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1、图形的相似图形的相似 了解比例的基本性质，了解线段的比了解比例的基本性质，了解线段的比1 1成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。黄金分割。 通过具体实例认识图形的相似，探索相通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。的平方。 了解两个三角形相似的概念，探索两个了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。三角形相似的条件。 了解图形的位似，能够利用位似将一个了解图形的位似，能够利用位似将一
2、个图形放大或缩小。图形放大或缩小。 通过典型实例观察和认识现实生活通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题些实际问题( (如利用相似测量旗杆的高如利用相似测量旗杆的高度度) )。通过实例认识锐角三角函数通过实例认识锐角三角函数(sinA(sinA，cosAcosA，tanA)tanA)，知道，知道30300 0，45450 0，60600 0角的角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。求它对应的锐角。 运用三角函
3、数解决与直角三角形有运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。关的简单实际问题。 (1) (1)认识并能画出平面直角坐标系；认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。出点的位置、由点的位置写出它的坐标。 参见例参见例44 (2) (2)能在方格纸上建立适当的直角坐能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。标系，描述物体的位置。 参见例参见例55 (3) (3)在同一直角坐标系中，感受图形在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。变换后点的坐标的变化。 参见例参见例66 (4) (4)
4、灵活运用不同的方式确定物体的灵活运用不同的方式确定物体的位置。位置。 参见例参见例77 图形与坐标图形与坐标 其中其中a,ba,b分别叫做这个分别叫做这个线段比线段比的的前项前项和和后项后项. . 一、线段的比一、线段的比 l1.1.如果选用一个长度单位量得如果选用一个长度单位量得两条线段两条线段a a 、b b 的长度分别为的长度分别为m m 、n n ，那么，那么两条线段的比为两条线段的比为a a：b=mb=m：n n或或nmba.,bkakbaknm或那么表示成比值如果把2.2.在四条线段中在四条线段中, ,如果其中两条线段的如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比比等于另外两条线段的比
5、, ,那么这四条那么这四条线段叫做线段叫做成比例线段成比例线段, ,简称简称比例线段比例线段 四条线段四条线段a,b,c,da,b,c,d成比例成比例, ,记作记作ab=cd.ab=cd.或或 其中其中a,da,d为为比例外项比例外项;b,c;b,c为为比例内比例内项项. .d d称为称为a,b,ca,b,c的的第四比例项第四比例项.dcba特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同, ,即即ab=bc(ab=bc(或表示为或表示为b b2 2=ac=ac),),则线段则线段b b叫叫a,ca,c的的比例中项比例中项3.3.比例基本性质比例基本性质.,ddcb
6、badcba那么如果比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰: : 横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘. .,nmfedcba如果5.5.等比性质等比性质: :.bcaddcba那么如果.,dcbabcad那么如果.0nfdbbanfdbmeca那么4.4.合比性质合比性质: :l6.6.黄金分割黄金分割如图如图4-5,4-5,点点C C把线段把线段ABAB分成两条线段分成两条线段ACAC和和BC,BC,如果如果 那么称线段那么称线段ABAB被点被点C C黄黄金分割金分割, ,点点C C叫做线段叫做线段ABAB的的黄金分割点黄金分割点,
7、 ,ACAC与与ABAB的比的比 ( (或或BCBC与与ACAC的比的比 ) )称为称为黄金比黄金比. .,ACBCABACA AB BC CABACACBC.0618215ACBCABAC黄金比l1.1.形状相同的图形形状相同的图形l表象：大小不等，表象：大小不等，形状相同形状相同. .l实质：各实质：各对应角对应角相等、各相等、各对应边对应边成比例成比例. .l2.2.相似多边形相似多边形l各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做叫做相似多边形相似多边形. .相似多边形对应边的比叫做相似多边形对应边的比叫做相相似比似比( (相似比与叙述的顺序有关
8、相似比与叙述的顺序有关) ). .l3.3.相似多边形性质：相似多边形性质：l相似多边形的相似多边形的对应角相等对应角相等, ,对应边成比例对应边成比例. .l相似多边形周长的比相似多边形周长的比等于相似比等于相似比.二、二、l相似多边形相似多边形对应对角线对应对角线的比的比等于相似比等于相似比. .w相似多边形相似多边形对应三角形对应三角形相似相似, ,且相似比等于相似多边形的且相似比等于相似多边形的相似相似比比. .w相似多边形相似多边形对应三角形面积对应三角形面积的比的比等于相似多边形的等于相似多边形的相似比的相似比的平方平方. .w相似多边形面积的比相似多边形面积的比等于相等于相似比的
9、平方似比的平方. .l4.4.多边多边形与三角形形与三角形l三角形是边数最少的多边形三角形是边数最少的多边形. .l相似三角形可类比相似多边形来学习相似三角形可类比相似多边形来学习. .l5.5.相似三角形相似三角形l三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做角形叫做相似三角形相似三角形. .相似三角形对应边的比叫相似三角形对应边的比叫做做相似比相似比( (相似比与叙述的顺序有关相似比与叙述的顺序有关).).l6.6.相似三角形性质：相似三角形性质：l相似三角形的相似三角形的对应角相等对应角相等, ,对应边成比例对应边成比例. .l相似三角形对应相
10、似三角形对应中线中线的比的比,对应角对应角平分线平分线的比，的比，对应对应高高的比的比,对应对应周长周长的比都的比都等于相似比等于相似比.l相似三角形面积的比相似三角形面积的比等于相似比的平方等于相似比的平方.l7.7.相似相似三角形与三角形与全等全等三角形的三角形的关系关系：l相似比等于相似比等于1 1的两个三角形全等的两个三角形全等. .l若若ADEADEABC,ABC,则则lDAE=BAC,ADE=ABC,AED=ACB.DAE=BAC,ADE=ABC,AED=ACB.BCDEACAEABADl8.8.两个极具代表性的两个极具代表性的益智益智“模型模型”： “A A”型和型和“X X”
11、型相似三角形型相似三角形. .ABCDEEDCBAl1.1.定理定理 两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似. .l2.2.推论推论1 1 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边( (或或其延长线其延长线),),所截得的三角形与原三角形相似所截得的三角形与原三角形相似; ;l如图如图: :如果如果DEBC,DEBC,那么那么A A三、三、三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法;ECAEDBAD那么l2.2.推论推论1 1 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边( (或或其延长线其延长线),),所截得的三角形与原三角形相似所截得的三
12、角形与原三角形相似; ;l如图如图: :如果如果DEBC,DEBC,那么那么A Al3.3.推论推论2 2 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边( (或或其延长线其延长线),),所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例. .如果如果DEBCDEBC，;ACAEABAD或;AEECADDB或.ACECABDB或ABCDEADEBCEDCBAl4.4.定理定理 三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似. .l5.5.定理定理 两边对应成比例两边对应成比例, ,且夹角相等的两个三且夹角相等的两个三角形相似角形相似; ;l6.6.定理定理 斜边直角边对应成比
13、例的两个直角三斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似角形相似. .l7.7.模型模型“双垂直双垂直”三角形三角形;2ABADAC;2ABBDBC;2DBADCD.CDABBCACABCDlACDACDCBDCBDABC.ABC.l认识结论认识结论:A=DCB;B=ACD; :A=DCB;B=ACD; l直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似直角三角形与原三角形相似. .三、三、相似图形的特例相似图形的特例图形的位似图形的位似l1.1.如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似, ,而且每组对应顶点所而且每组对应顶点所在的直线
14、都经过同一个点在的直线都经过同一个点, ,那么这样的两个图形那么这样的两个图形叫做叫做位似图形位似图形, ,这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心, ,这时的相似这时的相似比又称为比又称为位似比位似比. .l2.2.性质：性质：l位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比离之比等于位似比. .DEFAOBCDEFAOBCl3.3.如何作位似图形如何作位似图形( (放大放大) ). .l5.5.体会位似图形何时为体会位似图形何时为正像正像何时为何时为倒像倒像. .l4.4.如何作位似图形如何作位似图形( (缩小缩小) ). .OPABGCEDF
15、PBACDEFGABCDEFGABGCEDFPl6.6.如图如图, ,添加一个条件添加一个条件, ,使则使则ABCABCAED,AED,则这则这条件可以是条件可以是 . . l7.7.如图所示如图所示, ,在在ABCABC中中, ,底边底边BC=60cm,BC=60cm,高高 AD=40cm,AD=40cm,四边形四边形PQRSPQRS是矩形形是矩形形. .w(1)(1)ASRASR与与ABCABC相似吗相似吗? ?为什么为什么? ?w(2)(2)求矩形求矩形PQRSPQRS的边长的边长. .AEDCBABCSREPD Ql1.1.正切的定义正切的定义: :如图如图: : RtRtABCABC
16、中中, ,锐角锐角A A的对的对边与邻边的比叫做边与邻边的比叫做A A的的正切正切, ,记作记作tanA,tanA,即即l2.2.余切的定义余切的定义:A:A的正的正切的倒数叫做切的倒数叫做A A的的余切余切, ,即即RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的邻的邻边与对边的比叫做边与对边的比叫做A A的的余切余切, ,记作记作cotA,cotA,即即四、直角四、直角三角形的边角关系三角形的边角关系l3.3.坡面与水平面的坡面与水平面的夹角夹角()()称为称为坡角坡角, ,坡面的铅直高度与水坡面的铅直高度与水平宽度的比称为平宽度的比称为坡度坡度i i( (或坡比或坡比),),即即坡度等坡度
17、等于坡角的正切于坡角的正切. .ABCA的对边A的邻边.tanACBCii的邻边的对边AAtanA的对边的邻边AAcotAl4.4.正弦的定义正弦的定义: :在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的对边与斜边的的对边与斜边的比叫做比叫做A A的的正弦正弦, ,记作记作sinA,sinA,即即l5.5.余弦的定义余弦的定义: :在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的邻边的邻边与斜边的比叫做与斜边的比叫做A A的的余余弦弦, ,记作记作cosA,cosA,即即l6.6.锐角锐角A A的正弦的正弦, ,余弦余弦, ,正切和余切都叫做正切和余切都叫做A A的的锐角锐角三角函数三角
18、函数. .l sinA,cosA,tanA,cotA sinA,cosA,tanA,cotA是在直角三角形中定义是在直角三角形中定义的的( (注意数形结合注意数形结合, ,构造构造直角三角形直角三角形).).它的实质它的实质是一个比值其大小只与是一个比值其大小只与A A的大小有关的大小有关. .ABCA的对边A的邻边斜边的对边AsinA斜边的对边AcosAl7.7.互余两角互余两角之间的三角函数关系：之间的三角函数关系：l sinA=cosB,sinA=cosB,或或sinB=cosA.sinB=cosA.l一个锐角的正弦等于它的余角的余弦一个锐角的正弦等于它的余角的余弦, ,即即l cosA
19、=sinB,cosA=sinB,或或cosB=sinA.cosB=sinA.l一个锐角的余弦等于它的余角的正弦一个锐角的余弦等于它的余角的正弦, ,即即l tanA=cotB,tanA=cotB,或或tanB=cotA.tanB=cotA.l一个锐角的正切等于它的余角的余切一个锐角的正切等于它的余角的余切, ,即即l cotA=tanB,cotA=tanB,或或cotB=tanA.cotB=tanA.l一个锐角的余切等于它的余角的正切一个锐角的余切等于它的余角的正切, ,即即l8.8.同角同角之间的三角函数关系：之间的三角函数关系：l平方和关系平方和关系:sin:sin2 2A+cosA+co
20、s2 2A=1.A=1.l. 1cottan:AA倒数关系ABCabc.sincotcot;cossintanAAAAAA商商的关的关系系: :l9.9.特殊角特殊角(30(300 0,45,450 0,60,600 0角角) )的三角函数值的三角函数值. .l10.10.三角尺三角尺三边之间的比值关系三边之间的比值关系: :特殊角的三角函数值表特殊角的三角函数值表三角函数三角函数锐角锐角正弦正弦sinsin余弦余弦coscos正切正切tantan余切余切cotcot30300 045450 060600 021233332222112321333300600450450321211l11.1
21、1.三角函数的有关计算：三角函数的有关计算：l由锐角求三角函数值由锐角求三角函数值. .l由锐角的三角函数值由锐角的三角函数值反求锐角反求锐角. .l运用特殊角运用特殊角( (30300 0,45,450 0,60,600 0角角) )的三角函数值和的三角函数值和计算器进行计算计算器进行计算. .l由于计算器的型号与功能的不同由于计算器的型号与功能的不同, ,按相应的按相应的说明书使用说明书使用. .l12.12.解直角三角形：解直角三角形：l工具工具: : a2+b2=c2. A+B=900.ll类型类型: :已知一边一角解三角形已知一边一角解三角形; ;已知两边解已知两边解三角形三角形. . ,cossincaBA,sincoscbBA,cottanbaBA.tancotabBAbABCacw1.w5.w4.w14.14.三角函数的应用三角函数的应用w(1)(1)解直角三角形应用题解直角三角形应用题; ;w(2)(2)测量物体的高度测量物体的高度. .ABCaDCBAD20300450w3.600450ABC20D300600ABCD20ABC4503004cmDw2.