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1、第一讲第一讲 不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式(1) 这一结论虽很简单这一结论虽很简单, ,却是我们推导或证明不等式的基础却是我们推导或证明不等式的基础. .1. 不等式的基本性质不等式的基本性质 1、不等式的基本性质：、不等式的基本性质：、对称性：、对称性： 传递性：传递性：_ 、 ，a+cb+c、ab， ， 那么那么acbc； ab， ，那么，那么acbc、ab0， 那么，那么，acbd、ab0，那么，那么anbn.（条件（条件 ）、 ab0 那么那么 （条件（条件 ）nnba abbacacbba ,Rcba ,0c0c0 dc2,nNn2,nNn运用不等式性质的关键是不等号方向
2、，条件与不等运用不等式性质的关键是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。号方向是紧密相连的。 分析分析: 比较大小比较大小,是作差是作差变形变形定符号定符号.变形方法有二种变形方法有二种: 1. 分解因式；分解因式； 2. 配方配方.例例2、 已知已知ab0，cd0，求证：，求证：abdc例例1、求证：如果、求证：如果ab0，cd0，那么，那么acbd。证明：因为证明：因为ab0, cd0， 由不等式的基本性质（由不等式的基本性质（3）可得）可得acbc, bcbd， 再由不等式的传递性可得再由不等式的传递性可得acbcbd 练习：练习： 如果如果ab,cd，是否一定能得出，是否一定能得出
3、acbd？ 并说明理由并说明理由. 例例3、若、若a、b、x、yRR，则，则 是是 成立的（成立的（ ） A. A. 充分不必要条件充分不必要条件 B. B. 必要不充分条件必要不充分条件 C. C. 充要条件充要条件 D. D. 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件()()0 xyabxaybxaybC例例5、已知、已知f(x)=ax2+c，且，且-4f(1)-1f(1)-1，-1f(2)5-1f(2)5，求求f(3)f(3)的取值范围。的取值范围。例例4、对于实数、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：，判断下列命题的真假：（1）若）若cab0，则，则（2）若）若ab, ，则，则a0
4、，b0。 abcacb11ab（真命题）（真命题）（真命题）（真命题）f(3)的取值范围是的取值范围是-1, 20作业：课本作业：课本P第第1. 2. 3. 4题题2. 基本不等式基本不等式2222如果a，bR，那么a +b 2ab，如果a，bR，那么a +b 2ab， 当且仅当a = b时等 当且仅当a = b时等定理1：定理1：号成立。号成立。aabbb几何解释几何解释（基本不等式）（基本不等式）a+ba+b 如果a，b0，那么ab， 如果a，b0，那么ab，2 2 当且仅当a = b时等 当且仅当a = b时等定理2：定理2：号成立。号成立。算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数几何解
5、释几何解释OabDabACB 可以用来求最值可以用来求最值( (积定和小，和定积大积定和小，和定积大) ) 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均两个正数的算术平均不小于它们的几何平均例例3 求证求证:1.在所有周长相同的矩形中在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大正方形的面积最大; 2. 在所有面积相同的矩形中在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短。正方形的周长最短。结论：已知结论：已知x, y都是正数都是正数.1. 如果积如果积xy是定值是定值p,那么当那么当x=y时时, 和和x+y有最小值有最小值2 ；2. 如果和如果和x+y是定值是定值s, 那么当那么当x=y时时, 积积xy有最大
6、值有最大值p214sxyS周长周长L=2x+2y设矩形周长为设矩形周长为L,L,面积为面积为S,S,一边长为一边长为x,x,一边长为一边长为y,y,例例4: 4: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所某居民小区要建一做八边形的休闲场所, ,它的主体它的主体造型平面图是由两个相同的矩形造型平面图是由两个相同的矩形ABCDABCD和和EFGHEFGH构成的面积构成的面积为为200200平方米的十字型地域平方米的十字型地域. .计划在正方形计划在正方形MNPQMNPQ上建一座上建一座花坛花坛, ,造价为每平方米造价为每平方米43004300元元, ,在四个相同的矩形上在四个相同的矩形上( (图图中阴影
7、部分中阴影部分) )铺花岗岩地坪铺花岗岩地坪, ,造价没平方米造价没平方米210210元元, ,再在四再在四个空角个空角( (图中四个三角形图中四个三角形) )上铺草坪上铺草坪, ,每平方米造价每平方米造价8080元元. . (1)(1)设总造价为设总造价为S S元元,AD,AD长长x x为米为米, ,试建立试建立S S关于关于x x的函数关的函数关系式系式; (2); (2)当为何值时当为何值时S S最小最小, , 并求出这个最小值并求出这个最小值. .QDBCFAEHGPMN解解: :设设AM=AM=y米米22200-42004xxyxyx因因而而 224200210 480 2Sxxyy
8、于于是是010 2x上面解法错在哪上面解法错在哪?均值不等式可以用来求最值均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大积定和小，和定积大),但特别要注意条件但特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等的满足：一正、二定、三相等.作业：课本作业：课本P10第第5、6 、 7、8、10 、11题题3：三个正数的算术：三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式类比基本不等式得类比基本不等式得例例1 求函数求函数 在在 上的最大值上的最大值.() ,211303 yxx注：一正、二定、三等。注：一正、二定、三等。练习练习1：是锐角，求是锐角，求y=sincos2的最大值的最大值2242222223222
9、1sincos2sincoscos21 2sincoscos4(),232732sincos1 sin,sin32 3.9y max解：当且仅当即时取等号，此时y22222222222222222 0,0,2,112,22 0h=mina,0h=mina,12,.22abababababbabababbaabbbababbhaab证明：即a由于从而h练习练习2：教材教材P10. 15题题求证求证: :在表面积一定的长方体中在表面积一定的长方体中, ,以正方体的体积最大以正方体的体积最大. .xyz vxyz解：设长方体的三边长解：设长方体的三边长度分别为度分别为x、y、z, ,则长则长方体的体积为方体的体积为222Sxyxzyz而而略略例例2.2. 如图，把一块边长是如图，把一块边长是a a 的正方形铁片的各的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形角切去大小相同的小正方形, ,再把它的边沿着虚再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子线折转作成一个无盖方底的盒子, ,问切去的正方问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？ax2(2 )0)2vaxxax解解：依依 意 意有有 （ （ 题题8