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1、-相似三角形讲义-第 11 页相似三角形讲义一 教学目标:1 知识目标:(1)理解相似三角形的概念,了解相似三角形的对应元素及相似比;(2)掌握判定三角形相似的预备定理。2 能力目标:培养学生探究新知识,提高分析问题和解决问题的能力。增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。3情感目标:加强学生对新知识探究的兴趣,渗透几何中理性思维的思想。二 教学重点、难点:重点:相似三角形的概念及判定的预备定理难点:当两个相似三角形部分重叠时,判别它们的对应角和对应边以及例1的证明三 教学过程:(一) 类比联想,动手实验1 回顾全等三角形的含义(两个三角形形状、大小相同,能够完全重合),全等三角形
2、所具有的性质(对应边、对应角相等)。2 让学生动手画一个三角形及三角形的一条中位线,教师提问:三角形的中位线所截的三角形与原三角形的形状有什么关系?大小呢?各角有什么关系?各边有什么关系? (二)直观演示,展示新知 A1 相似三角形的定义 A/将上面所截得的三角形移出,记为 ABC,原三角形 B C B/ C /记为 ABC,因此有 A= A , B= B,C, ,即两个三角形的对应角相等,对应边成比例。这样的两个三角形虽然大小不一定相等,但形状相同。 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形。 2表示方法: 教师介绍表示法,同时强调应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上(可
3、以以此与全等符号及表示作一比较,加强记忆)。3 相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例。4 相似比:相似三角形对应边的比,叫做两个相似三角形的相似比(或相似系数)。强调: ABC与 ABC的相似比是k,则 ABC与 AB C的相似比是。练习:判断下列命题是否正确。错误的,举出反例;正确的,用定义加以说明:所有的等腰三角形都相似。所有的等边三角形都相似。所有的直角三角形都相似。所有的等腰直角三角形都相似。教师示范一个规范过程,让学生模仿,学会用定义来解决问题。 A(三)范例研讨,迁移练习: 1例1。如图,在 ABC中, D E DE/BC,D,E分别在AB,AC上。 B F C
4、求证:ADEABC 师生共同探讨:(1) 目前要证明两个三角形相似只能根据什么?(定义)(2) 根据定义证明两个三角形相似,要证明满足哪两个条件?(对应角相等,对应边成比例)(3) ADE与ABC满足“对应角相等”吗?为什么?(4) 对应边成比例,由“DE/BC”的条件可得到怎样的比例式? (5) 本题的关键归结为“只要证明什么”?(6) 根据以前的推论,如何把DE移到BC上去,即应添怎样的辅助线?(EF/AB) 教师板演证明过程。2如图,DE/BC,D、E分别在BA、CA的延长线上, D EADE与ABC 相似吗? A相似C B 由此得到预备定理:3定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或
5、两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。4例2,如图,D为ABC的AB边上的一点,过点D作 C DE/AC,交BC于E,已知BE:EC=2:1,AC=6CM, 求DE的长。5、练习:P122页1、2、36、课后拓展(机动): (1)如图甲,已知 ABD ACB,则AD:AB= : , AB:BD= : ,如果AD=2,DC=1,那么AB= (2),如图乙,在 ABC中,AD是角平分线,求证: A A DB C B D C 图甲 图乙 五、归纳总结、布置作业:1 今天学习了相似三角形的定义,它既是三角形相似的判定,又是相似三角形的性质,同时可知全等三角形是相似三角形的特殊情况,其相似比
6、是1;2 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。3 作业相似三角形2四 教学目标:1 知识目标:(1)近一步理解相似三角形的概念,了解相似三角形的对应元素及相似比;(2)巩固判定三角形相似的预备定理及应用 掌握判定三角形相似的其他三个方法2 能力目标:培养学生探究新知识,提高分析问题和解决问题的能力。增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。3情感目标:加强学生对新知识探究的兴趣,渗透几何中理性思维的思想。五 教学重点、难点:重点:判定三角形相似的其他三个方法难点;判定三角形相似的其他三个方法及应用三 课堂探究:探究一 在一张方格纸上画
7、一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来各边长的k倍,度量这两个三角形的对应角 它们有什么特点? 你认为这两个三角形之间是什么关系?A 你能把理由说来与大家分享吗 DECB如图:ABC和中, , 求证;ABC证明:截,过D作DE ABCABC结论:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似备注探究二 利用刻度尺和量角器画ABC和,使A=,量BC、的长度,量B、C、的度数你发现BC、的长度有什么关系?你发现B、C、的度数有什么关系?由、能得ABC和有什么关系?结论:如果两个三角形的两组对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似改变A和K的大小,是否有同样的结论?请同学
8、们自己证明这个结论ABC和,使B=, , 这两个三角形相似吗?探究三作ABC和,使A=、B=,分别度量两个三角形的边长你发现C与有什么关系?你发现、 、 有什么关系?由、能得ABC和有什么关系?结论:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似请同学们自己证明这个结论四 例题欣赏例1:根据下列条件,判断ABC和是否相似,并说明理由?A=、AB=7、AC=14=、=7、=14 AB=4、 BC=6、AC=8 =12、 =18、=21五、 课堂练习1、根据下列条件,判断ABC和是否相似,并说明理由?A=、AB=8、AC=15=、=16、=30 AB=10、 BC=8、
9、AC=16 =20、 =16、=322、图中的两个三角形是否相似/3、要做两个形状相同的三角形框架,其中一个的三边长为3、4、5,另一个三角形的一边长为2,它的另两条边长为多少?你有几个答案?4、底角相等的两个等腰三角形是否相似?顶角相等的两个等腰三角形呢?证明你的结论?5如图:RtABC中,CD是斜边上的高,ACD和ACBD和ABC相似吗?证明你的结论? 六、归纳总结、布置作业:4 今天学习了相似三角形的三个判定,5 作业相似三角形的性质教学目标:知识与技能1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系;掌握定理的证明方法。2、灵活运用相似三角形的判定和性质,提高分析,推理能力。过程
10、与方法:1、对性质定理的探究经历观察猜想论证归纳的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。2、通过实际情境的创设和解决,使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题,复杂问题转化为简单问题的思想方法。3、通过例题的拓展延伸,体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力。情感与态度:在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认知规律;通过学生之间的交流合作,在合作中体验成功的喜悦,树立学习的自信心;通过对生活问题的解决,体会数学知识在实际中的广泛应用。教学重点:相似三角形性质定理的探索及应用教学难点:综合应用相似三角形的性质与判定探索三角
11、形中面积之间的关系教学方法与手段:探究式教学、小组合作学习、多媒体教学教学过程:一、创设情境,引入新课1、我们已经学了相似三角形的哪些性质?2、问题情境:某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地,由于马路拓宽绿地被削去了一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米。现在的问题是:被削去的部分面积有多少?周长是多少?你能解决这个问题吗?二、实践交流,探索新知1、看一看:ABC与ABC有什么关系?为什么?2、算一算:ABC与ABC的相似比是多少?ABC与ABC的周长比是多少?面积比是多少?3、想一想:你发现上面
12、两个相似三角形的周长比和相似比有什么关系?面积比与相似比又有什么关系?4、验一验:是不是任何两个相似三角形都有此关系呢?你能加以验证吗?5、在学生思考、讨论的基础上给出证题过程(多媒体)6、归纳小结;相似三角形性质定理2相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。三、基础训练,加深理解练一练:已知两个三角形相似,请完成下列表格:相似比2周长比面积比10000归纳:周长比等于相似比;已知相似比、周长比,求面积比要平方,已知面积比求相似比或周长比则要平方。四、综合应用,解决问题已知:如图,DEBC,AB=30m,BD=18m,ABC的周长为80m,面积为100m2,求ADE的周长和面积?
13、五、拓展延伸,共同提高1、 过E作EFAB交BC于F,其他条件不变,则EFC的面积等于多少?平行四边形BDEF的面积为多少?2、 若设SABC=S,SADE=S1,SEFC=S2,试猜想:S与S1、S2之间存在怎样的关系?六、类似猜想,深入探究探究:如图,DEBC,FGAB,MNAC,且DE、FG、MN交于点P,若设SDMP=S1,SPEF=S2,SGNP=S3,SABC=S,S与S1、S2、S3之间是否也有类似结论?猜想并加以论证。七、回顾反思,畅谈心得本节课你有何收获?1、这节课我们学到了哪些知识?2、我们是用哪些方法获得这些知识的?3、通过本节课的学习,你有没有新的想法或发现?你觉得还有
14、什么问题需要继续讨论吗?八、布置作业1、作业本2、3(2)(3)、4、52、探究推理过程课外整理完成,各组自行组织讨论交流。教学设计说明:1、本节课从一个较为实际的生活情境引入,设置问题悬念,激发学生的求知欲望,使学生掌握将实际问题转化为数学问题的思想方法,感受数学知识在生活中的广泛应用。2、性质定理2的学习和探索,注重于知识的形成过程,使学生体验特殊到一般的认知规律,以及由观察猜想论证归纳的数学思维过程。3、由问题的解决变式到例题,再经例题加以拓展延伸,使本节内容衔接更趋自然,同时使学生充分体会类比的数学思想以及图形之间的互相联系。4、教学中注重小组之间的合作交流,在合作中加强学生的团体意识
15、,体验成功的喜悦,树立学习的自信心。相似三角形的应用六 教学目标:1 知识目标:(1)理解相似三角形的概念,了解相似三角形的对应元素及相似比;(2)掌握判定三角形相似的四个定理。2 能力目标:培养学生探究新知识,提高分析问题和解决问题的能力。增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。3情感目标:加强学生对新知识探究的兴趣,渗透几何中理性思维的思想。七 教学重点、难点:重点:相似三角形的概念及判定定理难点:把实际问题转化成相似三角形的建模教学过程:一、温顾而知新相似三角形有哪些性质?请画图并用几何语言描述;相似三角形有哪些判定方法?请画图并用几何语言描述;二、例题欣赏 例1、 根据史料
16、记载,古希腊数学家、天文家秦勒斯利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度。如图,木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测得OA为201m,求 金字塔的高度 。 解; BA DE BAO=EDF 又AOB=DFE= ABC DEF 因此金字塔的高度134m.例2 如图,为了估算河的宽度,我们可在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、共线且直线与岸垂直,接着在过点且与垂直的直线a上选择适当的点,确定与过点且垂直的直线b交于点,测得m,m。m。求河的宽度 解;,即解得因此河的宽度为m三课堂练习、在某一时刻,测得一根高为.m的竹杆
17、的影长为m,同一时刻测得一栋高楼的影长为m,这栋楼的高度是多少?、如图,测得m,m,m,求河宽53.53.5 3如图,有一块呈三角形形状的草坪,其中一边的长是20m,在这个草坪的图纸上,这条边长5cm,其他两边的长度都是3.5cm。求该草坪其他两边的实际长度。 四、小结灵活地应用相似三角形的性质、判定解决实际生活中的问题相似三角形练习题1、如图,要测量A、B两点间距离,在O点打桩,取OA中点C,OB中点D,测得CD=31.4米,则AB=_米。 2、一根竹竿的高为 ,影长为 ,同一时刻,某塔楼影长是 ,则塔楼的高度为 .3、已知:在ABC中,P是AB上一点,连结 CP,当满足条件ACP= 或AP
18、C=或 AC2= 时,ACPABC4、如图,锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线CE和BF相交于点D请写出图中的两对相似三角形:_(用相似符号连接)5.ABC的三边长分别为 的两边长分别为1和,如果ABC,那么的第三边长为_.6.若ABC.,则ABC和的关系_.7、如果ABCABC,相似比为k (k1),则k的值是( )AA:ABAB:AB CB:BDBC:BC8、若ABCABC,A=40,C=110,则B等于( )A30B50 C40D709、三角形三边之比3:5:7,与它相似的三角形最长边是21cm,另两边之和是( )A15cmB18cm C21cmD24cm10、如图ABCDEF,则图
19、中相似三角形的对数为( )A1对B2对 C3对D4对11、ABCA1B1C1,相似比为2:3,A1B1C1A2B2C2,相似比为5:4,则ABC与A2B2C2的相似比为( )AB CD12、在比例尺1:10000的地图上,相距2cm的两地的实际距离是( )A200cmB200dm C200mD200km13RtABC中,ACB=90,CDAB于D,DEAC于E,那么和ABC相似但不全等的三角形共有 ( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个14在RtABC中,C=90,CDAB于D,下列等式中错误的是( )(A)AD BD=CD2 (B)ACBD=CBAD (C)AC2=ADAB (
20、D)AB2=AC2+BC215在平行四边形ABCD中,E为AB中点,EF交AC于G,交AD于F,=则的比值是( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)516在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,则BDAD等于 ()(A)ab (B)a2b2 (C) (D)不能确定17.已知直角三角形的斜边长为13CM,两条直角边的和为17CM,则斜边上的高的长度为-18.RtABC中,CD是斜边上的高线,AB=29。AD=25,则DC=-19如图,在ABC中,D为AC上一点,E为延长线上一点,且BE=AD,ED和AB交于F 求证:EFFD=ACBC20、如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DFAE于F
21、.(1)ABE与ADF相似吗?请说明理由.(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长. (11分)21.如图,在ABC中,ABC90,CDAB于D,DEAC于E,求证:= 22、 如图,在RtABC中,ADB=90,CDAB于C,AC=20CM,BC=9CM,求AB及BD的长23、如图,已知ABC中,AD为BC边中线,E为AD上一点,并且CE=CD,EAC=B,求证:AECBDA, DC2=ADAE24如图,已知PABC中,AD,BF分别为BC,AC边上的高,过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC延长线于H,求证:DE2=EGEH25如图,已知正方形ABCD,E是AB的中点,F
22、是AD上的一点,EGCF 且AF=AD,于,(1)求证:CE平分BCF,(2) AB2=CGFG6、如图,一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上,某一时刻,小明竖起1米高的直杆,量得其影长为0.5米,此时,他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米,落在墙上的影子CD的高为2米。小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高。请你计算,电线杆AB的高为7、如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面1米若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为多少? 8.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图
23、所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.9.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为10cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DEAB),那么小玻璃管口径DE是多大?10已知:如图,小明在打网球时,要使球恰好能打过网,而且落在离网5米的位置上,则球拍球的高度应为 11点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动,点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动如果P、Q分别从B、A同时出发,经过几秒钟APQ与ABC相似?试说明理由1、有一个三角形草地,三边的长度分别为18 m, 30 m,
24、42 m, 现在画它的平面图,使最长边的长度为7cm,求其余两边的长度,并在下图中画出其余两边2、下图是步枪在瞄准时的俯视图,OE是从眼睛到准星的距离80cm,AB是步枪上的准星宽度2mm,OF是眼睛到正方形靶子的距离160m,求正方形靶子的宽度?ABCEDoF80160000.24、 某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m,20m的梯形空地上种植花木(如下图) (1)他们在AMD和BMC地带种植太阳花,单价为8元/m2。当在AMD地带 (图中阴影部分)中种满花后,共用去了160元。请计算种满BMC地带所需的费用 是多少元。 (2)若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m2、10元/m2,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金? (3)若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图2),请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得APB DPC,且APD的面积与BPC的面积相等,并说明你的理由。5、 埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度.在一个烈日高照的上午.他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下,他想考一考年仅14岁的小穆罕穆德.2米木杆皮尺平面镜给你一条2米高的木杆,一把皮尺,一面平面镜.你能利用所学知识来测出塔高吗?EACBD 提示 :