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1、理数 课标版,第三节合情推理与演绎推理,教材研读,1.合情推理,2.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: (i)大前提已知的一般原理; (ii)小前提所研究的特殊情况; (iii)结论根据一般原理,对特殊情况作出的判断.,1.下面几种推理是合情推理的是() 由圆的性质类比出球的有关性质; 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180,归纳出所有三角形的内角和都是180; 某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分; 三角形的内角和是18
2、0,四边形的内角和是360,五边形的内角和是 540,由此得出凸多边形的内角和是(n-2)180. A.B.C.D. 答案C是类比推理,是归纳推理,是非合情推理.,2.“因为指数函数y=ax(a0且a1)是增函数(大前提),又y=是指数 函数(小前提),所以函数y=是增函数(结论)”,上面推理的错误在于 () A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错 答案A当a1时,y=ax为增函数;当0a1时,y=ax为减函数,故大前提错误.,3.已知数列an中,a1=1,n2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜
3、想an的表达式是() A.an=3n-1B.an=4n-3 C.an=n2D.an=3n-1 答案Ca1=1,a2=4,a3=9,a4=16,故猜想an=n2.,4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为. 答案18 解析这两个正四面体的体积比为=18.,5.观察下列不等式 1+, 1+, 1+, 照此规律,第五个不等式为. 答案1+ 解析先观察左边,第一个不等式为2项相加,第二个不等式为3项相加,第三个不等式为4项相加,则第五个不等式应为6项相加,右边分子为分母的2倍减1,分母即为所对应项数,故应填1
4、+.,考点一类比推理 典例1(1)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集): 由“若a,bR,则a-b=0a=b”类比推出“若a,bC,则a-b=0a=b”; 由“若a,b,c,dR,则复数a+bi=c+dia=c,b=d”类比推出“若a,b,c,dQ,则a+b=c+da=c,b=d”; 由“若a,bR,则a-b0ab”类比推出“若a,bC,则a-b0ab”; 由“若xR,则|x|1-1x1”类比推出“若zC,则|z|1-1z1”. 其中类比结论正确的个数是() A.1B.2C.3D.4,考点突破,(2)在平面几何中,ABC的C的平分线CE分AB所成的线段的比为 =(如
5、图1).把这个结论类比到空间,在三棱锥A-BCD中(如图2),面DEC 平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则类比得到的结论是.,答案(1)B(2)= 解析(1)类比结论正确的只有. (2)由平面中线段的比类比空间中面积的比可得=.,易错警示 在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等. 1-1若数列an是等差数列,则数列bn也为等差 数列.类比这一性质可知,若正项数列cn是等比数列,且dn
6、也是等比数列,则dn的表达式应为() A.dn=B.dn= C.dn=D.dn=,答案D解法一:由商类比开方,由和类比积,则算术平均数可以类比几何平均数,故dn的表达式为dn=. 解法二:若an是等差数列,则a1+a2+an=na1+d, bn=a1+d=n+a1-,即bn为等差数列. 若cn是等比数列,则c1c2cn=q1+2+(n-1)=, =c1,即为等比数列,故选D.,1-2把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形,则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径,以此可求得外接圆半径r= (其中a,b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a,b,c且两两垂直的三棱锥的外
7、接球半径R=. 答案 解析由平面类比到空间,把矩形类比为长方体,从而可得出外接球半径.,考点二归纳推理 命题角度一与数字有关的推理 典例2(2016甘肃两市三校3月联考)观察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第n个等式为. 答案n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2 解析由前4个等式可知,第n个等式的左边第一个数为n,且连续2n-1个整数相加,右边为(2n-1)2,故第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.,命题角度二与式子有关的推理 典例3观察下列等式: +=12; +=
8、23; +=34; +=45; 照此规律, +=.,答案n(n+1) 解析通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的是个固定数,后 面第一个数是等式左边最后一个括号内分数的分子中的系数的一半,后面第二个数是第一个数的下一个自然数,所以,所求结果为n(n+ 1),即n(n+1).,命题角度三与图形变化有关的推理 典例4蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图蜂巢总数. 则f(4)=, f(n)=.,答案37;3n2-3n+1 解析因为f(1)=1
9、, f(2)=7=1+6, f(3)=19=1+6+12, 所以f(4)=1+6+12+18=37,所以f(n)=1+6+12+18+6(n-1)=3n2-3n+1.,规律总结 (1)归纳推理的一般步骤: 通过对某些个体的观察、分析和比较,发现它们的相同性质或变化规律;由发现的相同性质或变化规律推出一个明确表达的一般性命题. (2)归纳是依据特殊现象推出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围. (3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用.,2-1有一个奇数组成的数阵排列如下: 1371321 591523,111725 1927 29 则第30
10、行从左到右第3个数是.,答案1 051 解析观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+60=-1=929.又第n行从左到右的第2个数比第1 个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1 051.,2-2已知x(0,+),观察下列各式:x+2,x+=+3,x+= +4,归纳得x+n+1(nN*),则a=. 答案nn 解析第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1; 第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4; 第三个式子是n=3的情况,此时
11、a=33=27, 归纳可知a=nn.,考点三演绎推理 典例5数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,).求 证: (1)数列是等比数列; (2)Sn+1=4an. 证明(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn, 所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn). 整理得nSn+1=2(n+1)Sn, 所以=2, 又0,0, =2.(小前提) 故是以2为公比的等比数列.(结论) (2)由(1)知=4(n2), 于是Sn+1=4(n+1)=4Sn-1=4an(n2). 又a2=3S1=3, 故S2=a1+a2=4=4a1. 因此对于任意正整数n1,都有Sn+1=
12、4an.,方法技巧 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然的,则可以省略,本题中,等比数列的定义在解题中是大前提,由于它是显然的,因此省略不写. (2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要利用几个三段论才能完成. 3-1已知函数f(x)=(xR). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明.,解析(1)因为f(-x)=-=-f(x), 所以f(x)是奇函数. (2)f(x)在R上为单调递增函数. 证明:任取实数x1,x2,并且x1x2. f(x1)-f(x2) =- = =. 因为x1x2,所以, 所以-0, 又+10,+10, 所以0, 所以f(x1)f(x2). 所以f(x)在R上为单调递增函数.,