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1、第四节 函数的奇偶性及周期性,主干知识梳理 一、函数的奇偶性,f(x)f(x),y轴,f(x)f(x),原点,二、周期性 1周期函数 对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ， 那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 2最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期,f(xT)f(x),最小的正数,最小正数,4若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_ 解析解法一：f(x)f(x)对于xR恒成立， |xa|xa|对于xR恒成立， 两边平方整理得ax0，对于xR恒成立，故a0. 解法二：由
2、f(1)f(1)， 得|a1|a1|，故a0. 答案0,关键要点点拨 1奇、偶函数的有关性质： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0；,(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反 2若函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(nZ且n0)也是函数的周期,函数奇偶性的判断,A是奇函数但不是偶函数 B
3、是偶函数但不是奇函数 C既是奇函数也是偶函数 D既不是偶函数也不是奇函数,规律方法 利用定义判断函数奇偶性的方法 (1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件； (2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例),注意判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性,(2)(2014六盘水一模)函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与 f(x1)都是奇函数，则() Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数
4、 Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函数,D由已知条件知，对xR都有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1) 因此f(x3)f(x2)1f(x2)1 f(x1)f(x1)f(x21) f(x2)1f(x3)， 故函数f(x3)是奇函数故选D.,典题导入 (1)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_,函数奇偶性的应用,听课记录(1)yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，当x1时，y2， 即f(1)(1)22， 得f(1)3， 所以g(1)f(1)21. 答案1,互动探究 本例(2)的条件不变，若n2且nN*，试比较f(n)， f(1n)，f(n1)，
5、f(n1)的大小 解析f(x)为偶函数，所以f(n)f(n)， f(1n)f(n1) 又函数yf(x)在(0，)为减函数， 且0n1nn1， f(n1)f(n)f(n1) f(n1)f(n)f(n1)f(1n),规律方法 函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式 利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式 (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数 常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值 (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,
6、(2)(2014晥南八校联考)已知定义在R上的奇函数满足f(x)x22x(x0)，若f(3a2)f(2a)，则实数a的取值范围是_ 解析因为f(x)x22x在0，)上是增函数， 又因为f(x)是R上的奇函数， 所以函数f(x)是R上的增函数， 要使f(3a2)f(2a)，只需3a22a，解得3a1. 答案(3，1),典题导入 (2012山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012)() A335B338 C1 678 D2 012,函数的周期性及其应用,听课记录由f(x6)f(x)可知，
7、函数f(x)的周期为6， 所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2， 所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101， 所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)3351 12335338. 答案B,跟踪训练 3(2014济南模拟)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2，1上的图象，则f(2 011)f(2 012)_,解析由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数， 所以f(2 011)f(2 012)f(67031)f(67131) f(1)f(1)， 而由图象可知f(1)
8、1，f(1)2， 所以f(2 011)f(2 012)123. 答案3,【创新探究】方程思想在函数性质中的应用,【高手支招】本题求解利用了方程思想方程思想就是未知和已知的思想，通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)，或者构造方程(组)，通过求解使问题得以解决凡是求未知数问题，常用方程思想来解决,体验高考 1(2013湖北高考)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为() A奇函数B偶函数 C增函数 D周期函数 D当x0，1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数故选D.,2(2013湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于() A4 B3 C2 D1 Bf(x)是奇函数，g(x)是偶函数， f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2. f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4. 由得g(1)3，故选B.,3(2013重庆卷)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)() A5 B1 C3 D4,课时作业,