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1、-排列组合之分堆问题-第 5 页排列组合之分堆问题（教师）引例 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？ 分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本； 分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； 分给甲、乙、丙3人，每人2本； 分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本； 分成3堆，每堆2 本； 分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本； 分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本.分析：分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的. 特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题.解：是指定人应得数量的非均匀问题：学生甲从6本中取3 本有种取法，学
2、生乙从余下的3本中取2本有种取法，学生丙从余下的1本中取1本有种取法. 所以方法数为60；是没有指定人应得数量的非均匀问题：从6本中取3 本作为一堆有种取法，从余下的3本中取2本作为一堆有种取法，从余下的1本中取1本作为一堆有种取法，将三堆依次分给甲乙丙三人有种分法. 所以方法数为360；是指定人应得数量的均匀问题：学生甲从6本中取2本有种取法，学生乙从余下的4本中取2本有种取法，学生丙从余下的2本中取2本有种取法. 所以方法数为90；是分堆的非均匀问题：从6本中取3 本作为一堆有种取法，从余下的3本中取2本作为一堆有种取法，从余下的1本中取1本作为一堆有种取法. 所以方法数为60；是分堆的均
3、匀问题：相当于学生甲从6本中取2本有种取法，学生乙从余下的4本中取2本有种取法，学生丙从余下的2本中取2本有90.然后再取消甲乙丙的分配顺序，故方法数为15；是部分均匀地分给人的问题：方法数为90； 是部分均匀地分堆的问题：方法数为15.以上问题归纳为：分给人（有序）分成堆（无序）非均匀均匀部分均匀分组（堆）问题有六个模型：有序不等分；有序等分；有序局部等分；无序不等分；无序等分；排列、组合及其应用基本问题.在历年的各地高考试题中都有体现.例1 ( 2006年重庆卷理8) 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）（A）30种 （B）90种 （C
4、）180种 （D）270种分析：这是一个有序局部等分问题. 根据题意应先将5名实习教师按（221）分为三组，然后再将这三组依次安排到高一年级的3个班实习.解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组依次分到3个班有种分法. 根据分步计数原理，共有种不同的分配方案，故选B.点评：没有明确安排各班学校的教师分配数量时，要先将教师分成堆（组）再将各堆依次分配到班学校，简称为“先分组，后到位”；对于局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列. 例2（2007陕
5、西理科第16题）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）分析：根据题意应先将3名支教老师按（111）分为三组或按（21）分为两组，然后再将这组依次安排到学校.解：将3名支教老师按（111）分为三组有种分法，再将三组依次分到学校有种中分法，根据分步计数原理，共有1120120种不同的分配方案；将3名支教老师按（21）分为两组有种分法，再将两组依次分到学校有中分法，根据分步计数原理，共有33090种不同的分配方案.再由分类计数原理，共有120+90210种不同的分配方案. 故填210.点评：分类讨论问题是考试的热点. 本题是将分类与分组问题巧妙的融合在
6、了一起，同时达到考察分类计数原理和分步计数原理的目的.例3 （2007宁夏理科第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种（用数字作答）分析：5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，说明必有某一个工厂安排了两个班，其余的3个工厂各有一个班，由于到一个工厂的两个班的“地位”是等同的（无序），不能出现谁先进入谁后进入的局面，也就是说这两个班要同时进入（无序）到这个工厂才可以. 因此应该先分组后到班. 解：由题意，先将5个班分为四组（2111）有种分法；再将这四组依次分配到4个工厂有种分配方法. 根据分
7、步计数原理，共有1024240种不同的进行社会实践分配方案. 故填240.一般地，对于分组（堆）的问题模型，其解题思路及步骤为：明确每个人的分配数量时，依次选取即可；没有明确安排位置的分配数量时，要先分堆（组）再将各堆依次安排到对应位置，简称为“先分组，后到位”；非均匀的分堆（组），依次选取出来即可；均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉选出的顺序，即除以堆（组）数的全排列；局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列. 排列组合之分堆问题引例 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？ 分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本； 分给甲
8、、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； 分给甲、乙、丙3人，每人2本； 分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本； 分成3堆，每堆2 本； 分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本； 分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本.分组（堆）问题有六个模型：有序不等分；有序等分；有序局部等分；无序不等分；无序等分；排列、组合及其应用基本问题.在历年的各地高考试题中都有体现.例1（2006年重庆卷理8） 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）（A）30种 （B）90种 （C）180种 （D）270种例2（2007陕西理
9、科第16题）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）例3 （2007宁夏理科第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种（用数字作答）一般地，对于分组（堆）的问题模型，其解题思路及步骤为：明确每个人的分配数量时，依次选取即可；没有明确安排位置的分配数量时，要先分堆（组）再将各堆依次安排到对应位置，简称为“先分组，后到位”；非均匀的分堆（组），依次选取出来即可；均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉选出的顺序，即除以堆（组）数的全排列；局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列。