,2,3,4,5,5.设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1f(x2) C.f(x1)f(x2) D.不能确定,答案,D,规律与方法,1.若f(x)的定义域为D，AD，BD，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在AB上单调递减. 2.对增函数的判断，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，也可以用一个不等式来替代：,返回,3.熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等. 4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：在定义域的交集(非空)上，f(x)g(x)单调递增，f(x)h(x)单调递增，f(x)单调递减，,