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1、2.9函数模型及其应用 考纲要求1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,1几类常见函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型,(2)三种基本初等函数模型的性质,2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题
2、还原为实际问题的意义,以上过程用框图表示如下：,(4)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度() (5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻() (6)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题() 【答案】 (1)(2)(3)(4)(5)(6),1(2017广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：,则对x，y最适合的拟合函数是() Ay2xByx21 Cy2x2 Dylog2x 【解析】 根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2
3、.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意故选D. 【答案】 D,2(2017福建八县(市)一中上学期半期联考)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(),【解析】 由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家故选D. 【答案】 D,【答案】 D,4用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为() A3 B4 C6 D12 【答案】 A,5(2015四川)某食品的
4、保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时,【答案】 24,题型一用函数图象刻画变化过程 【例1】 (1)(2017九江模拟)设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(),(2)(2017日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价
5、，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(),【解析】 (1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D. (2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B. 【答案】 (1)D(2)B,【方法规律】 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型
6、，再结合模型选图象 (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案,跟踪训练1 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图象是(),【解析】 依题意知当0 x4时，f(x)2x；当4x8时，f(x)8；当8x12时，f(x)242x，观察四个选项知，选D. 【答案】 D,题型二已知函数模型的实际问题 【例2】 (2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数
7、关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是() A16小时B20小时 C24小时 D28小时,【方法规律】 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 (3)利用该模型求解实际问题,【答案】 D,命题点2构建指数函数、对数函数模型 【例4】 (1)(2016四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长
8、12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是() (参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30) A2018年 B2019年 C2020年 D2021年,(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为() A略有盈利 B略有亏损 C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况,(2)设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1
9、n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损 【答案】 (1)B(2)B,命题点3构建分段函数模型 【例5】 (2016辽宁锦州期末)国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为() A2 800元 B3 000元 C3 800元 D3 818元,令(x800)0.14420， 解得x3 800， 令0.112x420，得x3 750(舍去)， 故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元故选
10、C. 【答案】 C,【方法规律】 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制,跟踪训练3 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过_小时才能开车(精确到1小时),(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为
11、2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为() A10 B11 C13 D21,【解析】 (1)设经过x小时才能开车 由题意得0.3(125%)x0.09， 0.75x0.3，xlog0.750.34.19.x最小为5. (2)设该企业需要更新设备的年数为x， 设备年平均费用为y，,【答案】 (1)5(2)A,【思维点拨】 根据题意，要利用分段函数求最大利润列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论 【规范解答】 (1)当0 x40时，WxR(x)(16x40) 6x2384x40，(2分) 当x40时，WxR(x)
12、(16x40),即x50(40，)时，取等号， 所以W取最大值为5 760.(10分) 综合知， 当x32时，W取得最大值6 104万元(12分) 【答题模板】 解函数应用题的一般程序 第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；,第三步：解模求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性,【温馨提醒】 (1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.,方法与技巧 1认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础 2实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值 3解函数应用题的五个步骤：审题；建模；解模；还原；反思,失误与防范 1函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型 2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 3注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.,