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1、-数学解题思想整体思想-第 3 页数学解题思想整体思想杨相云 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子、图形或概念看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。一整体代入 在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化难为易。例1 已知a是方程的一个根，求代数式的值。分析：由a是方程的一个根，得，则，再整体带入即可。二整体设元 在解决某些比较复杂的式子时，也可以考虑将复杂的式子整体用字母代换，使问题化繁为简，巧妙获解。例2 阅读材料：求的值。解：设S=，则2S=, 两式相减得
2、 2S-S=，即S=； 故=。请你仿照此方法计算：（1） （其中n为正整数）。分析：（1）仿照阅读材料，设S=，两边乘以3后得到关系式3S=,再与已知等式相减，得2S=,即可求出所求式子的值；（2）设S=，两边乘以3后得到关系式5S=,再与已知等式相减，得4S=,即可求出所求式子的值；三整体构造 就是对已知条件和所求联合研究，把问题作为一个整体来构造，从而解决问题。例3 甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件、丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件、丙1件，共用84元。问买甲2件，乙3件、丙4件，共需多少钱？ 分析：如果想先求出甲、乙、丙三种商品的单价后再去求甲2件，乙3件、丙4件共需多少钱，
3、显然是行不通的，因为条件不够，所以应该讲问题作为一个整体来考虑。设甲、乙、丙单价分别为x元、y元、z元，则，（1）3-（2）2得2x+3y+4z=39即可。四整体配凑（化零为整） 在解决某些整体问题时，有时无法从各组成部分去分别突破，这时需要考虑将其组成部分化零为整，从而使问题获得解决。例3 如图，ABC中，AB=AC=8，O为ABC的内心，过点O作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，则ADE的周长为多少？分析：连接BO、CO,由O为ABC的内心，可得BO平分ABC,得到DBO=OBC,由DEBC,得到DOB=OBC,从而DBO=DOB,于是DO=BD,同理可得OE=CE,即ADE的周长=
4、AD+DO+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=16.五整体处理 在解决某些问题时，可以把某些东西看成一个整体，从整体角度去分析，这样要比从其他角度去分析方便许多。例4 甲、乙两人从相距20千米的两地同时出发，相向而行，甲的速度为6千米/时，乙的速度为4千米/时。一只小狗与甲同时出发向乙奔去，遇到乙后立即掉头向甲跑去，遇到甲后又立即掉过头迎乙.直到两人相遇为止。若小狗的速度是13千米/时，在这奔跑过程中，小狗的总行程是多少千米？分析：我们可以有以下几种思路：（1）逐段计算小狗奔跑的路程；（2）逐段计算小狗奔跑的时间；（3）从题目分析来看，小狗来回奔跑的时间之和，恰等于甲、乙二人从出
5、发到相遇的所需的时间，故小狗奔跑的总时间为2小时，从而轻而易举地得到小狗奔跑的总路程为132=26（千米）。练习：1. 已知，则的值等于=_.C1C20yx2.计算：-=_.3. 如图,O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y= -x2的图象,则阴影部分的面积是 4. 7张如图1的长为a，宽为b（ab）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形 ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）A. B.a=3b C. D.a=4b 5. 如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B，CD切O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则PCD的周长为 _.6.已知，AO是ABC的A的平分线，BDAO交AO的延长线于D，点E是BC的中点，求证：7.在一条公路旁，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库，1号仓库有10吨货物，2号仓库有20吨货物，5号仓库存有40吨货物，其它两个仓库空着。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库，如果每吨货物运输一千米需要0.5元的运费，那么运费最少要多少元？