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1、1小学数学思维训练 -不定方程不定方程一、知识讲解一、知识讲解所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,方程的解不能唯一确定的方程或方程组.古希腊数学家丢番图于公元 3 世纪初就开始研究过不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家.学习不定方程,不仅可以拓宽数学知识面,而且可以培养思维能力,提高数学解题的技能.本讲主要学习二元一次不定方程和三元一次不定方程的解法,以及运用不定方程解答一些简单实际问题的方法.不定方程的解常常会附加一些限制条件,如要求是整数、自然数或正整数等等,这些条件对不定方程的求解至关重要,解题过程中要认真分析,尤其是要注重挖掘题中隐藏的一些限制条
2、件.在解不定方程时,通常将原方程变形为用含有一个未知数的代数式表示出另一个未知数的形式,再根据题中的限制条件,寻找合适的解.在解不定方程时,常规方法有观察法、试验法、列举法.如果再能合理运用以下几个技巧,就可以大大提高解题速度. 1.1.系数上的考虑（变形）系数上的考虑（变形）如求 7x2y =38 的整数解,我们变形为:y=（38-7x）2=19-3x-（1/2）x.由于 x、y 都是自然数,由上述变形可知,x 应是 2 的倍数,可以取 2,4.所以在解不定方程时,一定要注意未知数前面的系数,选择恰当的变形来解不定方程.2.2.尾数上的考虑（个位）尾数上的考虑（个位）2如求 5x+4y=59
3、 的自然数解.和的个位数是 9,说明 5x 的个位数字一定是 5,那么 x 一定取奇数;4y 的个位数字一定是 4,那么 y 只能是 1、4、6、11、14.这样解的过程就容易多了,速度也上来了.3.3.奇偶性上的考虑奇偶性上的考虑上道例题还可以从数的奇偶性入手考虑.59 是一个奇数,4y 一定是个偶数,那么,5x 就一定是个奇数,那么 x 取值只能取奇数,如 1、3、5,也能起到简便解题过程的作用. 4.4.倍数关系上的考虑倍数关系上的考虑 如求不定方程 2x+3y=21 的自然数解.我们注意到,21 是 3 的倍数,3y 肯定也是 3 的倍数,2x=21-3y,那么 2x 也应是 3 的倍
4、数,这样 x 只能取是 3 的倍数的数了,如:0、3、6 等等,这样就能简化解题过程了.二、例题解析二、例题解析例例 1 1 求 2x+5y=17 的整数解.分析:（一）观察法,并结合奇偶性或尾数上进行考虑.（1）17 是奇数,2x一定是偶数,那么,5y 就一定是个奇数,那么 y 取值只能取奇数,如 1、3、5解法一:观察 2x+5y=17,17 是奇数,2x 一定是偶数,说明 5y 的个位数字一定是 5,那么 y 一定取奇数.当 y=1 时,x=6;当 y=3 时,x=1.解法二:把 2x+5y=17 变形为:x=(17-5y)2,再列表试验求解.y1233x63.51所以,2x+5y=17
5、 的整数解为: x=6 x=1 y=1 y=3在解不定方程时在解不定方程时, ,可将原方程变形可将原方程变形, ,变为一个未知数用另一个未知数的代数变为一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来式表示出来, ,再根据题中的限制条件再根据题中的限制条件, ,寻找合适的解寻找合适的解. .例例 2 2 将球装入两种盒子中, 每个大盒子装 12 个, 每个小盒子装 5 个,正好装完.如果弹子数为 99,盒子数大于 9,大盒和小盒各多少个?分析:两种盒子的个数都应该是自然数,所以要根据题意列出不定方程,再求出它的自然数解.结合奇偶性、尾数分析,99 是奇数,12x 是偶数,5y 尾数是 5,12x 尾数
6、是4,x 取 2、7.经列举试验,x=2 时,y=15;x=7 时,y=3.所以,大盒子有 2 个,小盒子有 15 个,或大盒子有 7 个,小盒子有 3 个.由例由例 2 2 可以看出可以看出, ,对于不定方程对于不定方程, ,要尽量缩小未知数的取值范围要尽量缩小未知数的取值范围, ,再求解再求解. .不不定方程常常利用奇偶性和尾数来帮助解决定方程常常利用奇偶性和尾数来帮助解决例例 3 3 买三种水果 30 千克,共用去 80 元.其中苹果每千克 4 元,橘子每千克 3元,梨每千克 2 元.问三种水果各买了多少千克?4分析:该题共有三个未知量,可以设出两个未知数,再设法表示出第三个未知量,列出
7、不定方程.再根据条件求解.解:设苹果买了 x 千克,橘子买了 y 千克,梨买了（30 xy）千克.根据由式子(1)可知:y0,所以a3.来源:学科网 ZXXK将a=1,2,3 代入知,只有a=2 符合要求,此时n=260(个).3. x=2,y=34. 26 设买了 x 大盒,y 小盒.23x+16y=500 解得:x=12,y=14;x+y=26.5. 3 3 8设老师 x 人,男生 y 人,女生 z 人. x+y+z=14 12x+8y+5z=1009解得:x=3,y=3,z=8（三）解答:1. 解:设小明买甲种商品 x 份,乙种商品 y 份,可以列不定方程如下:7x+3y=60,由于3、
8、60 均为 3 的倍数,且 60-7x0,x8,又因为 7x 一定能被 3 整除,所以小明用 60 元买两种商品 16 份或 12 份.本题关键是确定 7x 的取值范围. 2. 解:设考 25 题、20 题依次为 x 次和 y 次,可列不定方程如下: (25-16)x+(20-16)y=426-1624 9x+4y=4242-9x0,所以 x4,且 4 和 42 均能被 2 整除,因此只能取 0、2、4.当 x=0 时,y=10 当 x=2 时, y=6当 x=4 时, y= 可以考 25 题的共有 2 次.判断出 x 的范围小于或等于 4,再确定不能取偶数是求解的关键.3. 解:设甲用 a
9、分钟洗盘子,(20-a)分钟洗碗,乙用 b 分钟洗盘子,(20-b)分钟洗碗. 10 由上式知,b 为偶数,所以 a=l,6,ll 或 16.当 a=1,6,ll 时,b20 不合题意.所以 a=16,b=18.共洗了盘子 3a+2b=84(个),洗了碗 134-84=50(个). 本题先用未知数分别表示甲、乙洗盘子和碗的时间,再列不定方程.4. 解:设截成 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管分别是 x 根和 y 根,则可以看方程 36x+24y=374 是否有解.由于 36、24 均能被 4 整除,374 被 4 除余 2,所以此方程无整数解.若剩余部分最少是 2 厘米,则列方程 36x+24y=372即 3x+2y=31 当 x=1 时,y=14.因此可以截成 1 根 36 厘米和 14 根 24 厘米两种型号的铝管,此时剩余部分最少为 2 厘米.5. 解:设套中小鸡 x 次,小侯 y 次,小狗 z 次.则 x+y+z=10 9x+5y+2z=61解得:x=5,y=2,z=3所以小鸡至多被套中 5 次.