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1、3.3.2简单的线性规划问题 第1课时简单的线性规划问题,1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2.了解线性规划的意义. 3.会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.,线性规划的基本概念 (1)约束条件：由变量的不等式(或方程)组成的_. (2)线性约束条件：关于x，y的_(或方程)组成的不 等式组. (3)目标函数：欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解 析式.,不等式组,一次不等式,(4)线性目标函数：关于变量x，y的_. (5)可行解：满足_的解(x，y). (6)可行域：所有_组成的集合. (7)最优解：使目标函数取得_的可行解. (8)线性规划问题：在
2、线性约束条件下，求线性目标函数的 _问题.,一次解析式,线性约束条件,可行解,最大值或最小值,最大值或最小值,1.若实数x，y满足 则S=2x+y-1的最大值是. 【解析】可行域为如图所示的阴影部分， 当可行解为A(2，3)时，Smax=6. 答案：6,2.已知实数x，y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是. 【解析】如图，作出的阴影部分为可行域， 由 得 即A(3，6)，经过分析可知直线z=x-2y经过 A点时z取最小值-9. 答案：-9,3.满足 的平面区域图形为. 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示， 由x=1平行于y轴而x-2y=-1与x轴不平 行，知四边形ABCD为梯形.
3、 答案：梯形,一、线性规划问题 已知实数x，y满足 求z=2x+y的取值范围.请思考下面的问题： 探究1：此题中线性约束条件是，目标函数是.,提示：线性约束条件是关于变量x，y的一次不等式组成的不等 式组，故此题中的线性约束条件为 目标函数是欲 求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式，故此题中的 目标函数为z=2x+y. 答案： z=2x+y,探究2：目标函数z=2x+y中z的几何意义是什么？ 提示：由z=2x+y，得到y=-2x+z，该直线的斜率是-2，在y轴上的截距是z，即z为直线在y轴上的截距.,探究3：如何求函数z=2x+y的取值范围？ 提示：作可行域如图阴影部分所示，求 函数z
4、=2x+y的取值范围，只需求目标函 数的最大值与最小值，即求直线y=-2x+ z在y轴上的截距z的最大值与最小值， 如图，平移直线l，由图可知，当直线经过点A时，z有最大 值，当直线经过点B时，z有最小值.解 得A(5， 1)，所以zmax=25+1=11，解 得B(3，1)，所以 zmin=23+1=7.所以函数z=2x+y的取值范围是7，11.,【探究总结】解线性规划问题的关注点 (1)先确定线性约束条件及目标函数. (2)要确定目标函数的几何意义. (3)在求解目标函数的最值时，平移直线要做到规范、准确. (4)求目标函数的取值范围，一般不利用不等式的性质对二元一次不等式进行变形，因为这
5、样会扩大变量的取值范围.,【拓展延伸】确定线性规划问题中最优解的方法 线性目标函数z=Ax+By+C(A，B不全为0)中，当B0时， 这样线性目标函数可看成斜率为 在y轴上 的截距为 且随z变化的一族平行线，则把求z的最大值或 最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上 的截距的最大值或最小值的问题.因此只需先作出直线y= 再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就 是最优解.,二、非线性规划问题 探究1：式子x2+y2表示的几何意义是什么？式子(x-a)2+(y-b)2 呢？ 提示：x2+y2可以看成 所以x2+y2表示原点 与可行域内的点(x，y)两点间距离的平方.
6、式子(x-a)2+(y- b)2，可以看成 所以(x-a)2+(y-b)2的几何 意义是点(a，b)与可行域内的点(x，y)两点间距离的平方.,探究2：式子 表示的几何意义是什么？ 提示： 表示点(a，b)与可行域内的点(x，y)两点连线的斜率.,【探究总结】求非线性目标函数最值的关键 求非线性目标函数最值的关键是弄清目标函数的几何意义，然后画出可行域，运用数形结合的方法求其最值.,类型一求线性目标函数的最值 1.(2013新课标全国卷)设x，y满足约束条件 则z=2x-3y的最小值是() A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 2.(2014浙江高考)若实数x，y满足 则x+y的取 值范围是
7、.,【解题指南】1.结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移得最小值. 2.根据约束条件画出可行域，平移目标函数求最大、最小值，即得x+y的范围.,【自主解答】1.选B.由z=2x-3y，得3y=2x-z，即y= 作出可行域如图所示，平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过点B时， 直线y= 在y轴上的截距最大，此 时z取得最小值.解方程组 得 即B(3，4)，代入直线z=2x-3y， 得zmin=32-34=-6，故选B.,2.作出不等式组 所表示的区域，如图所示： 令z=x+y，解方程组 得C(2，1)， 解方程组 得B(1，0). 平移直线z=x+y，经过点C使得z取最大值，即zma
8、x=2+1=3，,当直线z=x+y经过点B时，z取最小值， 即zmin=1+0=1， 所以x+y的取值范围是1，3. 答案：1，3,【延伸探究】在题1中，求z=2x-3y的最大值. 【解析】由可行域可知当直线y= 经过C点时，直线y= 在y轴上的截距最小，此时z取得最大值.解方程组 得 即C(3，-2)，代入直线z=2x-3y， 得zmax=32-3(-2)=12.,【规律总结】解线性规划问题的四个步骤 (1)画：画出线性约束条件所表示的可行域. (2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线. (3)求：通过解方程组求出最优解. (4)
9、答：根据所求得的最优解得出答案.,类型二求非线性目标函数的最值 1.(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小 值为() A.2 B.1 C. D.,2.已知 求(x+1)2+(y+1)2的最大值、最小值. 【解题指南】1.本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数 形结合找出斜率的最值. 2.由于(x+1)2+(y+1)2的几何意义表示点(x，y)与点(-1，-1) 之间距离的平方，故画出可行域后，观察并找出可行域内与 (-1，-1)距离最远和最近的点，并求出这两个距离的平方.,【自主解答】1.选C.作出可行域如图， 由图象可知当M位
10、于点D处时， OM的斜率最小. 由 得 即D(3，-1)，此时OM的斜率为,2.作出可行域，如图所示， 设d=(x+1)2+(y+1)2，则它表示可行域内的点与定点E(-1，-1) 的距离的平方.由图可知，点C到定点E的距离最小，点B到定点 E的距离最大. 由 解得B(3，4)， 由 解得C(2，1).所以 当x=3，y=4时，dmax=(3+1)2+(4+1)2= 41，当x=2，y=1时，dmin=(2+1)2+(1+1)2 =13，即(x+1)2+(y+1)2的最大值为41，最小值为13.,【规律总结】非线性目标函数最值的常见类型及其解法 (1) 型求最值.根据 的几何意义，可转化为求可
11、行域内的点(x，y)与点(a，b)连线的斜率的最值. (2)(x-a)2+(y-b)2型求最值.根据(x-a)2+(y-b)2的几何意义，可转化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)两点间距离的平方的最值.,【变式训练】已知 求： (1)z=x2+y2-10y+25的最小值. (2)z= 的取值范围.,【解析】作出可行域如图所示，A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).,(1)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0，5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足N在线段AC上， 故MN= 所以 所以z的最小值为,(2)z=2 表示可行域内点(x，y)与定点 连线斜率的2
12、倍，因为 所以z的取值范围是,类型三根据目标函数的最值求参数 1.(2015沈阳高二检测)实数x，y满足 若目标函 数z=x+y的最大值为4，则实数a的值为. 2.(2014浙江高考)当实数x，y满足 时， 1ax+y4恒成立，则实数a的取值范围是.,【解题指南】1.结合线性约束条件，画出可行域，由目标函数取得最大值4，结合图形可求得a. 2.先画出可行域，利用数形结合求解.,【自主解答】1.作不等式组 所表示的可行域如图所示， 即点A(a，a)， 作直线l：z=x+y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A(a，a)时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即zmax=a
13、+a=2a=4，所以a=2. 答案：2,2.作出不等式组 所表示的 区域，由1ax+y4，由图可知， a0且在(1，0)点取得最小值，在(2，1) 点取得最大值，所以a1，2a+14，故 a的取值范围为1， . 答案：1， ,【规律总结】根据目标函数的最值求参数的解题思路 采用数形结合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数取最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数的值或范围.,【变式训练】(2013北京高考)设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0-2y0 =2，求得m的取值范围是(),【解析
14、】选C.作出可行域如图所示：,要使可行域存在，必有 -m，m2m+1，要求可行域内包 含直线y= x1上的点，只要边界点(m，12m)在直线 y= x1上方，且(m，m)在直线y= x1下方，解不等式组,【加固训练】已知变量x，y满足约束条件 若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3，1)处取得最大值， 求a的取值范围. 【解析】由约束条件画出可行域，如图 所示，点C的坐标为(3，1).因为目标函 数仅在点C(3，1)处取得最大值，所以 -a1.,【拓展类型】线性规划与其他知识的结合问题 1.在平面直角坐标系xOy中，不等式组 确定的平面 区域为D，在区域D中任取一点A(a，b)，则A满足
15、a+2b10的概 率为() 2.设数列an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，若S113， S410，S515，求a4的最大值.,【解题指南】1.画出不等式组表示的平面区域，找出满足a+2b10所对应的区域，根据几何概型的概率公式求解. 2.根据题意找出数列an的首项a1与公差d所满足的不等式组，将其转化为线性规划问题求解.,【解析】1.选B.不等式组表示的平面区域如图所示， 由图可知满足条件的区域D为正方形区域，点A(a，b)满足 a+2b10的区域为阴影部分，设区域D的面积为S，阴影部分的 面积为S，则A满足a+2b10的概率为 故选B.,2.可将此题看成关于a1和d的线性规划问题，根据
16、题意可知 化简为 求a4=a1+3d的最大值， 将其转化为 求z=x+3y的 最大值问题，不等式组表示的平面区 域如图所示.,由z=x+3y，得y= 平移直线y= 由图可知，当直 线y= 过点A时，z有最大值.由 得A(1， 1)，所以zmax=1+13=4，即a4的最大值为4.,【规律总结】线性规划问题在数学中的应用及其关注问题 (1)主要应用方面：不等式、概率、数列、向量等. (2)线性规划问题在数学中的应用非常广泛，且越来越新颖、灵活、实用性更强.对此主要把握以下三点： 解线性规划问题关键是在图上完成，所以图应该尽可能准确，图上操作尽可能规范；,要对数学模块知识理解深刻，且了解模块与模块之间的深层联系； 要在平时学习中不断总结、归纳和积累.,【变式训练】已知P(x，y)在由不等式组 确定的 平面区域内，O为坐标原点，点A(-1，2)，则 cosAOP的 最大值为.,【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，,考虑向量数量积及其几何意义， 因为 所以 要求 cosAOP的最大值，需要求-x+2y的最大值， 令z=-x+2y，于是转化为求线性目标函数最值问题.平移直线 -x+2y=0，由图可知当直线z=-x+2y过点B时，z有最大值，,由 得B(1，2)，所以zmax=-11+22=3，所以 cosAOP的最大值为 答案：,