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1、11. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题,需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象一、鸡兔同笼这个问题,是我国古代著名趣题之一大约在1500年前,孙子算经中就记载了这个有趣的问题书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚求笼中各有几只鸡和兔? 你会解答这个问题吗?你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗? 二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚
2、兔”这样,鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即473512（只）显然,鸡的只数就是351223（只）了.这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已除此之外,“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法” 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙,用假设法能做到,假设里面全是鸡,算出共有几只脚,和脚总数做比较,做差除二兔找到解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔,那么则有：鸡数=（每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡,那么就有：
3、兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时,脚的关系：兔子是鸡的 2 倍当脚数一样时,头的关系：鸡是兔子的 2 倍在学习的过程中,注重假设法的运用,渗透假设法的重要性,在以后的专题中,如工程,行程,方程等专题中也都会接触到假设法模块一、多个量的“鸡兔同笼”鸡兔同笼问题【例例 1】 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只,共有腿 118 条,翅膀 20 对(蜘蛛 8 条腿;蜻蜓 6 条腿,两对翅膀;蝉 6 条腿,一对翅膀),求蜻蜓有多少只?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】这是在鸡兔同笼基础上
4、发展变化的问题.观察数字特点,蜻蜓、蝉都是 6 条腿,只有蜘蛛 8 条腿.因此,可先从腿数入手,求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是 6 条腿,则总腿数为6 18108(条),所差11810810(条),必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以,应有(118108)(86)5(只)蜘蛛.这样剩下的18513(只)便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手,假设 13 只都是蝉,则总翅膀数例题精讲例题精讲知识精讲知识精讲教学目标教学目标6-1-9.6-1-9.鸡兔同笼问题（三）鸡兔同笼问题（三）21 1313(对),比实际数少 20137(对),这是由于蜻蜓有两对翅膀,而我们只按一对翅膀计算所差,这样蜻
5、蜓只数可求7(21)7(只).【答案】7只【巩固巩固】 希望小学的生物标本室里有蜻蜓,蝉,蜘蛛共 11 只,它们共有 74 条腿,10 对翅膀,由图 7 知该标本室里有 只蜘蛛.图 7【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】希望杯,4 年级,1 试,假设思想方法【解析】这个题目就是有三种动物的鸡兔同笼问题,需先转化成两种动物.蜻蜓与蝉有共同的特征,所以我们可以先把它们看成一种动物,取名叫蜻蝉.用假设法知：如果这 11 只全是蜻蝉,则应长腿：11 666（只）,比实际少了：74668（只）,用一只蜘蛛去换一只蜻蝉,则就多 2 只,要多 8只则需要蜘蛛824（只）.【答案】4只
6、【巩固巩固】 犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头 26 个,脚 80 只,犄角 20 只已知犀牛有 4 只脚、1 只犄角,羚羊有 4 只脚,2 只犄角,孔雀有 2 只脚,没有犄角那么,犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】这道题有三种不同的动物混合在一起,这样假设起来会比较麻烦,像前面的题一样,我们可以观察一下：虽然有三种不同的动物,但是犀牛和羚羊都是 4 只脚,这样,只看脚数,就可以把孔雀与这两种动物分开,转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题,然后再通过犄角的不同,把犀牛和羚羊分开,也就是说我们需要做两次“鸡兔同笼” 假设 26
7、只都是孔雀,那么就有脚：26252（只）,比实际的少：805228（只）,这说明孔雀多了,需要增加犀牛和羚羊每增加一只犀牛或羚羊,减少一只孔雀,就会增加脚数：422（只）所以,孔雀有2628212（只）,犀牛和羚羊总共有261214（只） 假设 14 只都是犀牛,那么就有犄角：14 114 （只）,比实际的少：20146（只）,这说明犀牛多了羚羊少了,需要减少犀牛增加羚羊每增加一只羚羊,减少一只犀牛,犄角数就会增加：211 （只）,所以,羚羊的只数：616 （只）,犀牛的只数：1468（只） 小结这道题出现了三种动物,关键是寻找不同动物的相同点,把三种动物化为两类,先使用“鸡兔同笼”问题的解法
8、把另外特殊的一种区分出来,再使用另外条件区分具有相同点的动物【答案】犀牛8只,羚羊6只,孔雀12只模块二、多个量的“鸡兔同笼”变例【例例 2】 食品店上午卖出每千克为 20 元、25 元、30 元的 3 种糖果共 100 千克,共收入 2570 元已知其中售出每千克 25 元和每千克 30 元的糖果共收入了 1970 元,那么,每千克 25 元的糖果售出了多少千克?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】每千克 25 元和每千克 30 元的糖果共收入了 1970 元,则每千克 20 元的收入：25701970600元,所以卖出：6002030千克,所以卖
9、出每千克 25 元和每千克 30 克的糖果共1003070千克,相当于将题目转换成：卖出每千克 25 元和每千克 30 克的糖果共 70 千克,收入 1970 元,问：每千克25 元的糖果售出了多少千克?转换成了最基本的鸡兔同笼问题假设全是每千克25元的, 197025703025 =44（千克）,所以 30 元的是44千克,所以25元的有：7044=26（千克）关键：将三种以及更多的动物/东西,转化为两种最基本模型.即：抓住转化后的“头”与“脚”.【答案】26千克【巩固巩固】08年春,我国南方遭受到重大雪灾,实验小学三年级一班的42名同学给南方的灾区捐款450元.其中有12名同学每人捐5元,
10、其他同学捐10元或20元,则捐10元的有 名,捐20元的有 3名.【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,3 年级,第 8 题,假设思想方法【解析解析解析】由题意,4212=30（名）同学捐10元或20元,一共捐了450125390（元）,那么捐20元的同学有：(3901030)(2010)9（人）,捐10元的有：30921（名）.【答案】21名【例例 3】 某场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共 400 张,甲类票 50 元张,乙类票 40 元/张,丙类票 30元/张,共收入 15500 元,其中乙类、丙类门票张数相同则甲类、乙类、丙类门票分别售出多少张?【考点
11、】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,二试,第 14 题【解析】鸡兔同笼问题,乙类、丙类门票张数相同,则可以看成价格为 35 元张的同一类门票容易得到甲类门票售出() ()40050400 155005035100-=张,乙类、丙类各售出(400 -100)2=150 张【答案】甲门票售出100张,乙和丙售出150张【例例 4】 有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张,其中红色卡片的两面上分别写有1和2,黄色卡片的两面上分别写着1和3,绿色卡片的两面上分别写着2和3现在把这些卡片放在桌子上,让每张卡片写有较大数字的那面朝上,经计算,各卡片上所显示的数字之和为23
12、4若把所有卡片正反面翻转一下,各卡片所显示的数字之和则变成123问黄色卡片有多少张?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】开始的时候,黄色和绿色的卡片上都是3,红色卡片上是2如果全部是红色卡片,那么数字之和为：2 100200,比实际的少：23420034每增加一张黄色或绿色卡片,那么数字就会增加：321那么,黄色和绿色卡片之和：34134 （张）,红色卡片有：1003466（张） 翻转过来后,红色和黄色卡片上都是1,绿色卡片上是2红色卡片有66张,剩下的绿色和黄色卡片上的数字之和为：123 1 6657 如果34张卡片都是黄色的,那么这34张卡片上的
13、数字之和为：1 3434,比实际的少：573423每增加一张绿色卡片,数字之和就会增加：211 ,所以,绿色卡片有：23 123 （张）,黄色卡片有：342311（张） 【答案】11张【例例 5】 商店出售大,中,小气球,大球每个 3 元,中球每个 1.5 元,小球每个 1 元.张老师用 120 元共买了 55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】因为总钱数是整数 ,大,小球的价钱也都是整数 ,所以买中球的钱数是整数 ,而且还是 3 的整数倍.我们设想买中球 ,小球钱中各出 3 元.就可买
14、2 个中球,3 个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是 (1.52+13)(2+3)=1.2(元). 从公式可算出 ,大球个数是 (120-1.255)(3-1.2)=30(个). 买中,小球钱数各是 (120-303)2=15(元). 可买 10 个中球,15 个小球. 【答案】大球30个,中球10个.小球15个【例例 6】 从甲地至乙地全长 45 千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时 3 千米,平路上速度是每小时 5 千米,下坡速度是每小时 6 千米.从甲地到乙地 ,李强行走了 10 小时;从乙地到甲地,李强行走了 11 小时.问从甲地到乙地 ,各种路段分别是多少千
15、米 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】把来回路程 452=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡 ;去时下坡回来时上坡 .把上坡和下坡合并成 一种路程,根据例 15,平均速度是每小时 4 千米.现在形成一个非常简单的 鸡兔同笼问题.头数 10+11=21,总脚数 90,鸡,兔脚数分别是 4 和 5.因此平路所用时间是 (90-421)(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是 62=3(小时). 从甲地至乙地 ,上坡和下坡用了 10-3=7(小时)行走路程是 45-53=30(千米). 又是一个鸡兔同笼问题.从甲地至乙地 ,上坡行走的时间是
16、(67-30)(6-3)=4(小时). 行走路程是 34=12(千米). 下坡行走的时间是 7-4=3(小时).行走路程是 63=18(千米).4【答案】上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.【例例 7】 在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共22道选择题和填空题每题4分,解答题每题10分这次考试总分是100分,其中选择题和解答题的分值比填空题多4分,这次考试有多少道选择题?多少道填空题?多少道解答题?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法,希望杯【解析】选择题和填空题的分值一样,可以归为一类.如果这次考试的22道题全是解答题,则总分应是：22 10
17、220(分),但实际总分是100分,所以选择题和填空题共有：22010010420（）（） (道),解答题有：22202(道)选择题比填空题少：2 10416(分),选择题有：1002 1016248（） (道),填空题有：20812(道)【答案】选择题8题,填空题12题,解答题2题【例例 8】 某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖 1000 元,二等奖 250 元,三等奖 50 元.共有100 人中奖,奖金总额为 9500 元.问二等奖有多少名? 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设全是三等奖,共有：9500/50=190（人）中奖
18、,比实际多：190-100=90（人） 1000/50=20,也就是说：把 20 个三等奖换成一个一等奖,奖金总额不变,而人数减少了：20-1=19（人） 250/50=5,也就是说：把 5 个三等奖换成一个二等奖,奖金总额不变,而人数减少了：5-1=4（人）. 因为多出的是 90 人,而：90=19*2+4*13. 即：要使总人数为 100,只需要把 20*2=40 个三等奖换成 2 个一等奖,把 5*13=65 个三等奖换成 13 个二等奖就可以了. 所以,二等奖有 13 个人.【答案】13人【巩固巩固】 有 50 位同学前往参观,乘电车前往每人 1.2 元,乘小巴前往每人 4 元,乘地下
19、铁路前往每人 6 元.这些同学共用了车费 110 元,问其中乘小巴的同学有多少位?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】由于总钱数 110 元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是 5 的整数倍. 如果有 30 人乘电车, 110-1.230=74(元). 【解析】还余下 50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 【解析】如果有 40 人乘电车 110-1.240=62(元). 【解析】还余下 50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62610).说明假设的乘电车人数又多了.30至 40 之间,只
20、有 35 是 5 的整数倍. 【解析】现在又可以转化成鸡兔同笼了: 【解析】总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.235=68. 【解析】因此,乘小巴前往的人数是 (615-68)(6-4)=11. 【答案】11【例例 9】 学校组织新年游艺晚会 ,用于奖品的铅笔 ,圆珠笔和钢笔共 232 支,共花了 300 元.其中铅笔数量是圆珠笔的 4 倍.已知铅笔每支 0.60 元,圆珠笔每支 2.7 元,钢笔每支 6.3 元.问三种笔各有多少支 ?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】从条件铅笔数量是圆珠笔的 4 倍,这两种笔可并成一种笔 ,四支铅笔
21、和一支圆珠笔成一组,这一组的笔 ,每支价格算作 (0.604+2.7)5=1.02(元). 现在转化成价格为 1.02 和6.3 两种笔.用鸡兔同笼公式可算出 ,钢笔支数是 (300-1.02232)(6.3-1.02)=12(支). 铅笔和圆珠笔共 232-12=220(支). 其中圆珠笔 220(4+1)=44(支). 铅笔 220-44=176(支). 【答案】钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支5【例例 10】某次考试有 52 人参加,共考 5 道题,每题做错人数的统计表如下图还知道每人都至少做对 1 道题,做对 1 道题的有 7 人,5 道题全对的有 6 人,做对 2 道题和 3
22、道题的人数一样多那么做对 4 道题的人数是多少?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】总共答对了：52546102030190（）道题,做对 2、3、4 道题的人总共有：527639人,这 39 人总共答对了：1907 156153 道题可假设做对 2 道题的有 1 人,假设出错量：2 13 1392415342230（）（） ,所以假设正确,对二、三道题的各 1 人,对 4 道题的 37 人难点：给的是做错题的表,而条件给的是做对的条件.【答案】37人【巩固巩固】 某次数学考试考五道题,全班 52 人参加,共做对 181 道题,已知每人至少做对 1
23、道题,做对 1 道的有7 人,5 道全对的有 6 人,做对 2 道和 3 道的人数一样多,那么做对 4 道的人数有多少人?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】对 2 道,3 道,4 道题的人共有 52-7-6=39(人). 他们共做对 181-17-56=144(道). 由于对 2 道和 3 道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人(2+3)2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39. 对 4 道题的有 (144-2.539)(4-1.5)=31(人). 【答案】31人【例例 1】 1】 （20
24、09“数学解题能力展示读者评选活动三年级初赛 11 题）一些奇异的动物在草坪上聚会. 有独脚兽（1 个头、1 只脚） 、双头龙（2 个头、4 只脚） 、三脚猫（1 个头、3 只脚）和四脚蛇（1 个头、4 只脚）. 如果草坪上的动物共有 58 个头、160 只脚,且四脚蛇的数量恰好是双头龙数量的 2倍. 那么,有_只独脚兽参加聚会. 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】5 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法,迎春杯,整体法【解析解析解析】方法一：列表分析奇异动物的头和脚如下： 因为四脚蛇恰好是双头龙数量的 2 倍,所以可以将两只双头龙和一个四脚蛇打捆,这样每捆三个动物,4个头 12 只脚,恰好是四个三脚猫,这样本题就可以看成是两类动物：一类是 1 个头 1 只脚,一类是 1 个头 3 只脚,两类动物共计 58 个头,160 脚,假设法独角兽只数为： 58 3 1603 1 =7 （只）方法二：设独脚兽有x只,双头龙为y只,三脚猫有z只,则四脚蛇为2y只.根据题意,有2258438160 xyzyxyzy,即458123160 xyzxyz,故458123160yzxyzx,则(58)3160 xx,得7x ,即独脚兽有7只.