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1、教材链接高考线面位置关系与空间角,教材探究(选修21P109例4)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点F. (1)求证：PA平面EDB； (2)求证：PB平面EFD； (3)求二面角CPBD的大小,试题评析1.本例包括了空间向量在立体几何中最主要的两个应用：(1)证明或判定空间中的线面位置关系，(2)求空间角 2教材给出的解法虽然都用到了向量，但第(1)(2)题仍然没有脱离线面平行、线面垂直的判定定理，第(3)题是先找到二面角的平面角，然后利用向量求解 3除了教材给出的解法外，我们还可以利用相关平面的法向量解答
2、本题，其优点是可以使几何问题代数化,解如图所示，因为底面ABCD为正方形，且PA底面ABCD， 所以PA，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系Axyz， 设AB1，,连接BD，则BDAC， 又BDPA，所以BD平面AFC，,设二面角CAFD的大小为，,探究提高1.本题与教材选修21P109例4相比其难点在于不易找到二面角CAFD的平面角，或者说找到二面角的平面角对学生来说是一个难点，而利用空间向量，即找到相关平面的法向量来求二面角，就可化解这个难点，这也是向量法的优势所在 2利用向量法解决问题时，要注意运算的正确性,(1)证明：平面AMD平面BMC； (2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面
3、MAB与平面MCD所成二面角的正弦值,(1)证明由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD. 因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD， 故BCDM.,所以DMCM. 又BCCMC，所以DM平面BMC. 而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.,当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点,设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，,可取n(1，0，2),教你如何审题立体几何中的折叠问题 【例题】 (2018全国卷)如图，四边形ABCD为正方形， E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.,(1)证明：平面PEF平面ABFD； (2)求DP
4、与平面ABFD所成角的正弦值,审题路线,自主解答 (1)证明由已知可得，BFPF，BFEF， 又PFEFF，PF，EF平面PEF， 所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.,由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，,探究提高立体几何中折叠问题的解决方法 解决立体几何中的折叠问题，关键是搞清楚翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化,【尝试训练】 (2019青岛模拟)如图(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，且BC2AD4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEF
5、D折起，使AECF，得到如图(2)的立体图形,(1)证明：平面AEFD平面EBCF； (2)若BDEC，求二面角FBDC的余弦值,(1)证明由折叠可知，AEEF. 因为AECF，且EFCFF，所以AE平面EBCF. 因为AE平面AEFD，所以平面AEFD平面EBCF.,(2)解如图所示，过点D作DGAE交EF于点G，连接BG，则DG平面EBCF，所以DGEC. 因为BDEC，BDDGD， 所以EC平面BDG，所以ECBG. 所以BGEGECCEBGEC， 所以BGECEB，且EBCGEB90，,设平面FBD的法向量n(x，y，z)，,设平面BCD的法向量m(a，b，c)，,令a1，得b0，c1
6、，所以平面BCD的一个法向量是m(1，0，1),易知，所求二面角为锐角，,满分答题示范立体几何中的开放问题,规范解答,高考状元满分心得 得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分 如第(1)问中利用线面平行的性质证明线线平行，第(2)问中建系时证明PO，AC，BD两两垂直，以及建系后得到各点的坐标 得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分如第(1)问中指出点E的位置，第(2)问中求两个平面的法向量和 得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证如第(2)中计算的值以及计算线段PF的长度等,构建模板,(1)当BF长为多少时，平面AEF平面CEF? (2)在(1)的条件下，求二面角EACF的余弦值,解(1)连接BD交AC于点O，则ACBD. 取EF的中点G，连接OG，则OGDE. DE平面ABCD，OG平面ABCD. OG，AC，BD两两垂直,以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，,设平面AEF，平面CEF的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2),若平面AEF平面CEF，则n1n20，,所以EFAF，EFCF，且AFCFF，所以EF平面AFC，,