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1、-摘 要本文通过对具体数学问题的分析，抓住主要矛盾，在不影响结果的前提下，忽略了一些次要矛盾，建立优化模型。从两个不同的方向来考虑该问题，根据合理的假设，分别建立了两个互不相同的网络图，并把网络图作为该模型的约束条件。这样，可以比较容易地解决问题，达到了通用的目的。最后通过分枝定界解法对两个模型分别进行求解并比较所得结果，从而得出最优解。洪水通常指由暴雨、急剧融化冰雪、风暴湖等自然因素或水库调度不当、水利工程溃决失事等人为因素引起的江河、湖泊洪水流量激增、水位急剧上涨的一种水文现象若洪水超过江河、湖泊、水库等水体的承受能力而造成灾害的，则称之为灾害性洪水洪水是自然和环境系统变化的产物，其发生和
2、发展均要受自然和环境系统的作用和制约.洪灾是洪水作用于人类社会的产物，是自然和人的关系的表现灾害性洪水往往会对自然生态系统和社会经济系统产生严重的冲击，破坏人类赖以生存的这两个系统的完整性和稳定性洪水灾害是当今世界范围内发生最频繁和最具毁灭性的自然灾害之一几千年来，洪涝灾害始终是威胁中华民族生存发展的心腹大患近50多年来，尽管我国在水利建设方面取得了很大成就，防洪减灾效果显著，但是由于气候条件的异常变化，大规模人类活动和环境的影响，我国的防洪形势仍十分严峻，洪水灾害仍时有发生在这样的背景下，防洪减灾已成为我国21世纪可持续发展的重大课题。近年来我国提出了新的治水思路，要求我们的防洪策略逐步从洪
3、水控制（flood control）向洪水管理（flood management）转变洪水管理是人类按可持续发展的原则，以协调人与洪水的关系为目的，理性规范洪水调控行为与增强人类自适应能力等一系列活动的总称对数学建模的一些具体方法与措施在文献26中均进行了比较详细的描述本文就文献7中的一个关于洪水的具体问题建立了数学模型，这里所研究的泄洪方案，是用分枝定界解法建立了一种以减少洪水所造成的人员和财产的总的损失为目标的破堤泄洪的方法这对我国的防洪减灾工作有一定的意义。关键词：优化模型；网络图；分枝定界法1 问题的重述下面就期末选题B中提到的问题重述如下：有一条河流由于河床泥沙淤结，每当上游发生洪水
4、时，就会破堤淹没两岸，造成人员和财产的损失为减少总的损失，人们采取破堤泄洪的方法图1是该河一岸区域的信息示意图在该区域周围有很高的山，使该区域成为封闭的区域区域内又分成15个小区每个小区内标有4个数字，分别表示该小区的编号、小区的海拔高度、面积和被完全淹没时土地、房屋和财产等损失总数(百万元)求：（1）整个区域全部受损失的最小洪水量.（2）当洪水量为/6时制定泄洪方案，使总损失最小，并计算出该方案的损失数.河 流 大 堤 1 3.6 6.1 1.42 4.0 8.4 7.03 4.7 7.0 5.84 4.4 9.3 3.35 3.8 4.8 2.06 3.3 3.6 9.97 3.2 0.9
5、 0.98 2.5 8.5 6.09 5.0 1.8 7.210 4.4 0.1 1.611 3.0 4.6 3.012 3.51.5 4.113 2.4 2.3 4.114 3.8 8.8 5.315 3.8 1.3 4.4 图 1上面简单地提出了所要研究的问题，下面就在解决问题的过程当中要用到的一些假设及符号说明如下：（1）各小区间有相对高度为1.2m的小堤互相隔离例如第一块和第二块小区间事实上有海拔5.2m的小堤.（2）当洪水淹没一个小区且水位高于该小区高度m时， 该小区的损失为该小区的和的函数，损失： , 0 = , （3）假设决堤口可选在大堤或小堤的任何地方，决堤口数目不受任何限制但
6、一经决口，就不能再补和从河流经大堤决口流入小区的洪水量按决口数成比例分配如果在小区之间小堤一开决口，则假设该两小区之间的这段小堤不复存在若水位高过小堤，则将自动向邻近最低的一个小区泄洪若这样的小区有几块时，则平均泄洪.（4） ：对于模型一，由于选择第j种排列方式而超过基本洪水量的洪水量.（5） ：对于模型二，由于选择第j种排列方式而超过基本洪水量的洪水量. （6） ：每个小区刚好被完全淹没的基本洪水量之和（7） ：整个区域全部受损失的最小洪水量.（8） ：当洪水量为Q/6时，第个小区的洪水量.（9） ：对于模型一，整个区域全部受损失的洪水量.（10） ：对于模型二，整个区域全部受损失的洪水量.
7、 （11） ：当洪水量为/6时，区域所受的总损失.（12） ：第个小区被完全淹没时土地、房屋和财产等损失总数.此外，还把下面要用到的每个小区刚好被完全淹没的基本洪水量（）先计算出来，如小区基本洪水量统计表.小区12345678基本洪水量21.9633.632.940.9218.2411.882.8821.25小区9101112131415基本洪水量90.4413.85.255.5233.444.94小区基本洪水量统计表做了这些准备工作之后，就可以建立具体的数学模型来解决这个问题，首先解决问题（1）.2问题（1）的模型建立及求解根据假设3得知决堤口可选在大堤或小堤的任何地方，决堤口数目不受限制这
8、样，当上游发生洪水时，就可以采取破堤泄洪的方法，但在破堤时可以选择在区域的左侧或右侧的大堤不同的破堤地点对应的泄洪方案也不同，根据这个特点，本文建立了两个数学模型并对这两个数学模型分别进行求解，并比较结果，最后得到最小洪水量并把这两个数学模型分别叫做模型一和模型二具体的建立步骤如下：2.1模型一的建立 为了建立此模型，首先考虑它的约束条件，这里用网络图来表示它的约束条件用圆圈表示洪水经过一个小区，用箭头表示水流方向；即箭头指向的圆圈内的小区必须在箭尾圆圈内的小区被完全淹没后才能被淹没根据图1和假设3可画出网络图，如图2所示. （6） (11) （12） （13 ） （14） （15） （1）
9、（10） （7） （8） （2） （3） （4）(9) (5) 图 2其中括号内的数字表示小区的编号，这张图十分明显地表示了由假设3得到水流方向的约束.其次考虑优化目标： 设s,s,s是1,2,15的一个排列，满足由图2中的网络描述的水流方向的约束，称为可行的水流方向，那么整个区域全部受损失的洪水量为： =+ 因为为每个小区刚好被完全淹没时的基本洪水量之和，是一个固定的常量从而问题归结为：求可行的水流方向（,），使达到最小.2.2模型一的求解 从图2，可以很明显地看出，小区1，6，7和5，9，15的顺序已经确定，所以实际上只需确定小区2，3，4，8，10，11，12，13，14的水流方向为此，
10、采用分枝定界解法来求这个极小化问题这里采用的分支是这15个小区的“部分次序”，相应的洪水量便是这一分支的下界.首先，从图2不难看出，当洪水从大堤出发流经小区1，再由小区1平均泄洪到小区6和7后，这时小区11的洪水来源有两条途径：一种途径是小区11的洪水全部来自小区6；另一种途径是小区11的洪水来自小区6和小区7如果小区11的洪水来源是第二种途径的话，那么根据假设3，小区7又应该平均泄洪给小区8和11，这样小区7所需的洪水量就比较多，因此总洪水量也比较多故这一分支不会达到最优，可以剪去依次类推，最后便可求解，得到最优水流方向为： （6） (11) （12） （13） （14） （15）（1） （
11、10） （7） （8） （2） （3） （4）（9） （5）图 3此外根据图3和表一中的数据还可以得到最小洪水量，在这里采用递推的方法来求解，具体求解步骤为：首先求出从小区14到小区3的洪水量为其次计算出小区7，8，2，3的洪水量之和最后就可以计算最小洪水量为上面讨论了洪水从整个区域的左侧流入小区，并建立了相应的数学模型（即模型一）.下面考虑洪水从整个区域的右侧流入小区，并建立与之对应的模型二.2.3模型二的建立 和模型一的建立步骤一样，首先建立与之对应的网络图：图4. (2) (1) （6）(4) (3) (9) (8) (7) (5) (14) (13) (12) (11)(10) (15
12、) 图 4图4中的数字，符号所代表的意义和图2中所代表的是一样的.优化目标： = + 和模型一一样，问题归结为：求可行的水流方向，使 达到最小. 2.4模型二的求解从图4可以看出小区3、4、5、6、10、11、14、15的顺序已经确定，所以实际上只需确定小区1、2、7、8、9、12、13的水流方向为此仍采用分枝定界解法来求解这个极小化问题这里所采用的分支是这个小区的“部分次序”，相应的洪水量便是这一分支的下界.首先，从图4还可以看出，当洪水从大堤出发流经小区5，再由小区5平均泄洪到小区4和10，依次类推，当洪水经过小区9后，有三条途径可供选择：一、洪水流到小区8；二、洪水流到小区13；三、洪水
13、流到小区8和13若洪水流到小区8和13，则小区9应该平均泄洪，这样小区9的洪水量就应该有较多的洪水量，那么便可推得小区3的洪水量比较多，最后可推得总洪水量比较多因此，这一分支不会达到最优，可以剪去依次类推，便可以得到最优水流方向为： （2） （1） （6）（4） （3） （9） （8） （7） （5） (14) (13) (12) (11)(10) (15) 图 5和模型一的求解方法一样，还可以得到最小洪水量为666.0410m即min Q= 666.0410m比较上述两个模型所得结果边可以得到Q= 666.0410m且水流方向为：（2） （1） （6）（4） （3） （9） （8） （7）
14、（5） (14) (13) (12) (11)(10) (15)图 63问题（）的模型建立及求解3. 模型建立当洪水量为Q/6 时，根据假设2，我们可得到优化目标： , 0 T = , 约束条件为：= Q/6此外，还要受水流方向的约束从而问题归结为：求满足条件的水流方向使T达到最小.3.模型的求解从问题1可以看出，洪水可以从区域的两侧流入小区，于是，对于此问题的求解也可以从两个方向来考虑若洪水从区域的左侧流入小区，则图3便是水流方向的约束条件当洪水从区域的右侧流入小区，图5就是水流方向的约束条件这里可以采用穷举法进行求解，即一一验证可行的情况，对可行的方案分别计算总损失，进行比较，选出最优泄洪
15、方案这样做计算量较大，计算起来比较繁为了方便起见，采用分枝定界解法进行求解首先计算出每个小区的单位损失，得到下面的小区损失统计表；然后，优先选择单位损失最小的小区小区1，以此类推便可得到一组最优解，水流方向为 ：(1) (7) (8) (2) (3)（9）此时得到T=28.3（百万元），但从刚才的分析知，洪水还可以从区域的右侧进入小区，仔细观察表二，不难发现，除了小区1以外，小区4便是损失最少的小区于是考虑水从右侧进入小区的情况，和刚才一样，优先考虑单位损失较少的小区，得到一组最优解，水流方向为：(5) (4) (3) （2）损失：T = 18.1（百万元）比较这两个方案，不难发现，当洪水量为
16、Q/6时，min T = 18.1（百万元），泄洪方案为：(5) (4) (3) （2）小区12345678损失总数（百万元）1.47.05.83.32.09.40.96.0容量（10）21.9633.632.940.9218.2411.882.886.0单位损失（10）0.0640.20830.17630.08060.10960.71920.31250.2824小区9101112131415损失总数（百万元）7.21.63.04.14.15.34.4容量（10）90.4413.85.255.5233.444.94单位损失（10）0.83.63640.21740.78160.74280.158
17、50.8907小区损失统计表4总结该模型根据研究对象的特性，建立了两个模型，并对结果进行比较，得到了最优解此外是在一定的合理假设条件下考虑问题的，具有一定的实际推广意义，可以用来制定一些泄洪方案，减少损失最后应该指出的是，该模型采用了分枝定界解法进行求解，使所求的问题简单化，避免了使用穷举法的繁琐和复杂参考文献1 姜树海，范子武，吴时强.洪灾风险评估和防洪安全决策M.北京：中国水利水电出版社，2005: 120.2齐欢.数学模型方法M.武昌：华中科技大学出版社，2002：121.3杨启帆，方道元.数学建模M.浙江：浙江大学出版社，2003：16.4谢北鸿，范正森，正艮远.数学建模技术M.北京：中国水利水电出版社，2003：19.5寿纪麟，宗保军.数学建模方法与范例M.西安：西安交通大学出版社，1995：2743.6姜启源.数学模型M.北京：高等教育出版社，1988.7谭永基，俞文眦.数学模型M.上海：复旦大学出版社，2001：4369.8运筹学教材编写组. 运筹学M.北京：清华大学出版社，2002：117120.-第 7 页-