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1、-平行四边形知识点总结及对应例题-第 7 页平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的性质：（1）：平行四边形对边相等 (即：AB=CD,AD=BC)；（2）：平行四边形对边平行 (即：AB/CD,AD/BC)；（3）：平行四边形对角相等 (即：A=C,B=D)；（4）：平行四边形对角线互相平分 (即：OA=OC，OB=OD)； 平行四边形的判定方法：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；5
2、. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 考点1 特殊的平行四边形的性质与判定1矩形的定义、性质与判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）矩形的性质：矩形的对角线_；矩形的四个角都是_角。矩形具有_的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_的交点。矩形被对角线分成了_个等腰三角形。（3）矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_的四边形是矩形；对角线_的平行四边形是矩形。温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须
3、先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。2菱形的定义、性质与判定（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）菱形的性质菱形的_都相等；菱形的对角线互相_，并且每一条对角线_一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有_条。（3）菱形的面积菱形的面积=底高，菱形的面积=ab，其中a，b分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了4个全等的直角三角形。（4）菱形的判定：_都相等的四边形是菱形；对角线_的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不
4、是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。3正方形的性质及判定方法（1）正方形的性质：正方形的四个角都是_，四条边都_；正方形的两条对角线_，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的_是正方形；对角线互相_的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线_的菱形是正方形。温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这
5、个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。一正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”2熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角
6、线：平行四边形的 对角线互相平分；（4）面积：； 平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形3平行四边形的判别方法定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握： 平行四边形； 一个角是直角，两者缺一不可（2）菱形：有一组邻边相等 的平行四边形
7、 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握： 平行四边形； 一组邻边相等，两者缺一不可（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：一组对边平行； 另一组对边不平行 （5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等 的梯形，特殊梯形还有直角梯形2几种特殊四边形的有关性质（1）矩形： 边：对边平行且相等； 角：对角相等、邻角互
8、补；对角线：对角线互相平分且相等； 对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）（2）菱形：边：四条边都相等； 角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； 对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）（3）正方形：边：四条边都相等； 角：四角相等；对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； 对称性：轴对称图形（4条）（4）等腰梯形：边：上下底平行但不相等，两腰相等； 角：同一底边上的两个角相等；对角互补对角线：对角线相等； 对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）3几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一
9、个角是直角的平行四边形； 对角线相等的平行四边形； 四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形； 对角线互相垂直的平行四边形； 四条边都相等（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形 有一组邻边相等 的矩形； 对角线互相垂直 的矩形 有一个角是直角 的菱形 对角线相等 的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形 同一底两个底角相等的梯形； 对角线相等的梯形4几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形AB
10、CD的任意一个角为直角 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等 说明四边形ABCD的三个角是直角（2）识别菱形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直 说明四边形ABCD的四条相等（3）识别正方形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等 先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等 先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个
11、角为直角（4）识别等腰梯形的常用方法 先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等 先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等 先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等5几种特殊四边形的面积问题 设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab 设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形= 设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=；若正方形的对角线的长为a，则S正方形= 设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=平行四边形矩形菱形正方形图形性质1对边 且 ；2对角 ； 邻角 ；3对角线 ；1对边 且 ；2对角
12、 且四个角都是 ；3对角线 ；1 对边 且四条边都 ；2对角 ；3对角线 且每条对角线 ；1对边 且四条边都 ；2对角 且四个角都是 ；3对角线 且每条对角线 ；面积 例1：如图，菱形ABCD中，B60，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周长为（ ）A B C D3 例2：如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）A110 B115 C120 D130一、选择题（每题3分，共30分）1如图，在菱形ABCD中，AB = 5，BCD =120，BACD 则对角线AC等于（ ）A20 B15 C 10 D52 如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对
13、折两次后，ABCD沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）ABCD3如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）AAOM和AON都是等边三角形 B四边形MBON和四边形MODN都是菱形C四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形ABCDFEOABCDDBCANMO第3题图ADEPCBF第4题图第5题图4.如图，在菱形ABCD中，A=110，E，F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC=（ ）A35 B45 C50 D555.
14、 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB3，则BC的长为( )A1 B2 C D 7正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）第8题图A8 B8 C2 D10 8如图，ABCD的周长是28，ABC的周长是22，则AC的长为( )A6B12C4D8 9如图，菱形ABCD的边长为10cm，DEAB，DE=6，则这个菱形的面积= cm2第10题图第9题图10.如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 三、解答题ODCBA11如图 ，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O， （1）求证：ABD是正三角形； （2）求 AC的长（结果可保留根号） 12.已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD 于点M，交CD的延长线于点F.（1）求证：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长 BACDFM第12题图E第13题图DCBEAF13如图：已知在中，为边的中点，过点作，垂足分别为.（1） 求证：；（2）若，求证：四边形是正方形.