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1、三年级奥数教材第六讲之数图形第六讲 数图形采用鲜艳的颜色，从最简单的视觉角度入手，用心理学的方法让你对数图形感兴趣，并爱上它。知识要点：同学们，在数图形时，一定要按顺序仔细数，如果给图形编个号，这样数起来就更方便，不会重复，也不会遗漏。例1 数一数图中共有几个三角形？ 这样想： 数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形1、4、3号，共3个。再数两个图形合成的三角形，1+2号，2+3号，3+4号，4+1号，按顺序两个两个合并，共4个三角形。最后数由1+2+3+4号组成的大三角形，有1个。所以3+4+1=8，共8个三角形。例2 数一数图中有西红柿的正方形有几个？这样想：先数单个正方形，有西
2、红柿的正方形有1个。再数四个正方形合成的大正方形，有西红柿的大正方形有4个。最后数由9个小正方形组成的大正方形，有1个。所以1+4+1=6，有西红柿的正方形共6个。例3 数一数图中共有几个正方形？这样想：先数单个正方形1、2、3、4、5、6号，共6个。再数四个正方形合成的大正方形，1+2+4+5号，2+3+5+6号，按顺序四个四个合并，共2个正方形。所以6+2=8，共8个正方形。例4 数一数图中共有几个正方形？这样想： 先数小正方形，共4个。再数稍大的正方形，共5个。最后数大正方形，有1个。4+5+1=10，所以图中共有10个正方形。例5 数一数图中共有几个圆形？ 这样想：先数小圆，共5个。再
3、数大圆有1个。图中共有6个圆。 数图形晚饭过后，妈妈给小小出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有多少个正方形。小小一看，立即回答：“窗户上一共有6个正方形。”妈妈笑了，爸爸在一旁也笑了，小小给弄了个“丈二和尚莫不着头脑”。小朋友，你知道小小的爸爸妈妈为什么笑吗？小小数得难道不对吗？如果不对，那么窗户上究竟有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。典型例题例【6】 下图中有多少条线段？分析 我们把图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE 4条；由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE 3条；由3条基本线段构成的线段有AD
4、、BE 2条；由4条基本线段构成的线段有AE 1条。另外，我们还可以从线段的两个端点出发去数：以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE 4条；以B为左端点的线段有BC、BD、BE 3条；以C为左端点的线段有CD、CE 2条；以D为左端点的线段有DE 1条。解 432110（条）所以图中有10条线段。例【7】 下面图形中有几个角？分析 我们把图中的 AOB、 BOC、 COD看作基本角，那么：由1个基本角构成的角有 AOB、 BOC、 COD 3个；由2个基本角构成的角有 AOC、 BOD 2个；由3个基本角构成的角有 AOD 1个。我们也可以从角的两条边出发来数：以OA为一边的角有 AOB、
5、 AOC、 AOD 3个；以OB为一边的角有 BOC、 BOD 2个；以OC为一边的角有 COD 1个。解 3216（个）所以图中有6个角。例【8】 下图中共有多少个三角形？分析 我们把图中 ABC、 ACD、 ADE看作基本三角形，那么：由1个基本三角形构成的三角形有 ABC、 ACD、 ADE；由2个基本三角形构成的三角形有 ABD、 ACE；由3个基本三角形构成的三角形有 ABE。解 3216（个）所以图中有6个三角形。例【9】 下图中有多少个正方形？分析 我们把最短的一条线段如AB看作基本线段，那么：边长为1条基本线段的正方形有9个；边长为2条基本线段的正方形有4个；边长为3条基本线段
6、的正方形有1个。解 94114（个）所以图中有14个正方形。例【10】 数一数图中共有多少个三角形？分析 我们可以将图形分成上面三个部分来数：在图1中，一共有5432115（个）三角形；在图2中，一共有5432115（个）三角形；在图3中，一共有5个三角形。解 1515535（个）所以图中一共有35个三角形。小结 要想正确数出图形的个数，关键是从基本图形入手：（1） 弄清楚图形中包含的基本图形是什么，有多少个。（2） 从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少。（3） 有些图形被分成乐几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的
7、总和。课后练习：数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握一定的方法和技巧。几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯，同时提高我们通过观察、思考去探寻事物规律的能力。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素。因此，观察图形中的线段，探寻线段及线段之间、线段及其他
8、图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。例1、数一数，图中有多少条线段？分析及解：如果我们按照一定的顺序从左往右数，就会发现：以A点为共同端点的线段有：ABACADAEAF5条；以B点为共同端点的线段有：BCBDBEBF4条；以C点为共同左端点的线段有：CDCECF3条；以D点为共同左端点的线段有：DEDF2条；以E点为共同左端点的线段有：EF1条；总数为：5+4+3+2+1=15条。用图示法表示更为直观明了，如右图。想一想：由例1可知，一条线段AF上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段。由此猜想如下规律（见右图）：还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从
9、中得出这样一个结论：当一个图形中包含的所有线段都在同一条直线上时，线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中的总端点数少1.如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么线段的总条数也是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见下图）。基本线段数 线段总条数 是不是存在这样的规律，同学们可以自己再举些例子试试看。二、数角例2、数一数，图中共有多少个角？分析及解：通过观察，我们可以知道，图中包含的所有角都具有O点这一共同端点。如果我们按照一定的顺序数，就会发现：以射线OA为角的一边的角有：AOB，AOC，AOD，AOE，AOF共5个；以射线OB为角
10、的一边的角有：BOC，BOD，BOE，BOF共4个；（不包括已经数过的AOB，即数过的不算，下同）以射线OC为角的一边的角有：COD，COE，COF共3个；以射线OD为角的一边的角有：DOE，DOF共2个；以射线OE为角的一边的角有：EOF1个.角的总数：5+4+3+2+115（个）.数的过程用图示法表示如下：想一想：由例2可知：由一点引出6条射线，所组成的角的总数为：5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见下图）由一点引出的两条射线组成1个角：由一点引出的三条射线组成2+1=3个角：由一点引出的四条射线组成3+2+1=6个角：由一点引出的五条射线组成4+3+2+1=10个角：还可以
11、一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中射线的总条数少1。及数线段有类似的地方，即为：如果把相邻两条射线所组成的角叫做基本角，那么角的总数也是从1开始的一串连续自然数之和，而其中最大的自然数等于基本角个数.注意，例1和例2的情况极其相似。虽然例1是关于线段的，例2是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式。同学们也可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力。三、数三角形例3、数出下面图中三角形的个数。分析及解：仔细观察图形，我们可以发现，图形中所构成的每个三
12、角形，都有两条边是由A点引出的，而第三条边不在线段BC就在线段DE上，并且通过我们去按顺序数，会发现BC和DE上有多少条线段就对应有多少个三角形，这样我们就可以把数三角形问题转化为数线段的问题了。根据例1可知，BC边上的线段有15条，那么，以BC边上的线段作为第三边的三角形就有15个。同理，DE边上的线段也有15条，以DE边上的线段作为第三边的三角形也有15个。所以，图中共有三角形152=30（个）例4、数出下图中三角形的个数。分析及解：明显地，这个图形不具有例3中三角形的特点，所以例3中的解法不适合此题，为了便于数出三角形的个数，我们可以用分类的方法来数。怎样分类呢？可以按三角形的构成来进行
13、分类，为了叙述方便，我们把图中三角形编上号码，如图所示。明显的，由1个三角形构成的三角形有6个。由2个三角形构成的三角形有2个，即（1，2），（4，5）由3个三角形构成的有4个，即（1，2，3），（4，5，6），（6，1，2），（3，4，5）所以，此图中共有三角形：624=12（个）四、数长方形例5、如下图，数一数各图中包含的长方形个数？分析及解：图（）中长方形的个数及AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段总条数，即长方形个数为：4+3+2+1=10（个）.图（）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条。BC边上共有线段：2+1（条），把AB
14、边上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（）中共有长方形为：（4+3+2+1）（2+1）=103=30（个）.图（）中，依据计算图（）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）（3+2+1）=60（个）.知识小结：一般情况下，对于类似图（）的图形中所包含的长方形的个数，我们就可以用外围大长方形中：长边上的线段总条数宽边上的线段总条数，求得。五、数正方形例6、如下图，数一数图中包含的正方形个数？分析及解：为方便起见,我们把小正方形的边长设为1,则正方形的边长可分别为1、2、3、4、5，我们可以借助分类的思想来数，按大小不同将图形中
15、正方形分为如下几类：边长为1的正方形有25个；边长为2的正方形组成的正方形有16个；边长为3的正方形组成的正方形有9个；边长为4的正方形组成的正方形有4个；边长为5的正方形组成的正方形有1个；正方形总数：25+16+9+4+1=55个.例7在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？分析及解：按包含的小块分类计数。包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；包含15小块的有2个。所以共有14472643242=39(个)。六、练习
16、题1、数一数下图中共有多少条线段？2、数一数下图中共有多少个三角形？3、数出下图中锐角的个数。4、数一数下图中一共有多少个长方形？5、下图中有多少个正方形？6、数一数图中有多少个三角形？7、下图中有多少个正方形？例题及方法例1 下图中有多少条线段？ABCDEODCBA例2 下面图形中有几个角？ABEDC例3 下图中共有多少个三角形？例4 右图中有多少个正方形？ABABCDABCABDDBC例5 数一数图中共有多少个三角形？练习及思考1下图中各有多少条线段？（1）ABCDEFABCDEFFGHI（2）ABCEFD（3）EFDABCO2下图中有多少个角？ 3下图中各有多少个三角形？ (1) (2) （3） （4）4下图中各有多少个长方形？ (1) (2) (3)5下图中有多少个正方形？19 / 19