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1、数 学 及 思 维徐世学(贵州广播电视大学铜仁分校 邮编:554300内容摘要：数学离不开思维，可以说数学的所有结论都是思维的结果。本文拟就从数学及逻辑思维、数学及形象思维、数学及直觉思维、数学家们的思想及数学家们的思路五个方面来阐明数学及思维二者间的关系。关键词： 数学 思维数学从它诞生那天起，就及思维结下了不解之缘。创造数学，构造数学，学习数学，研究数学，都是思维的过程，而且是较为纯净的思维过程。很显然，数学及思维有着千丝万缕的联系。本文的目的，就是想从历史的角度以数学家们的发现问题、分析问题、研究解决问题的结果来阐明二者的关系。一、数学及逻辑思维逻辑思维，又称抽象思维，它是舍弃认识对象及
2、具体形象，通过语言表达反映客观事物本质和内部规律性的思维。它是人们在认识过程中借助概念、判断、推理等思维反映现实的过程，具有抽象概括、间接反映、借助语言等特征。在数学活动的过程中，逻辑思维常常成为其主线。下面我们以欧几里得原本诞生前后的思维进程，来展示数学及逻辑思维的关系。(一历史演变告诉我们的结论希波克拉底( 的原本是公元前450年左右的作品，而且，在这前后，还有其他原本问世。亚里士多德的逻辑学是公元前350年左右的作品。欧几里得的原本则产生于公元前300年左右。这说明了亚里士多德的逻辑学是杨弃在它之前的几何学中的几何术语，通过逻辑思维而产生的；欧几里得的原本则是自觉地运用逻辑学处理几何概念
3、的结果。(二欧几里得原本体系的逻辑思维欧几里得原本第I卷列了23条定义；5条公设；5条公理；接着便是48个命题。往后的第卷至卷有108条定义和417个命题，形成了庞大的原本体系。原本中，虽然欧几里得发明了一些命题和证明，但这部著作的主要功绩还在于对命题的巧妙选择和把它们排列成一个合乎逻辑的序列。当然，欧几里得原本在逻辑结构上也存在许多缺陷。一是原本论述中作了许多默认的假定，这些假定是他的公设所不能承认的。二是存在这些逻辑缺陷中，也许是严重的。比如顺着缺陷的思路走下去，会导致及该体系的某个证明了的命题相矛盾的命题。例如：“证明任何三角形是等腰的”、“证明直角等于钝角、“证明从一点到一线有两条垂线
4、。”这几何学上的三个悖论。二、数学及形象思维仔细考察数学认识活动的具体过程，会发现形象思维在数学中起着很大的作用。数学中的形象思维激励着人们的想象力和创造性，常常导致重要的数学发现。下面我们来看一个形象思维实例。射影几何中著名的帕斯卡“神秘的六线形”定理：如果一个六边形内接于一圆锥曲线，则其三对对边的交点共线，并且，其逆命题成立。由这条定理引出的推论很多，并且引人入胜。对这个构形作过的探讨，几乎多到难以相信的地步。由圆锥曲线上的六个点形成的六边形有60种。并且根据帕斯卡定理，每一六边形对应有一帕斯卡线。这60条帕斯卡线每三条有一公共点，共20个点，这些点被称做史坦纳点。它们又四个四个地在15条
5、线上，这些线被称做普吕克线。帕斯卡线还依另一种点的集合三条三条地共点，它们被称做克科门点，共有60个。对应于每一史坦纳点，有三个克科门点，这使得所有四点在同一线上，这些线被称做凯利线。有20条凯利线，它们四条四条地过15个点，这些点被称做萨蒙点。此构形还有许多进一步的扩展和性质；并且，对“神秘六线形本身曾提出的不同证明多得不计其数。从猜想到证明，再从猜想到推论，这条定理是一个典型的形象思维的过程。关于这种形象思维的特征，帕斯卡在思想录中讲得很透彻，他指出：“习惯于依据感觉进行判断的人，对于推理的东西毫不理解，因为他们想一眼就能钻透而不习惯于探索种种原则。反之，那些习惯于依据原则进行推论的人则对
6、于感觉的东西也毫不理解，他们在那里探索原则，却不能一眼看出。”也就是说：以对于形象的感觉为基础，展开推理的翅膀，才能自由翱翔。三、数学及直觉思维直觉思维，又称顿悟思维，在数学认识活动中，也占有颇为重要的位置。下面以庞加莱关于富克斯群的富克斯函数理论的研究为例来谈谈顿悟思维。起初，庞加莱对富克斯函数冥思苦想了整整两个星期，企图证明它不存在，但这个想法以后被证明是错误的。后来，“一天晚上”，庞加莱说：“及往常不同，我喝了浓咖啡，因而辗转反侧，难以入眠，众多的思绪蜂拥而来，我感到它们在不断地冲突和碰撞直到最后，它们一一相联，也就是说，形成了一个稳定的组合体。”对此，庞加莱还作了心理学的剖析，他说：“
7、在这种情况下，我们似乎处于自身的无意识工作状态，虽然也部分地感到有某些超兴奋的有意识的思维成分，但总的来说，并不能改变无意识的特征。于是，我们就只能含含糊糊地领略到两种思维机制的区别。”下一步的工作就是企图找到函数的表达式。庞加莱回忆道：“我想要把这类函数表示成两个级数之商，这个思想是非常自然和有明确目标的，这时我想起了类似于此的椭圆函数的情形。我就设想，如果这两个级数存在，它们会有什么样的性质呢?循此向前，并没有遇到什么困难，我构造出了这两个级数，并称之为富克斯”。“就在此时，我离开了我所居住的地方卡昂，在矿业学院的资助下，开始了地质考察的旅行生活。旅途中的许多事使我忘掉了数学工作。到了康斯
8、坦茨湖，我们乘一辆马车到其他地方去，就在我把脚放到马车踏板上的一刹那，一个思想突然闪现在我脑海中，而在此之前，我还从来没有想到过。这个思想就是我用以定义富克斯函数的变换及非欧几何的变换是等价的。当时我并没有马上去证明这个思想，因为当时没有时间去考虑这件事，我继续和马车里的旅伴海阔天空地谈论着其他事情，然而我能感觉得到刚才所获得的这个思想是完全正确的。在旅行结束回到我所居住的卡昂之后，为了能问心无愧，我还是抽空给出了这个思想的证明。”“此后我就把注意力转移到及此有关的一些算术运算问题上去，但没取得什么成功，并且看起来也不象及我以前的研究工作有什么联系。由于对失败感到厌烦，我到海边去度过了几天，并
9、且考虑了一些其他的事情。有一天早上，当我正在悬崖上面散步时，一种新的思想在我的脑海中又同样地突然闪现出来，而且同样是一种简洁而确定的思想。这个思想就是：不定三元二次型的算术变换及非欧几何变换是等价的。”这两个结果使庞加莱认为：肯定存在着另外的富克斯群，也还存在着及他那个不眠之夜所遇到的不同富克斯函数。以前找到的只是一类特殊情况，接下来的事情应该是研究一般情况。从这个事例中，我们得到的最重要的启示是什么呢?研究数学所需要的第一是激情，第二是激情，第三还是激情。有了激情才能使顿悟(直觉思维频繁出现。努力地去锻炼自己的思维，培养自己的激情吧。四、数学家们的思想在数学家们看来，所有的问题都是思维的结果
10、。虽然他们思考问题的角度及方法各异，但有一个共同点，就是对问题不停地分析、研究、思维，创造出新的结论。下面列举三类比较典型的数学家思想加以说明。l、毕达哥拉斯的数学思想。我们以“毕达哥拉斯定理(中学教材称勾股定理的发现过程来加以说明。古埃及数学家已经知道，三边长度比例为3：4：5的三形是直解三角形，且32+42=52。所以3、4、5就是一组毕达哥拉斯数。古巴比伦的数学家还知道：52+122=132，所以5、12、13也是一组毕达哥拉斯数。不过，这些数学家只知道毕达哥拉斯数的一些特例，而毕达哥拉斯学派却发现了毕达哥拉斯数的一种公式，即m， , （这里的m是奇数）。毕达哥拉斯学派是怎样发现这种公式
11、的呢?这是由于这个学派对数字和图形的关系有一种特殊的理解，这就是所谓的“形数”。形数被看做是某些几何图形中的点的数目，它们成了几何学和算术之间的纽带。图l、图2、图3说明了三角形数、正方形数、五边形数的几何命名法。正方形数还有另一种表示法，如图4所示。正方形还有另一种表示法，如图4所示。从图4可以看出，由n2个点组合成的方阵，只有再加上21个点，才能构成由(12个点组合的方阵，即n2+(21=(12 (1如果令212，那么 ，1= (2把(2式代入(1式，可得：m2+（ ）=（ ）2 (3公式(3具有毕达哥拉斯定理形式，m， ， 字就构成一组毕达哥拉斯数。令3，5，7，9，顺次可得3，4，5；
12、5，12，13：7，24，25；9，40，4l；等无限多组毕达哥拉斯数。(当然，这些还不是全部，将每组毕达哥拉斯数中各数扩大相同的倍数，还会得到新的毕达哥拉斯数。由此看来，毕达哥拉斯学派之所以能发现毕达哥拉斯数的一种公式，关键是分析了正方形数的图形，即是从数形中发现了这个公式。2、莱布尼茨的数学思想。在此以莱布尼茨级数为例谈谈他的数学思想。莱布尼茨级数：=1- + + - +通常是由反正切函数的展开式式导出来的。然而莱布尼茨却是通过求圆面积问题的特殊处理发现这一表达公式的。莱布尼茨希望确定半径为l的圆的四分之一面积。为此，他把四分之一圆分成一个等腰直角三角形0和一个弓形(其弧为 ，如图示。弓形
13、的积分可通过在圆周上选择两个邻近点D和E，把弓形分成一系列“无限小三角形”(例如来加以完成。令K和L是D和E两点在X轴，即上的垂足。H是通过的直线及通过A点的切线的交点。G是A点在线上的垂足，J是D点在线上的垂足。这时，得到一个标准的无限小三角形。很明显和是相似形。由此得知：或：现在假定通过H点的X轴的平行线交于M点，交于N点，如果用F(表示无限小三角形的面积，那么F( F(或 (1这里表示，y表示，x表示，表示。另外，用作为的角度，于是得到1=22 (2现在是圆的切线，也可以说割线在D和E无限靠近时同圆相接触。因此， (3由于2从方程(2和(3可得x(2=2y2 (4这个三次方程确定了一条曲
14、线，上面排列着对应于x和y值的所有可能的M点。运用方程(1可通过y对于x的积分代换所有无限小三角形的面积总和： (5这里S即弓形的待求面积，对于任一条曲线(x，它对于x的积分都能为对于y的积分所代替。因此，从(5中可以解得。 (6然后，莱布尼茨通过一个级数展开(6中的分式： 246- (7逐项积分可得： - + - (8如果令= ，且，(8式即表明： - + - + -最后,如果加上直角三角形0的面积,就可得到四分之一个单位圆积： =1- + - + -这正是所要证明的莱布尼茨级数。从上面的证明过程可以看出，莱布尼茨思想方法的关键是对“无限小三角形”和“邻近点”的认识。他首先考虑“无限小三角形
15、”作为三角形所具有的一般性质，然后使邻近点逐渐接近，使三角形面积趋于无限小，最后再设想三角形性质在无限小情况时的变化，把这些作为积分的基础。莱布尼茨的“无限小三角形”和“邻近点”概念都带有一定直观性质，我们可以把它们看做是从初等数学向高等数学过渡，从有限向无限过渡的桥梁。3、克莱因的数学思想。克莱因在题为关于现代几何学研究的比 比较考察的就职演说中，以他自己和李在群论方面的工作基础，详尽地阐述了“几何学”的定义，对当时的几何学做了整理分类，并且提出了研究几何学的新的有效途径。克莱因将群论应用于几何学方面，是依赖于集合S到它本身的变换这个概念。依此变换，S的每一个元素对应于S的一个唯一的元素，并
16、且，S的每一元素是S的一个唯一的元素的对应。元素的集合S到它自身的两个变换T1及T2的乘积T2T1指的是：先进行变换T1再进行变换T2得到的合成变换。如果T是集合S到它自身的变换，它将S的每一个元素Q变换到S中的一个对应元素b，而把T翻过来的变换，即把S的每一元素b变S的原来的元素a的变换，被称做变换T的逆变换，并用1表示。使S的每一元素对应于它本身的变换被称做集合S上的恒等变换，并用I表示。不难证明：集合S到它本身的所有变换的集合，如果满足：(1集合的任何两个变换的乘积均处于集合中；(2集合的任何变换的逆变换均处于集合中。则此集合在变换的乘法下构成一个群。这样的一个变换的群，被称为变换群。克
17、莱因给几何学下的定义就是：对集合S的元素经某变换群中所包含的变换时，集合S保持不变的那些性质的研究，被称为几何学。以符号G(s，表示。在克莱因的定义下，有一个有趣的现象。即：一些几何包含另一些几何的方式。例如：因为平面欧几里得度量几何的变换群是平面相似几何的变换群的子群，因而得出：在平面相似几何中成立的任何定理在欧几里得度量几何中必定成立。从这个观点出发还可以证明：射影几何存在于平面欧几里得度量几何或平面相似几何之中，并且有一个套一个的几何序列。直到目前为止，射影几何的变换群把所研究过的所有别的几何的变换群当作子群包括在内。凯利所说的“射影几何包括所有几何”，所指的就是这一点。但是，恰恰相反的
18、是，就几何定理而论，射影几何的定理被包含于各种其他几何的定理之中。克莱因所建立的几何学的群论观点，是在19世纪射影几何的发展、非欧几何的产生以及变换群论的深入应用，三个方面的历史背景下产生的。并且在克莱因身上得到集中而又出色的体现。也可以说，克莱因对这三者有了深刻的认识，从而产生了历史的责任感，在其推动下，为几何学的发展建立了历史性的功勋。五、数学家们的思路 由于数学的对象及内容有相当大的自由性，数学家们的思路颇有些不同寻常之处。首先是无穷无尽的推广。数学家们总是从实际的概念及问题中推广出各种各样的新概念、新问题。现在就以“数”为例来说明数学家是如何推广的。克罗内克说：“整数是上帝造出来的，其
19、他都是人造的。”有理数、实数、复数、无穷基数及序数直到各种代数结构的元素，都是数学研究的对象。不仅概念是如此推广的，问题也是如此。数论中最为庞大的分支不定方程(丢番图方程中的许多问题都是最简单的不定方程x222 (1的衍生物，它也是最古老的不定方程。巴比伦在泥板文书上已列出它的多组解，最大的一组是：127091350018541而我们希望的是求出某一不定方程的全部解，也就是证明除此之外没有其他的正整数解(或整数解、或有理数解，要不就证明它根本没有正整数解。这样的方程很多，许多可以看成(1的推广。第一个推广是费尔马大定理，他证明了当n3时 (2没有正整数解。实际上，他真正证明的只有x444 (3
20、没正整数解。欧拉在1770年证明x333 (4没正整数解，但没有证明其他情况。不过他又作了第二步推广，他指出：x3333 (5有解，因为33+43+53=63，依照三次情形，他在1778年猜想x44444 (6有解，但 x4444 (7没有解。注意到(5和(6的左边的项数都等于方程的次数，还可以作类似的推广：不定方程x555555 (8有正整数解，而 x55555 (9没有正整数解，如此等等。大量的不定方程就是这么推广来的。这种推广虽然不费事，可是却够几代数学家干一辈子的。费尔马大定理已有350年历史，虽有一些进展，但至今没有彻底解决。而欧拉猜想却有了结果：1911年得出(6的一组解：304+
21、1204+2744+3154=3544一直到1987年夏天才用椭圆曲线理论及计算机推翻(7无解的猜想。他给出了一个反例：958004+2l75194+4145604=42248l4而五次方的欧拉猜想(9无解，在1966年也给出了反例275+845+1105+1335=1445但(8的解至今尚未得出!这个问题还可以从不同方向推广，一是向高次幂推广，一是左边项数增多，一是右边项数增多。当(6的左边再加上一项时，100年前就找到一组解：44+64+84+94+144=154(8的左边再加上一项也有解：45+55+65+75+9515=125可以看出单是等次幂的不定方程就可以无休止地推广下去。许许多多
22、数论问题也是这样从简单到复杂无休止地产生出来：一个问题解决了，10个新问题又在等着他，数学家总有解决不完的问题。当然，在空间、函数等概念上，同样曾经有过并且还可以做许多推广。其次是不断地追求严谨性。最初的一些概念往往来源于直观，而数学家们则要抠一抠这些概念是否合乎逻辑，有没有矛盾。数学家开始对于收敛和发散、连续及可微等作了严格的定义，严格化这些定义又要进一步阐明实数、测度、积分、维数、曲线、曲面等概念，使之更加严格。柯西(，AL17891857、阿贝尔(，NH18021829、狄利克雷(，PGL18051859和魏尔斯特拉斯(，KTw18151897在分析的算术化方面做的工作，堪称楷模。其三是一点一点地逼近。千方百计地从各个方面逼近经典问题，也是数学家们的一种常用的思路。以完全为例，“哪些数是完全数就是个最古老的未解决的问题。其一个子问题是所谓奇完全数猜想：没有奇完全数。现在对这个问题采用两种逼近策略。一种是证明：如果有奇完全数，其数值一定大于某数，现在的记录是1080；还有一种方式，是证明奇完全数因子数大于某数。对数学家的常用的思路有了这么个初步的了解，就不至于感到数学神秘莫测了。数学家们的思维火花，何等耀眼，给我们的启示，岂止这些。它们是取之不尽的源泉，切不可浅尝辄止。18 / 18