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1、慧诚教育2017年秋季高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1集合一般地，把一些能够_对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象_构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，来表示2元素构成集合的_叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，来表示3空集不含任何元素的集合叫做空集，记为.知识点二集合与元素的关系1属于如果a是集合A的元素，就说a_集合A，记作a_A.2不属于如果a不是集合A中的元素，就说a_集合A，记作a_A.知识点三集合的特性和分类1集合元素的特性_、_、_.2集合的分类(1)有限集：含有_元素的集合(2)无限集：含有_元素的集合3常用数集和符号表示名称非
2、负整数集(自然数集)整数集实数集符号NN*或NZQR知识点四集合的表示方法1列举法把集合的元素_，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法2描述法用集合所含元素的_表示集合的方法称为描述法知识点五集合与集合的关系1子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的_元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集_(或_)真子集如果集合AB，但存在元素_，且_，我们称集合A是集合B的真子集_(或_)2.子集的性质(1)规定：空集是_的子集，也就是说，对任意集合A，都有_(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即_(3)如果AB，BC，则_(4)如果A
3、B，BC，则_3集合相等定义符号语言图形图言(Venn图)集合相等如果集合A是集合B的子集(AB)，且_，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等AB4.集合相等的性质如果AB，BA，则AB；反之，_.知识点六集合的运算1交集自然语言符号语言图形语言由_组成的集合，称为A与B的交集AB_2并集自然语言符号语言图形语言由_组成的集合，称为A与B的并集AB_3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质AB_AB_AA_AA_A_A_ABAB_ABAB_4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉和的_，那么就称这个集合为全集，通常记作_5补集文
4、字语言对于一个集合A，由全集U中_的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作_符号语言UA_图形语言典例精讲题型一 判断能否构成集合1在“高一数学中的难题；所有的正三角形；方程x220的实数解”中，能够构成集合的是 。 题型二 验证元素是否是集合的元素1、 已知集合.求证：（1）3A； （2）偶数4k-2(kZ)不属于A.2、集合A是由形如的数构成的，判断是不是集合A中的元素.题型三 求集合1方程组的解集是( )A. Bx，y|x3且y7C3，7 D(x，y)|x3且y72下列六种表示法：x1，y2；(x，y)|x1，y2；1,2；(1,2)；(1,2)；(x，y)|x1或y2能表
5、示方程组的解集的是()ABCD3.数集A满足条件：若aA，则A(a1)若A，求集合中的其他元素.4已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，用列举法表示集合M为 。题型四 利用集合中元素的性质求参数1已知集合Sa，b，c中的三个元素是ABC的三边长，那么ABC一定不是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形2.设a，bR，集合1，ab，a，则ba_.3.已知Px|2xk，xN，kR，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是_.4.已知集合Ax|ax23x20.(1)若A是单元素集合，求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围5.已知集合A是由0，m，m23
6、m2三个元素组成的集合，且2A，则实数m的值为()A2B3C0或3D0或2或36(2016浙江镇海检测)已知集合A是由0，m，m23m2三个元素构成的集合，且2A，则实数m_.题型五 判断集合间的关系1、 设,，则M与N的关系正确的是（ ）A. M=N B.C. D.以上都不对2判断下列集合间的关系：(1)Ax|x32，Bx|2x50；(2)AxZ|1x3，Bx|x|y|，yA3已知集合Mx|xm，mZ，Nx|x，nZ，Px|x，pZ，试确定M，N，P之间的关系.题型六 求子集个数1已知集合Ax|ax22xa0，aR，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为_题型七 利用两个集合之间的
7、关系求参数1.已知集合A1,2，m3，B1，m，BA，则m_.2已知集合A1,2，Bx|ax20，若BA，则a的值不可能是()A0B1C2D33设集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1.(1)若BA，求实数m的取值范围；(2)当xZ时，求A的非空真子集个数；(3)当xR时，不存在元素x使xA与xB同时成立，求实数m的取值范围题型八 集合间的基本运算1下面四个结论：若a(AB)，则aA；若a(AB)，则a(AB)；若aA，且aB，则a(AB)；若ABA，则ABB.其中正确的个数为()A1B2C3D42已知集合Mx|33，则MN()Ax|x3Bx|3x5Cx|30，则ST()A2,3B(，23，)C
8、3，)D(0,23，)5下列关系式中，正确的个数为()(MN)N；(MN)(MN)；(MN)N；若MN，则MNM.A4B3C2D16设U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，则实数m_.7(2016唐山一中月考试题)已知全集Ux|x4，集合Ax|2x4，Bx|6x6，求A(AB)和B(BA)知识点一函数的有关概念知识点二两个函数相等的条件1定义域_2_完全一致知识点三区间的概念和表示1一般区间的表示设a，bR，且ab，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间x|axb开区间x|axb半开半闭区间x|aax|xax|xa符号(，)a，)(a，)(，a(，a)知识点四函数的表示方
9、法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法知识点五分段函数如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的_，那么称这样的函数为分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的_，值域是各段值域的_知识点六映射的概念设A，B是两个_，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_，在集合B中都有_确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射知识点七函数的单调性1增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上
10、是增函数；当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数2函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间3单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)0，则为减(增)函数知识点八函数的最大值、最小值最值类别最大值最小值条件设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足(1)对于任意的xI，都有_(2)存在x0I，使得_(1)对于任意的xI，都有_(2)
11、存在x0I，使得_结论M是函数yf(x)的最大值M是函数yf(x)的最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值知识点九函数的奇偶性1函数奇偶性的概念偶函数奇函数条件对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)f(x)f(x)结论函数f(x)是偶函数函数f(x)是奇函数2.性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数例1(2
12、016年10月学考)函数f(x)ln(x3)的定义域为()Ax|x3Bx|x0Cx|x3Dx|x3例2(2016年4月学考)下列图象中，不可能成为函数yf(x)图象的是()例3已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的单调递减区间是_例4(2015年10月学考)已知函数f(x)，g(x)ax1，其中a0，若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是_例5已知函数f(x)满足对任意的x1f(x2)，求a的取值范围例6(2016年4月学考改编)已知函数f(x).(1)设g(x)f(x2)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求证：函数f(x)在2,3)上是增函数例7(20
13、15年10月学考)已知函数f(x)ax，aR.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当a2时，证明：函数f(x)在(0,1)上单调递减例8(2016年10月学考)设函数f(x)的定义域为D，其中a1.(1)当a3时，写出函数f(x)的单调区间(不要求证明)；(2)若对于任意的x0,2D，均有f(x)kx2成立，求实数k的取值范围一、选择题1函数f(x)的定义域为()A(3,0 B(3,1C(，3)(3,0 D(，3)(3,12下列四组函数中，表示同一个函数的是()Ay与yxBy()2与y|x|Cy与yDf(x)x22x1与g(t)t22t13若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，
14、值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()4已知f(x)是一次函数，且ff(x)x2，则f(x)等于()Ax1B2x1Cx1Dx1或x15设集合Ax|0x6，By|0y2，从A到B的对应法则f不是映射的是()Af：xyxBf：xyxCf：xyxDf：xyx6已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()A4B3C2D17若函数yax1在1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为()A2B2C2或2D08偶函数f(x)(xR)满足：f(4)f(1)0，且在区间0,3与3，)上分别递减和递增，则不等式xf(x)0的解集为_11若
15、关于x的不等式x24xa0在1,3上恒成立，则实数a的取值范围为_三、解答题12已知函数f(x)的图象经过点(1,3)，并且g(x)xf(x)是偶函数(1)求函数中a、b的值；(2)判断函数g(x)在区间(1，)上的单调性，并用单调性定义证明13已知二次函数f(x)ax22ax2b在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求f(x)的解析式；(2)若b1，g(x)f(x)mx在2,4上为单调函数，求实数m的取值范围答案精析知识条目排查知识点一1确定的不同的全体2每个对象知识点二1属于2不属于知识点三1确定性互异性无序性2(1)有限个(2)无限个3正整数集有理数集知识点四1一一列举出来2共同特征
16、知识点五1任意一个ABBAxBxAABBA2(1)任何集合A(2)AA(3)AC(4)AC3集合B是集合A的子集(BA)4如果AB, 则AB，且BA知识点六1属于集合A且属于集合B的所有元素x|xA，且xB2所有属于集合A或属于集合B的元素x|xA，或xB3BABAAAAAB4所有元素U5不属于集合AUAx|xU，且xA题型分类示例例1D例2AAB，2B，则a2.例34解析全集U2,3,4，集合A2,3，UA4例4AABA，AB.A1,2，B1，m,3，m2，故选A.例5B由B中不等式变形得(x2)(x4)0，解得x2，即B(，4)(2，)A2,3，AB(，4)2，)故选B.例6C图中的阴影部
17、分是MP的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是IS的子集，则阴影部分所表示的集合是(MP)IS，故选C.例7AAx|13x81x|0x4，Bx|log2(x2x)1x|x2x2x|x2，ABx|2x4(2,4考点专项训练1B集合Ax|1x5，Z为整数集，则集合AZ1,2,3,4,5集合AZ中元素的个数是5，故选B.2C由x25x60，解得x3或x2.又集合Ax|1x1，AB，故选C.3D4.C5AUB2,4,5,7，A(UB)3,4,52,4,5,74,5，故选A.6A因为全集U1,1,3，集合Aa2，a22，且UA1，所以1,3是集合A中的元素，所以或由得a1.由得a无解，所以a1，故
18、选A.7DAx|x28x1503,5，BA，B或3或5，若B时，a0；若B3，则a；若B5，则a.故a或或0，故选D.8D集合Ax|x216x|x4或x4，Bm，且ABA，BA，m4或m4，实数m的取值范围是(，44，)，故选D.91,21001解析A1，a，x(xa)(xb)0，解得x0或a或b，若AB，则a0，b1.114解析全集UxZ|2x42，1,0,1,2,3,4，A1,0,1,2,3，UA2,4，BUA，则集合B，2，4，2,4，因此满足条件的集合B的个数是4.121，)解析由x2x0，解得0x0)，AB，a1.133，)解析由|x2|a，可得2ax0)，A(2a,2a)(a0)由
19、x22x30，解得1x1时，f(x)递减，f(x)在1，)上递减例4(0,1)解析由题意得f(x)在平面直角坐标系内分别画出0a1时，函数f(x)，g(x)的图象，由图易得当f(x)，g(x)的图象有两个交点时，有解得0a1，a的取值范围为0a1.例5解由题意知，f(x)为减函数，0a1且a30且a0(a3)04a，0a.例6(1)解f(x)，g(x)f(x2)，g(x)g(x)，又g(x)的定义域为x|x1且x1，yg(x)是偶函数(2)证明设x1，x22,3)且x1x2，f(x1)f(x2)()()，x1，x22,3)且x1x2，x1x20，(x11)(x13)(x21)(x23)0，综上
20、得f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在2,3)上是增函数例7(1)解因为f(x)ax(ax)f(x)，又因为f(x)的定义域为xR|x1且x1，所以函数f(x)为奇函数(2)证明任取x1，x2(0,1)，设x1x2，则f(x1)f(x2)a(x1x2)(x1x2)a(x1x2)a因为0x1x22,0(x1)(x1)2a，所以a0.又因为x1x2f(x2)，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减例8解(1)单调递增区间是(，1，单调递减区间是1，)(2)当x0时，不等式f(x)kx2成立；当x0时，f(x)kx2等价于k.设h(x)x(|x1|a)当a1时，h(x)在(
21、0,2上单调递增，所以0h(x)h(2)，即0h(x)2(1a)故k.当1a0时，h(x)在(0，上单调递增，在，1上单调递减，在1，2上单调递增，因为h(2)22ah()即0h()，所以ah(x)22a且h(x)0.当0a时，因为|22a|a|，所以k；当a1时，因为|22a|a|，所以k，综上所述，当a时，k；当a1时，k.考点专项训练1A要使函数有意义，则即故31，后者为x1或x1，定义域不同；在D选项中，两个函数是同一个函数，故选D.3B4Af(x)是一次函数，设f(x)kxb，ff(x)x2，可得k(kxb)bx2，即k2xkbbx2，k21，kbb2，解得k1，b1.则f(x)x1
22、，故选A.5A6.B7.C8D求xf(x)0即等价于求函数在第二、四象限图象x的取值范围偶函数f(x)(xR)满足f(4)f(1)0，f(4)f(1)f(4)f(1)0，且f(x)在区间0,3与3，)上分别递减与递增，如图可知：即x(1,4)时，函数图象位于第四象限，x(，4)(1,0)时，函数图象位于第二象限，综上所述，xf(x)0的解集为(，4)(1,0)(1,4)，故选D.91或解析当a0时，f(a)1aa，得a；当a0得，2x220，解得1x0的解集为(1,1)11(，4解析若关于x的不等式x24xa0在1,3上恒成立，则ax24x在1,3上恒成立，令f(x)x24x(x2)24，x1
23、,3，对称轴x2，开口向上，f(x)在1,2)递减，在(2,3递增，f(x)minf(2)4，a4.12解(1)函数g(x)xf(x)是偶函数，则g(x)g(x)恒成立，即xbxb恒成立，b0.又函数f(x)的图象经过点(1,3)，f(1)3，即1a3，a2.(2)由(1)知g(x)xf(x)2x21，g(x)在(1，)上单调递增，设x2x11，则g(x2)g(x1)2x12x12(x2x1)(x2x1)x2x11，(x2x1)(x2x1)0，g(x2)g(x1)，函数g(x)在区间(1，)上是增函数13解(1)f(x)a(x1)22ba.当a0时，f(x)在2,3上单调递增，故即所以当a1，所以f(x)x22x5，所以g(x)x2(m2)x5在2,4上为单调函数，故2或4，所以m2或m6.33 / 33