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1、3.3.2空间向量运算坐标表示及应用,课时作业北师大版（2020）选择性必修第一册3.2空间向量运算的坐标表示及应用 1.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为() A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24) C.(-6,8,24) D.(-5,6,24) 2.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a(a-b),则实数的值为() A.-2 B.-143 C.143 D.2 3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则|3a+b|=() A.15 B.4 C.5 D.17 4.在正方体AB
2、CD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上随意一点,则直线OP与AM所成的角为() A.45 B.60 C.90 D.不能确定 5.已知A(0,0,-x),B(1,2,2),C(x,2,2)三点,点M在平面ABC内,O是平面ABC外一点,且OM=xOA+2xOB+4OC,则AB与AC的夹角为() A.6 B.4 C.3 D.23 6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)2b=-2,则实数x=. 7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)c=7,则a与c的夹角为. 8
3、.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值. 9.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设AB=a,AD=b,AP=c. (1)用向量a,b,c表示BM; (2)在如图所示的空间直角坐标系中,求BM的坐标. 实力达标 10.已知a+b=(2,2,23),a-b=(0,2,0),则cos<a,b>等于() A.13 B.16 C.63 D.66 11.已知两点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x)
4、,当|AB|取最小值时,x的值等于() A.19 B.-87 C.87 D.1914 12.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AC与AB的夹角是() A.30 B.45 C.60 D.90 13.(多选题)下列各组向量中共面的有() A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5) B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2) C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1) D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1) 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列计算结果肯定等于0的是
5、() A.AD1B1C B.BD1AC C.DCAD1 D.BD1B1C1 15.已知空间三点A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为. 16.已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,当QAQB取得最小值时,点Q的坐标为. 17.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积; (2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a的坐标. 18.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2). (1
6、)若DBAC,DCAB,求点D的坐标; (2)是否存在实数,使得AC=AB+BC成立?若存在,求出,的值;若不存在,说明理由. 1.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为() A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24) C.(-6,8,24) D.(-5,6,24) 答案D 解析a=(-3,4,12),且AB=2a,AB=(-6,8,24),A(1,-2,0),点B的坐标是(-5,6,24),故选D. 2.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a(a-b),则实数的值为() A.-2 B.-143
7、C.143 D.2 答案D 解析由题意知,a-b=(-2+,1-2,3-), 因为a(a-b),所以a(a-b)=(4-2)+(1-2)+(9-3)=14-7=0,解得=2. 3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则|3a+b|=() A.15 B.4 C.5 D.17 答案D 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上随意一点,则直线OP与AM所成的角为() A.45 B.60 C.90 D.不能确定 答案C 解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,A1P=p,易得AM=(-2,0,1),OP=(1,p
8、-1,2), 而AMOP=-2+0+2=0,所以AMOP,即OPAM, 所以直线OP与AM所成的角为90.故选C. 5.已知A(0,0,-x),B(1,2,2),C(x,2,2)三点,点M在平面ABC内,O是平面ABC外一点,且OM=xOA+2xOB+4OC,则AB与AC的夹角为() A.6 B.4 C.3 D.23 答案C 解析由A,B,C,M四点共面可知x+2x+4=1,x=-1,A(0,0,1),C(-1,2,2), AB=(1,2,1),AC=(-1,2,1), cos<AB,AC>=ABAC|AB|AC|=12,即AB与AC的夹角为3. 故选C. 6.已知向量a=(1,1
9、,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)2b=-2,则实数x=. 答案-8 解析由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以(c+a)2b=4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8. 7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)c=7,则a与c的夹角为. 答案120 解析由题得a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=14. 因为(a+b)c=7,所以a+b与c夹角的余弦值为12,即夹角为60. 因为a=(1,2,3)与a+b=(-1,-2,-3)方向相反,所以可知a与c的夹角为120. 8.已知a=(x,4,1
10、),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值. 解(1)因为ab,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又因为bc,所以bc=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2). (2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 所以a+c与b+c所成角的余弦值cos =5-12+33838=-219. 9.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设AB=a
11、,AD=b,AP=c. (1)用向量a,b,c表示BM; (2)在如图所示的空间直角坐标系中,求BM的坐标. 解(1)BM=BC+CM,BC=AD,CM=12CP,CP=AP-AC,AC=AB+AD, BM=AD+12(AP-AC)=AD+12AP-12(AB+AD)=-12AB+12AD+12AP=-12a+12b+12c. (2)a=AB=(1,0,0),b=AD=(0,1,0). A(0,0,0),O12,12,0,P12,12,1, c=AP=12,12,1, BM=-12a+12b+12c=-12(1,0,0)+12(0,1,0)+1212,12,1=-14,34,12. 实力达标
12、10.已知a+b=(2,2,23),a-b=(0,2,0),则cos<a,b>等于() A.13 B.16 C.63 D.66 答案C 11.已知两点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值等于() A.19 B.-87 C.87 D.1914 答案C 解析AB=(1-x,2x-3,3-3x),|AB|2=(1-x)2+(2x-3)2+(3-3x)2=14x2-32x+19=14x-872+57,当且仅当x=87时,|AB|取得最小值.故选C. 12.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AC与AB的夹角是()
13、A.30 B.45 C.60 D.90 答案C 13.(多选题)下列各组向量中共面的有() A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5) B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2) C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1) D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1) 答案ABC 解析选项A中,设a=x b+y c,则1=3x+4y,2=0+2y,3=2x+5y,解得x=-1,y=1,故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面.选项B中b=-2c,选项C中c=a-b.故B,C中三个向量也共
14、面. 选项D中,设a=xb+yc,则x+y=1,x=1,y=1,明显无解,故a,b,c不共面. 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列计算结果肯定等于0的是() A.AD1B1C B.BD1AC C.DCAD1 D.BD1B1C1 答案C 解析如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设DA,DC,DD1的长度分别为a,b,c, 则A(a,0,0),B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,0,0),B1(a,b,c),C1(0,b,c),D1(0,0,c), AD1=(-a,0,c),B1C=(-a,0,-c),BD1=(-a,-b,
15、c),AC=(-a,b,0),DC=(0,b,0),B1C1=(-a,0,0), AD1B1C=a2-c2,当ac时,AD1B1C0;BD1AC=a2-b2,当ab时,BD1AC0;DCAD1=0;BD1B1C1=a20.故选ABC. 15.已知空间三点A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为. 答案65 解析由题意可得AB=(2,3,-1),AC=(-2,1,3),|AB|=4+9+1=14,|AC|=4+1+9=14,所以cos<AB,AC>=2(-2)+31+(-1)31414=-27,所以sin<AB,AC>
16、;=357, 则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为S=1414357=65. 16.已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,当QAQB取得最小值时,点Q的坐标为. 答案43,43,83 解析设OQ=OP=(,2),则Q(,2), 故QA=(1-,2-,3-2),QB=(2-,1-,2-2), 所以QAQB=62-16+10=6-432-23, 当=43时,QAQB取最小值, 此时点Q的坐标为43,43,83. 17.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积
17、; (2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a的坐标. 解(1)由题中条件可知,AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2), 所以cos<AB,AC>=ABAC|AB|AC|=-2+3+61414=12. 于是sin<AB,AC>=32. 故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为 S=|AB|AC|sin<AB,AC>=1432=73. (2)设a=(x,y,z),由题意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0, 解得x=1,y=1,z=1,或x=-1,y=-1,z=-1. 故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-
18、1). 18.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2). (1)若DBAC,DCAB,求点D的坐标; (2)是否存在实数,使得AC=AB+BC成立?若存在,求出,的值;若不存在,说明理由. 解(1)设D(x,y,z),则DB=(-x,1-y,-z),AC=(-1,0,2),DC=(-x,-y,2-z),AB=(-1,1,0). 因为DBAC,DCAB,所以存在实数m,n,有 (-x,1-y,-z)=m(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=n(-1,1,0), 解得x=-1,y=1,z=2.即D(-1,1,2). (2)依题意AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,2),BC=(0,-1,2). 假设存在实数,使得AC=AB+BC成立,则有(-1,0,2)=(-1,1,0)+(0,-1,2)=(-,-,2), 所以=1,-=0,2=2,故存在=1, 使得AC=AB+BC成立.