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1、-培优讲义01：相似三角形(一)-第 5 页第一讲 相似三角形（一）知识点一：图形的相似形状相同的图形叫做相似图形。（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；（2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。例1、下列命题正确的是（ ）A、相似多边形是全等多边形 B、不全等的多边形不是相似多边形 C、全等多边形是相似多边形 D、不相似的多边形可能是全等多边形1、下列说法中正确的是（ ）A、两个三角形不全等，那么它们也不相似B、两个三角形不相似，那么它们也不全等 C、两个相似三
2、角形一定不全等 D、两个全等三角形一定不相似例2、观察下面的图形，如图形状相同的有 。2、（2011年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并不陌生如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）A、平移B、旋转C、对称D、相似知识点二：成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。（1）若四条线段、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。（2）四条线段、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以）（3）判断四条线段是否成比例：将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；分别计算第一和第二、第三和
3、第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。（4）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=ABBC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。例3、在比例尺为1:2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离是_。3、某图纸的比例尺是1：20，图中零件长是32 mm，则加工的零件实际长为_cm。例4、下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ）A、3、6、7、9B、2、5、6、8、C、3、6、9、18D、1、2、3、44、如图，_，_，_，_，_，_，图中成比
4、例的线段的是_。5、已知AB=0.5m，BC=25cm，AB=20cm，BC=10cm，问AB、BC、AB、BC是否成比例线段？知识点三：相似多边形的性质（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。例5、ABC的三边长分别为、2，DEF的两边长分别为1和，如果ABCDEF，那么DEF的第三边长为（ ）A、 B、2 C、 D、6、一个多边形的边长分别是4 cm、5 cm、6 cm、4 cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8 cm，那么这个多边形的周长是（ ）A、12 cm B、18 cm C、32 cm D、48 cm7、RtABC的两条直角边
5、分别为3 cm、4 cm，与它相似的RtABC的斜边为20 cm，那么RtABC的周长为（ ）A、48 cm B、28 cm C、12 cm D、10 cm8、如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（ ）A、2：1 B、4：11 C、：1 D、1.5：19、两个相似三角形的对应高的比为1：，其中小三角形的最长边为10 cm，那么另一个三角形的最长边为_。10、如图所示，已知矩形ABCD，AB=6 cm，BC=8 cm，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=DF=4 cm，两动点M、N分别从C、F两点同时出发沿CB、FE均以2 cm/s的速度分别向B、E运动。猜测当M、N
6、运动多长时间时，矩形CFNM与矩形AEFD相似？ 知识点四：判断两个多边形相似判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。11、观察图中的三个矩形，其中属于相似形的是（ ）A、甲和乙 B、甲和丙 C、乙和丙 D、三个矩形都不相似12、小华在一块一边靠墙，长为6 m，宽为4 m的矩形的小花园周围栽种了一种蝴蝶花作装饰，这种蝴蝶花的边框宽为 20 cm，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？例6、下列各组图形： 两个平行四边形； 两个圆； 两个矩形； 有一个内角都是80的两个等腰三角形； 两个正五边形； 有一个内角是100的两个等腰三角形。其中一定是相似
7、形的是 （填序号）。13、下列多边形中，一定相似的是（ ）A、两个矩形B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个平行四边形14、下列说法正确的是（ ）A、两个等腰三角形相似 B、所有的等腰梯形相似 C、两个等腰直角三角形相似 D、所有的正多边形相似15、下列说法正确的是（ ）A、两个等腰三角形相似 B、所有的等腰梯形相似 C、两个等腰直角三角形相似 D、所有的正多边形相似16、下列说法中，错误的是（ ）A、所有的等边三角形都相似B、和同一图形相似的两图形也相似C、所有的等腰直角三角形都相似D、所有的矩形都相似知识点五：相似三角形1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角
8、形。三角形相似具有传递性。2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。考点一：相似三角形的判定1：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（基本不用）考点二：相似三角形的判定2：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。例7、（2009年梅州市）如图 ，梯形ABCD中，ABCD，点在上，连与的延长线交于点G。（1）求证：；（2）当
9、点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长。17、（2011年黄冈浠水模拟）如图，AB/CD，AE/FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（ ）A、4对 B、5对 C、6对 D、7对18、如图，在ABC的边AB、AC、BC上分别取点E、D、F，使四边形AEDF是一个菱形，若AB=15 cm，BC=12 cm，那么菱形的边长是多少？19、（2009年崇左）如图，中，分别是边的中点，相交于。求证：。20、如图所示，梯形ABCD中，ABCD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M。（1）求证：EDMFBM；（2）若DB=9，求BM。（3）若BFM的面
10、积为1，求梯形的面积。考点三：相似三角形的判定3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。例8、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据21、判断图中两三角形是否相似，简单说明理由。22、（2011杭州模拟）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）A、B、C、D、考点四：相似三角形的判定4：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。例9、如图所示，已知在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD的中点。求证：ADQQCP。23、（2011江苏无锡）如图，四边形A
11、BCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成、四个三角形。若OAOC = OBOD，则下列结论中一定正确的是 ( )A、和相似 B、和相似C、和相似 D、和相似24、如图，BC平分ABD，AB=12，BD=15，当BC=_时，ABCCBD。 第23题图 第24题图25、如图，ABC中，D是BC上一点，已知AC=15，BC=9，CD=3，在AC上找一点E，使CDE与原三角形相似，求CE的长。26、如图，点T在O上，延长O的直径AB交TP于P，若PA=18，PT=l2，PB=8。（1）求证：PTBPAT；（2）求证：PT为圆O的切线；（3）在弧AT上是否存在一点C，使得BT2=8TC?若存
12、在，请证明；若不存在，请说明理由。考点五：相似三角形的判定5：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。例10、如图，ABC为正三角形，D、E分别是AC、BC上的点（不在顶点），BDE=60。（1）求证：DECBDA；（2）若正三角形的边长为4，并设DC=，BE=，试求与之间的函数关系式。27、（2009年常德市）如图，ABC内接于O，AD是ABC的边BC上的高，AE是O的直径，连接BE，ABE与ADC相似吗？请证明你的结论。28、（2009烟台市）如图，与中，AB交于。给出下列结论：；。其中正确的结论是_填写所有正确结论的序号）。29、如图，ABC中，AD是
13、BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F。求证：ABFCAF。30、（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB。且DM交AC于F，ME交BC于G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果45，AB，AF3，求FG的长。31、（2009年广东省）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求此时的值。考点六：相似三角形的判定6：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，但用时需要证明）。如图，BAC=90，ADBC于点D，求证：。