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1、文数 课标版,第三节空间点、直线、平面之间的位置关系,1.四个公理 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理2的三个推论:,教材研读,推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 推论2:两条相交直线确定一个平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.,2.空间中两直线的位置关系 (1)位置关系的分类: . (2)异面直线所成的角 (i)定义:设a,b是两条异面直线
2、,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (ii)范围:.,3.有关角的重要定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.,4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、直线在平面内 三种情况. (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)两个不重合的平面只能把空间分成四部分.() (2)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a.() (3)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于过A点的任意
3、一条直线.,() (4)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,并记作=A.() (5)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.() (6)经过两条相交直线,有且只有一个平面.() (7)如果直线a与b没有公共点,则a与b是异面直线.(),1.下列命题: 经过三点确定一个平面; 梯形可以确定一个平面; 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; 若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. 其中正确命题的个数是() A.0B.1C.2D.3 答案C对于,未强调三点不共线,故错误;易知正确;对于,未强调三点不共线,若三点共线,则两平面也可能相交,故错误.故选C.,2.以下四个命题中,正确命题
4、的个数是() 不共面的四点中,其中任意三点不共线; 若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面; 若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面; 依次首尾相接的四条线段必共面. A.0B.1C.2D.3 答案B显然是正确的,可用反证法证明;中若A、B、C三点共线,则A、B、C、D、E五点不一定共面;构造长方体或正方体,如图,显然b、c异面,故不正确;中空间四边形中四条线段不共面.故只有正确.,3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b() A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 答案C假设cb,由公理4可知
5、,ab,与a、b是异面直线矛盾,故选C.,4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为. 答案60 解析连接B1D1,D1C,因B1D1EF,故D1B1C(或其补角)为所求角,又B1D1 =B1C=D1C,D1B1C=60.,考点一平面的基本性质及应用 典例1已知:空间四边形ABCD(如图所示),E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且CG=BC,CH=DC.求证: (1)E、F、G、H四点共面; (2)三直线FH、EG、AC共点.,考点突破,M平面EFHG,M平面ABC. 又平面EFHG平面AB
6、C=EG, MEG, FH、EG、AC共点.,方法指导 (1)证明点共线问题:公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在交线上;同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. (2)证明线共点问题:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点. (3)证明点、直线共面问题:纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.,1-1如图所示的是正方体和四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则各图形中,P,Q,R,S四点共面的是(填序号).
7、答案 解析对于,顺次连接P、Q、R、S,可证四边形PQRS为梯形; 对于,如图所示,取A1A和BC的中点分别为M,N,顺次连接P、M、Q、N、R、S,可证明六边形PMQNRS为正六边形;,对于,顺次连接P、Q、R、S,可证四边形PQRS为平行四边形; 对于,连接PS,PR,SR,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P,Q,R,S四点不共面.,1-2如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BCAD且BC=AD; BEFA且BE=FA,G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面?为什么? 解析(1)证明:由已知可知FG=GA,FH
8、=HD,可得GHAD且GH=AD.,又BCAD且BC=AD,GH BC, 四边形BCHG为平行四边形. (2)C、D、F、E四点共面,证明如下: 证法一:由BEFA且BE=FA,G为FA的中点知BE FG, 四边形BEFG为平行四边形,EFBG, 由(1)可知BGCH,EFCH,EF与CH共面. 又DFH,C、D、F、E四点共面. 证法二:如图所示,延长FE、DC分别与AB的延长线交于点M、M ,考点二空间两直线的位置关系 命题角度一两直线位置关系的判定 典例2如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在原正四面体中, GH与EF平行; BD与MN为异面直线
9、; GH与MN成60角;,DE与MN垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是. 答案 解析把正四面体的平面展开图还原, 如图所示,GH与EF为异面直线, BD与MN为异面直线. 连接GM,易知GHM为正三角形,则GH与MN成60角. 易知MNAF,且AFDE,则DEMN.,答案(1)(2)3 解析(1)中,直线GHMN;中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;中,连接MG,易知GMHN,因此GH与MN共面;中,G,M,N三点共面,但H平面GMN,因此直线GH与MN异面. (2)将展开图还原为正方体, 如图所示,显然,AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB
10、与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行,故互为异面直线的有且只有3对.,方法指导 空间中两直线的位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.,2-1给定下列关于异面直线的命题: 命题(1):若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线,直线c是与的交线,那么c至多与a,b中的一条相交; 命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线. 那么() A.命题(1)正确,命题(2)不正确 B.命题(2)正确,命
11、题(1)不正确 C.两个命题都正确 D.两个命题都不正确,答案D当c与a,b都相交,但交点不是同一个点时,平面上的直线a与平面上的b为异面直线,因此判断(1)是假命题,如图所示;对于(2),可以 取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直线,且使这些直线两两不平行,则这些直线中任意两条都是异面直线,从而(2)是假命题.故选D.,考点三异面直线所成的角 典例4(2016课标全国,11,5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为() A.B.C.D. 答案A 解析如图,过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1
12、C1D1相同棱长的正方体,易知平面为平面AF1E,则m,n所成角为EAF1,因为EAF1为正三角形,所以sinEAF1=sin 60=,故选A.,方法指导 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角; (2)二证:即证明作出的角(或其补角)是异面直线所成的角; (3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.,3-1空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30,E、F分别为BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小. 解析取AC的中点G,连接EG、FG, 则EGAB,且EG=AB,FGCD且FG=CD,GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角. AB与CD所成的角为30, EGF=30或150. 由AB=CD知EG=FG, 由EG=FG知EFG为等腰三角形, 当EGF=30时,GEF=75; 当EGF=150时,GEF=15. 故EF与AB所成的角为15或75.,