第10章 动量定理.pdf

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1、 10-1 第第 10 章章 动量定理动量定理 物理中已讲述质点及质点系的动量定理，本章重点在质心运动定理。 同动能定理，先介绍动量与冲量的概念及求法。 10.1 动量动量 提问下述问题。 一、 质点的动量一、 质点的动量 vm，矢量。 二、 质点系的动量二、 质点系的动量 C vMvmK 表征质系随质心平动强度的量。 问题问题：某瞬时圆轮轮心速度为 O v ，圆轮沿直线平动、纯滚动和又滚又滑时的动量是否 相等？若沿曲线运动呢？ 10.2 力和力系的冲量力和力系的冲量 提问下述问题。 一、 力的冲量一、 力的冲量 力在时间上的累积效应。 1. 常力 tFS 问题问题： 图中G 和T 有冲量吗？

2、 2. 任意力 元冲量：tFS d 冲量： 2 1 d t t tFS 二、 力系的冲量二、 力系的冲量 2 1 d t t i tRSS 故力系的冲量等于主矢的冲量 10-2 三、 三、 内力的冲量内力的冲量 恒为零。 10.3 动量定理动量定理 一、 一、 质点的动量定理质点的动量定理 牛顿第二定律：Fam F t vm d )(d 或Svm d)(d 微分形式 Svmvm 12 积分形式 二、 二、 质点系的动量定理质点系的动量定理 任一质点： )()( d )(d i i e i ii FF t vm 求和，内力之和为零（或内力冲量和为零）： )( d d e F t K 微分形式 )

3、( 12 e SKK 积分形式 例例1（自编）图示系统。均质滚子A、滑轮B 重量和半径均为Q和r，滚子纯滚动，三角块固 定不动，倾角为，重量为G，重物重量P。求地 面给三角块的反力。 分析：欲求反力，需用动量定理： 上式左端实际包含各物体质心加速度， 而用 动能定理可求。 解：解：I. 求加速度。（前面已求） II. 求反力。研究整体，画受力图如图。 系统动量：cos Cxx v g Q mvK sin Cyy v g Q v g P mvK 由动量定理： )( d d ex X t K Xa g Q C cos cos C a g Q X )( d d e F t K 有缘学习更多+ 谓y

4、g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 10-3 )( d d e y Y t K GQPYa g Q a g P C 2sin sin2 C a g Q a g P GQPY 将g QP PQ aa C 2 sin 代入上面式，得： cos 2 )sin( QP PQQ X QP PQ GQPY 2 )sin( 2 2 可见，动量定理只建立了系统一部分动力学关系，只能求反力；而反力偶需要由动量可见，动量定理只建立了系统一部分动力学关系，只能求反力；而反力偶需要由动量 矩定理来求。矩定理来求。 上章例题中，求地面给三角块的反力（实际只能求主矢，反力偶求不出）。（综合题目，

5、 需用动能定理） 例例2 流体在管道中的动压力。 理想、定常、不可压缩流体在管道内运动。已知流体密度，体积流量Q，两截面流速 v1 和v2。求此段流体给管道的附加动压力。 （注：附加动压力总压力 静压力） 分析：分析：问题1先求总压力。欲求总压力，可求总反力。 考虑动量定理： )( d d e F t K 问题2研究对象如何取？考虑一段流体。 问题3动量如何写？ 直接写K有困难，但可以写d： 12 dd )(d vtQvtQKK KKKKKKK BAABDCCD CDBABAABDCCDCDBAABCDDCBA 从而可解。 解：解：研究一段流体，画受力图如图。 由动量定理： )( d d e

6、F t K (1) 而系统动量变化： tvvQ KK KKKKKKK BAABDCCD CDBABAABDCCDCDBAABCDDCBA )d( )(d 12 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 10-4 代入(1)式，得 ba PPWNvvQ )( 12 管道给流体的总反力： 附加动反力静反力 NNN 而0 ba PPWN 静反力 ，所以，管道给流体的附加动反力： 流体给管道的附加动压力： )( 12 vvQN 附加动反力 )( 21 vvQNN 附加动反力附加动压力 三、 动量守恒定律三、 动量守恒定律 0 )( e F，K常矢量 0 )(

7、e X， x K常量 问题问题：为何不这样说？ 由积分形式得： 0 )( e S， 12 KK 常矢量 0 )( e x S， xx KK 12 常量 答： 如光滑水平面上由绳拉住绕定点作匀速圆周运动的小球， 转一周后小球受合冲量为 零， 12 KK 常矢量，但非动量守恒。又如圆锥摆，小球匀速转动，动量不守恒。 上面问题在于0 )( e S或0 )( e S只能说明一段时间的两端动量相等，的在各瞬时 动量不一定相等。 例例 3 图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半 径均为Q和r，滚子纯滚动，三角块放在光滑平面 上，倾角为，重量为G，重物重量P。系统初始静 止。求重物上升s时，三角块的速度v1。

8、设重物相 对三角块铅直运动，滚子与斜面不脱开。 分析：分析：显然，系统水平动量守恒。但系统有两 个自由度，对应两个变量v和v1。而动量守恒只有 一个代数方程，还需列一个方程由动能定理给出。 解：解：研究整体。系统水平动量守恒： 0)cos( 1111 v g G vv g Q v g Q v g P C (1) （由微分形式得） 欧拉定理欧拉定理 10-5 整理，得： 0cos2 1 C QvvGQP 由动能定理： F WTT 0 式中0 0 T。 重物： 22 1 2 1 vv g P TP 轮子： 222 1 2 1 2 1 2 1 r g Q v g Q TB 滚子： 2222 1 2

9、1 2 1 sincos 2 1 r g Q vvv g Q T CCA 三角块： 2 1 2 1 v g G TD 整体动能： 2 1 2 1 2 2 cos 2 2 1 CCDABP v g QP vv g Q v g GQP TTTTT 主动力做功：sPQWF)sin( 代入动能定理方程，得 sPQv g QP vv g Q v g GQP CC )sin(0 2 2 cos 2 2 1 2 1 2 1 (2) 联立(1)、(2)式，得 22 1 cos222 )sin(2 cos QGQPQPGQP sPQg Qv 作业作业：10-5、10-9 10.4 质心运动定理质心运动定理 质心

10、运动定理是动量定理的另一种表达形式，重要而实用。 一、 质心运动定理一、 质心运动定理 质点系动量可写成： C vMK ，代入动量定理微分形式： )( d )(d eC F t vM 当质点系质量不变时，上式可写成 )(e C FaM 此即质心运动定理质心运动定理。 注注： 此定理与动量定理完全等价， 都反映质系随质心平动部分与所受外力主矢之间的 10-6 关系，但形式和所用物理量不同。质心运动定理已不再使用动量和冲量的概念； 形式与动力学基本方程相同，但含义不同； 适于任意质点系； 对刚体系， 由于 CiiC amaM ， 式中 Cii am 、表示每个刚体的质量和质心的加速度， 则质心运动

11、定理又可写为 )(e Cii Fam 二、 质心运动守恒二、 质心运动守恒 1. 当0 )( e F， 0 C a，则 C v 常矢量 若初始0 0 C v，则 C r 常矢量，即质心C位置不变； 2. 当0 )( e X， 0 Cx a，则 Cx v常量 若初始0 Cx v，则 C x常量，即质心C在x轴上位置不变。 注注：质心运动守恒多用于求初始静止的系统，满足守恒条件，经过一段时间后某个物体 的位移；而动量守恒定律多用于求速度。 例例4 用质心运动定理求反力 图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半径均 为Q和r， 滚子纯滚动， 三角块固定不动， 倾角为， 重量为G，重物重量P。求地面给三角

12、块的反力。 分析：分析：应用质心运动定理求反力： )(e C FaM 需求出系统质心加速度： M am a Cii C 或直接应用质心运动定理的另外形式： 各物体质心加速度由动能定理求出。 解：解：I. 求加速度。（前面已求） II. 求反力。研究整体，画受力图如图。 由质心运动定理： 所以， )(e Cii Fam )( e Cixi Xam Xa g Q C cos )( e Ciyi Yam GQPYa g Q a g P C 2sin 10-7 cos C a g Q X sin2 C a g Q a g P GQPY 将g QP PQ aa C 2 sin 代入上面式，得： cos

13、2 )sin( QP PQQ X QP PQ GQPY 2 sin 2 222 例例 10-6 （1）求支座反力；（2）求外壳运动规律。 解：（1）三种解法： 动量定理： )( d d e F t K 质心运动定理： )(e C FaM 质心运动定理： )(e Cii Fam （2）质心运动守恒 例例 5（接例3，用质心运动守恒求位移） 图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半径均为Q和r，滚子纯滚动，三角块放在光滑 平面上，倾角为，重量为G，重物重量P。系统初始静止。求重物上升s时，三角块 的位移s1 。设重物相对三角块铅直运动，滚 子与斜面不脱开。 分析：分析：水平质心运动守恒 0 21 Ci

14、i CiiCiiC xm xmxmMx 式中xCi为各物体质心水平位移。 解：解：质点系水平质心位置守恒： 0 Cii xm 各物体质心水平位移如图（三较块为动系）。则 0)cos( 1111 GsssQQsPs GQP Qs s 2 cos 1 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 10-8 例例 6（10-5 较难，需综合运动质心运动守恒、动能定理、质心运动定理及较多的运动 学分析。较典型例题。） 均质细杆AB长l，质量为m，B端放在光滑水平面上。初始时 杆静止，立于铅直位置，受扰后在铅直面内倒下。求杆运动到与铅 直线成角时，杆的角速度、角加速

15、度和地面的反力。 分析：分析：(1) 杆水平质心运动守恒，故质心C铅直运动； (2) 考虑动能定理求角速度： F WTT 0 其中包含和vC，直接不能求； (3) 但由运动分析可建立和vC的关系：P为瞬心。 (4) 对求导，可得 。 (5) 欲求地面反力N，可用质心运动定理： )( e C Fam (6) 但需求质心加速度aC，可对vC求导得到。 解：解：I. 杆水平质心运动守恒，故质心C铅直运动； II. 动能定理求角速度： F WTT 0 则 0 0 T， 222 12 1 2 1 2 1 mlmvT C )cos1 ( 2 l mgWF 整理：)cos1 ( 12 1 222 gllvC

16、 (1) III. P为瞬心，则： sin 2 l vC (2) 代入(1)式，得 )cos1 () 1sin3( 12 22 g l (a) 1sin3 cos13 2 2 l g (b) IV. 对式(a)求导，并注意, )(sin2) 1sin3( 12 )cossin23( 12 22 g ll ) 1sin3( )cos2(sin3 2 2 l lg (c) 10-9 或 ) 1sin3( )cos3cos64(sin6 2 2 l g (c1) V. 求质心加速度aC，对(2)式求导： )cossin( 2 cos 2 sin 2 2 lll aC (3) 或 1sin3 )cos

17、1 (cos2 sin 1sin3 3 2 2 2 g aC (3a) VI. 求地面反力N，用质心运动定理： )( e C Fam mgNmaC 1sin3 )cos1 (cos2 sin 1sin3 3 2 2 2 mg mgmamgN C 注注 1：书上应用基点法求：书上应用基点法求 aC，但不如上面方法简单。，但不如上面方法简单。 选B为基点，C为动点，画加速度图如图。 在铅直方向投影，得 cossin0 n CBCBC aaa 而 2 2 , 2 l a l a n CBCB 所以 cos 2 sin 2 2 ll aC (3) 注2：本题分析较复杂，如果一开始不能完全分析出来，可以分析一步求一步。 作业作业：10-14、10-17 n CBCBBC aaaa