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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除数学收敛思维与发散思维的协同论 文 “数学收敛思维与发散思维的协同” 铅山三中 詹锋 数学收敛思维与发散思维的协同 收敛思维也叫“集合思维”、“求同思维”，是指在解决问题的过程中，尽可能利用已有的知识和经验，把众多的信息和解题的可能性逐步引导到条理化的逻辑序列中去，最终得出一个合乎逻辑规范的结论。收敛思维也是创新思维的一种形式，与发散思维不同，发散思维是为了解决某个问题，从这一问题出发，想的办法、途径越多越好，总是追求还有没有更多的办法。而收敛思维也是为了解决某一问题，在众多的现象、线索、信息中，向着问题一个方向思考，根据已有的经验、知识或发散思
2、维中针对问题的最好办法去得出最好的结论和最好的解决办法。 收敛思维训练是重要的，每个学生都应受到良好的收敛思维训练。在学生进入小学、中学后，实际进行收敛思维训练的时间也特别多，这对于儿童思维的健康化是完全必要的。这种训练常常是与逻辑分不开的，在我国很少有中小学开设逻辑学课程，他们的主要逻辑训练来自各个学科，与各学科结合，尤其与数学结合。数学训练是思维的“体操”。数学各科都有逻辑训练，其中又以几何学科最具典型性，它的基本任务是训练学生的演绎推理(这是一种论证推理)。逻辑训练又是典型的收敛性思维训练。 学习逻辑方法，掌握逻辑规则(不一定要有很专门的逻辑知识)，不仅对于数学学习是重要的，对于一般人，
3、对于其它知识的学习，对于学习与理解，对于交流与表达，都是重要的。逻辑上的混乱会使上述这一切受阻。基本的形式逻辑规则尚不懂得应当遵守，去谈什么辨证思维，只会误入歧途。“在一定条件下，坏事可以变成好事”，这是一种辨证思维。丢掉“在一定条件下”去讲“坏事可以变成好事”，这就有点问题了。干脆就说“坏事就是好事”，这是瞎说，连基本的形式逻辑都违反了，这与辨证逻辑毫不相干。“在一定条件下，几何问题可以变成代数问题”，这个“在一定条件下”也不能丢，更不能在强调两者的某种统一的事物需要弄明白，这种对立统一关系，必须建立在对有关概念与命题准确了解的基础上，建立在相当的收敛思维训练基础上。比如说，加法与减法在某种
4、条件下统一于代数和，乘法与除法在某种条件下都归结为乘法，以及直线与曲线的某种联系，连续与离散的某种联系，等等。 逻辑是青少年思维发展中的保健品，逻辑的普遍适用性正是进行迁移所需的，是发散过程中所需的。因为发散思维的“果实”还不是成熟的，需要收敛思维去加工。青少年时期是相对易于发散的年龄，也正需要他们同时懂得发散的东西随时要伴之以收敛。这样，不仅“果实”会成熟，思维发展也会渐渐成熟起来。 在基础教育阶段，收敛思维训练，一则是大量的，二则是严格的，三则是权威的。大量的时间用于收敛思维训练是正常的。儿童思维的“天性”是发散的，收敛是需要后天训练的(当然，这不是说思维发散不需要给以注意，不需要发展，不
5、需要训练，不是这样的)。 学生在学习期间要吸收的数学知识主要是围绕教科书内容的。我们又要提到几何，一本几何教本，基本概念和基本命题寥寥数个，其余的大量命题(或以“性质”，或以“定理”，或以“习题”的形式出现)都属于演绎工作，就思维训练来说，明显地属于收敛性质。 收敛思维训练是严格的。我国广大数学教师一般都十分重视学生的这种训练，就推理而言。一般教师都十分忌讳“循环论证”、命题混淆、理由不充足等逻辑错误。因此注意力较多集中在严谨性上，集中在正确论证上。数学教科书的编写与审定要求也十分严格。 教师、教材要求的严格，逻辑上的严谨，结论似显出来的无可争议性，常常在学生心目中形成一种权威。这种权威有利于
6、学生的收敛性思维训练。 然而，同时必须明确的是，收敛思维训练与发散思维训练应协同进行。一定的权威是有利的，权威主义是有害的，后者尤应注意。 每个人的思维事实上都是既有收敛，又有发散的。幼儿时期或许是个例外。一般青少年，乃至成人，差别在于两种思维分别受到的训练如何，两者是否协调。收敛思维的强训练在学校，然而，更好的学校(或教师)是在进行这种强训练的同时保护和发展学生的发散思维。收敛思维的训练，在学前也可能有，只是比较微弱。良好的家庭环境，父母较好的文化素养，再加之以较好条件的幼儿教育，儿童的收敛思维就可能有一定的发展，但这时的收敛是比较有限的。 在日常生活中，一般人的思维较多地处在发散状态，且有
7、意的加以利用的情形不多。在接受课堂教育时，较多地处于收敛状态，而对发散性思维一般注意得较少，尤其是数学课。在强调全面发展，全面学好各科课程，并注意学习内容综合性质的学校里，学生收敛思维和发散思维协同训练的情况会好些。例如，人文课程，其中尤以艺术课程、文学课程，是比较有利于发展学生发散性思维的，数理化的学习与人文课程的学习都应受到重视，在基础教育阶段尤其不能偏废，这才有利于思维协调发展。数学本身不是人文科学，但它的形成、发展过程中，总伴随着人文精神，数学教学若能有效地将这种精神揭示在学生面前是大有益处的。所以数学教师熟悉数学史、尤其是数学思想史是十分有意义的。 不仅收敛和发散这两种性质不同的思维
8、在一般人身上都存在，而且，在思维发展中，两者是交替进行的、相互作用的。一个人在已获得的信息的基础上进行加工，若能超越现有信息而得到新的信息，往往是必须经历发散思维的。在几何的学习中，在代数的学习中，若已给出了假设(或已知)，又给出了待证的结论，那么，这时的训练基本上是收敛性质的，有一定的思维指向，又需沿着一定的逻辑发展，且在这种情况下所学得的主要是证明方法和增强论证能力，并未获得新的结论和原理。若只给出已知条件，不给出任何结论，而让学生去推测可能的结论且随后去推证自己揣测的结论，那么，那个推测过程是发散思维最能发挥作用的，这种作用发挥得越好，各种可能的推测就越有机会闪现出来，而随后的推证则又具
9、有收敛的特征。通过发散思维所获得的“新的信息”是否真理还不一定，所以发散思维的主要作用在于“萌发真理”，是否确为真理尚需论证，这一步则往往是收敛思维所为。在论证的过程中亦非绝对收敛的，特别是相对困难或比较复杂的证明过程，有时需要奇特的技巧，需要设计新的辅助命题或其它工具，需要在论证的主线外开辟新的支流，这些环节又离不开发散思维。待到在收敛和发散思维配合下确立了真理之后，再开拓出去，继续扩展信息，又需要收敛思维与发散思维的继续配合。收敛思维与发散思维良好的协同，这种思维可以被形象地称为既健康又活泼的。这样所学得的就不仅是论证方法，还包括了结论的探求。 在中小学阶段，为了加强学生的收敛性思维训练又
10、同时使之与发散性思维协调发展，我们可以做些什么呢,以下几个关系的正确处理是我们要做的事情的一个方面。 一、 原理与假说 一本数学教科书，大体上是由原理构成的(公理、定理、公式、法则等)，基本上没有“假说”的地位。而在人的日常生活中是常常碰到“假说”，甚至自己提出“假说”的。“这件事是谁帮我做的而没有留下姓名呢,”要回答这个问题，第一步就是作假设，提出好几种可能，然后看哪一种假设成立的可能性大些，再后就对那些可能性较大的假设进一步寻求其成立的依据。至于在实际的科学活动中，更是“假说”先行的;即使在学习现存的知识、学习教科书的过程中，也需要有大量的“假说”伴行才会学得更好。所以，面对满是原理的教科
11、书，教师不能忘记了教学生“假说”，自己提出“假说”，也引导学生去提出“假说”。 二、论证推理与似真推理 所谓论证推理，即在某种理论体系下(原则上要求是在公理体系下)进行逻辑推理。似真推理(包括不完全归纳推理、类比推理、联想)，从理论上并未达到真理，然而，它在整个推理中的重要地位在于:它是导向创造的必经之路，因此是发展学生创造思维所不可缺少的。作为论证推理的结果是原理，作为似真推理的结果就是“假说”。教学中应注意原理与“假说”的关系，同时也就进一步说明了论证推理与似真推理的关系值得注意，尤其不忽视似真推理。 三、学与问 “学问”作为一个完整的词是指知识、学识。 “学问”一词，若将其分解，就是既学
12、又问，“学”是一般的学习，“问”则是一种特别的学习方式。还可作另一理解，“学”是谓语，“问”是宾语，“学问”即学习着提问，学会问问题。学着问不容易，学会问更不容易。许多有经验的教师都会发现，喜欢问、爱问、会问的学生往往是十分优秀的学生。同时，我们就可以说，会教学问、使学生喜欢问、让学生会问的教师是十分优秀的教师。数学教师中之优秀者更应是这一类会教问者。 问，大多是因为想到了新的因，或想到了新的果，或感到在某个地方、 某个“原子”尚不能与原有“原子”挂上钩。因此问问题，特别是多问问题，思维发散开来的可能性增大。所以尊重和鼓励学生提问是教师应有的基本素养之一，数学教学中的权威性较高，教师的这种基本
13、素养尤为重要，不要因权威而压抑了学生的好问心理。教师在课堂有意设疑，对于形成学生生疑极有好处，而能引起学生生疑的环境是最便于发展学生发散思维的。 面对权威的教本，面对权威的教师，学生尚能提出问题，尚有不同看法，尚愿意标新立异，这是教师莫大的成功。至于教师自己的设问、设疑，则既不能是过于肤浅乃至显得做作的，又不能是过于深奥的;既不能过于直接，又不宜过于曲折。均从学生实际出发。 三角形ABC,E为AB的中点，F为AC的中点，连接EF。比较忌讳的的做法是，一开始就讲出结论来，然后就讨论怎么证，也就是说，很快转入证明。这是一种比较极端的收敛训练方式。比较好的方式是，先问学生:你能看出EF具有什么特点和
14、性质吗,这个问题泛一些。作为试探，最初的问题也宜于泛一些;泛一些也有利于学生有较大的思维自由度，较宽的活动空间，有利于他们发散思维。 最可怕的是课堂的沉寂，最要做好准备的是当出现沉寂时教师应当如何做。在教师设问时学生沉寂，在教师正常叙述、正面讲授时学生注意力不能随着教师转，这是两个同等严重的问题。面对上面那个较泛的问题，学生提不出设想来的话，教师需将问题具体化一步，将较泛的问题缩小一些，以打破沉寂局面，让他们跟得上。 对于EF，也许有学生会看出，说它平行于BC，这是最直观的;也许还有学生说，EF是BC的一半;也许还有学生说三角形AEF的面积是三角形ABC的三分之一，等等，这3种说法中，显然第三
15、种是错了，但教师可不急于指出其错误。并且也不要急于指出第一、第二两种说法是正确的。下面的问题似可这样提出:如果你认为EF是平行于BC，你还能进一步说出你的道理来吗,这样就便于让学生对自己提出的设想来进一步思索其正确程度，由发散又到收敛。这样问之后，如果还不能达到预期目的，就还要有再进一步的引导:此时我们依据什么判定定理来判断EF与BC平行,判断平行的原理有哪些,甚至还要引导到利用相似的判断定理上去。事实上虽只集中问第一个说法的正确性，然而第二个说法的正确性问题也可以迎刃而解了。第三个说法的错误更有可能来引导学生自己发现(这也是由发散到收敛的一步)，并予以纠正。 由此我们不难看到，只有把发散训练与收敛训练协同好，才能更好地发展发散思维，才能使学生在一种联结中、在相对关系中，更明白收敛思维的意义，从而有利于收敛训练。 【精品文档】第 7 页