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慧诚教育2017年秋季高中数学讲义
必修一第一章复习
知识点一 集合的概念
1．集合
一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．
2．元素
构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．
3．空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
知识点二 集合与元素的关系
1．属于
如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.
2．不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.
知识点三 集合的特性及分类
1．集合元素的特性
________、________、________.
2．集合的分类
(1)有限集：含有________元素的集合．
(2)无限集：含有________元素的集合．
3．常用数集及符号表示
名称
非负整数集(自然数集)
整数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
知识点四 集合的表示方法
1．列举法
把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．
知识点五 集合与集合的关系
1．子集与真子集
定义
符号语言
图形语言
(Venn图)
子集
如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
________(或________)
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集
________(或________)
2.子集的性质
(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．
(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．
(3)如果A⊆B，B⊆C，则________．
(4)如果AB，BC，则________．
3．集合相等
定义
符号语言
图形图言
(Venn图)
集合相等
如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等
A＝B
4.集合相等的性质
如果A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，________________________.
知识点六 集合的运算
1．交集
自然语言
符号语言
图形语言
由___________________
_____________________
组成的集合，称为A与B的交集
A∩B＝_________
2．并集
自然语言
符号语言
图形语言
由_________________
_________________组成的集合，称为A与B的并集
A∪B＝_______________
3.交集与并集的性质
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B＝________
A∪B＝________
A∩A＝________
A∪A＝________
A∩∅＝________
A∪∅＝________
A⊆B⇔A∩B＝________
A⊆B⇔A∪B＝________
4.全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________．
5．补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________
符号语言
∁UA＝________________
图形语言
典例精讲
题型一 判断能否构成集合
1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 。
题型二 验证元素是否是集合的元素
1、 已知集合.
求证：（1）3A；
（2）偶数4k-2(kZ)不属于A.
2、集合A是由形如的数构成的，判断是不是集合A中的元素.
题型三 求集合
1．方程组的解集是( )
A. B．{x，y|x＝3且y＝－7}
C．{3，－7} D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
2．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；
⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．
能表示方程组的解集的是( )
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤
C．②⑤ D．②⑤⑥
3.数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素.
4．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，用列举法表示集合M为 。
题型四 利用集合中元素的性质求参数
1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.
3.已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________.
4.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.
(1)若A是单元素集合，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
6．(2016浙江镇海检测)已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.
题型五 判断集合间的关系
1、 设,，则M与N的关系正确的是（ ）
A. M=N B.
C. D.以上都不对
2．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．
3．已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}，试确定M，N，P之间的关系.
题型六 求子集个数
1．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．
题型七 利用两个集合之间的关系求参数
1.已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝________.
2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则a的值不可能是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
题型八 集合间的基本运算
1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知集合M＝{x|－3
3}，则M∪N＝( )
A．{x|x>－3} B．{x|－30}，则S∩T＝( )
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
5．下列关系式中，正确的个数为( )
①(M∩N)⊆N；②(M∩N)⊆(M∪N)；
③(M∪N)⊆N；④若M⊆N，则M∩N＝M.
A．4 B．3
C．2 D．1
6．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.
7．(2016唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－24}，B＝{x|－6a}
{x|x≤a}
{x|xf(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
2．函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．
3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则为减(增)函数．
知识点八 函数的最大值、最小值
最值
类别
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I，都有__________
(2)存在x0∈I，使得______________
(1)对于任意的x∈I，都有________
(2)存在x0∈I，使得________
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．
知识点九 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的概念
偶函数
奇函数
条件
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
结论
函数f(x)是偶函数
函数f(x)是奇函数
2.性质
(1)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．
(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．
例1 (2016年10月学考)函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为( )
A．{x|x>－3} B．{x|x>0}
C．{x|x>3} D．{x|x≥3}
例2 (2016年4月学考)下列图象中，不可能成为函数y＝f(x)图象的是( )
例3 已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________，f(x)的单调递减区间是________．
例4 (2015年10月学考)已知函数f(x)＝，g(x)＝ax＋1，其中a>0，若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
例5 已知函数f(x)＝满足对任意的x1f(x2)，求a的取值范围．
例6 (2016年4月学考改编)已知函数f(x)＝－.
(1)设g(x)＝f(x＋2)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)求证：函数f(x)在2,3)上是增函数．
例7 (2015年10月学考)已知函数f(x)＝ax＋＋，a∈R.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)当a<2时，证明：函数f(x)在(0,1)上单调递减．
例8 (2016年10月学考)设函数f(x)＝的定义域为D，其中a<1.
(1)当a＝－3时，写出函数f(x)的单调区间(不要求证明)；
(2)若对于任意的x∈0,2]∩D，均有f(x)≥kx2成立，求实数k的取值范围．
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
2．下列四组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝与y＝x
B．y＝()2与y＝|x|
C．y＝与y＝
D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
4．已知f(x)是一次函数，且ff(x)]＝x＋2，则f(x)等于( )
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
5．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4B．3C．2D．1
7．若函数y＝ax＋1在1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为( )
A．2B．－2C．2或－2D．0
8．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(4)＝f(1)＝0，且在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式xf(x)<0的解集为( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－∞，－4)∪(－1,0)
C．(－4，－1)∪(1,4)
D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)
二、填空题
9．已知函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a＝________.
10．设f(x)＝ax2＋bx＋2是定义在1＋a,1]上的偶函数，则f(x)>0的解集为________．
11．若关于x的不等式x2－4x－a≥0在1,3]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
12．已知函数f(x)＝的图象经过点(1,3)，并且g(x)＝xf(x)是偶函数．
(1)求函数中a、b的值；
(2)判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．
13．已知二次函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b在区间2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若b>1，g(x)＝f(x)＋mx在2,4]上为单调函数，求实数m的取值范围．
答案精析
知识条目排查
知识点一
1．确定的不同的 全体
2．每个对象
知识点二
1．属于 ∈
2．不属于 ∉
知识点三
1．确定性 互异性 无序性
2．(1)有限个 (2)无限个
3．正整数集 有理数集
知识点四
1．一一列举出来
2．共同特征
知识点五
1．任意一个 A⊆B B⊇A x∈B x∉A
AB BA
2．(1)任何集合 ∅⊆A (2)A⊆A
(3)A⊆C (4)AC
3．集合B是集合A的子集(B⊆A)
4．如果A＝B, 则A⊆B，且B⊆A
知识点六
1．属于集合A且属于集合B的所有元素 {x|x∈A，且x∈B}
2．所有属于集合A或属于集合B的元素 {x|x∈A，或x∈B}
3．B∩A B∪A A A ∅ A A B
4．所有元素 U
5．不属于集合A ∁UA {x|x∈U，且x∉A}
题型分类示例
例1 D
例2 A ∵A＝B，∴2∈B，则a＝2.]
例3 {4}
解析 ∵全集U＝{2,3,4}，集合A＝{2,3}，∴∁UA＝{4}．
例4 A ∵A∩B＝A，∴A⊆B.
∵A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，
∴m＝2，故选A.]
例5 B 由B中不等式变形得
(x－2)(x＋4)>0，
解得x<－4或x>2，
即B＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
∵A＝－2,3]，
∴A∪B＝(－∞，－4)∪－2，＋∞)．
故选B.]
例6 C 图中的阴影部分是M∩P的子集，
不属于集合S，属于集合S的补集，即是∁IS的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁IS，故选C.]
例7 A A＝{x|1≤3x≤81}
＝{x|0≤x≤4}，
B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}
＝{x|x<－1或x>2}，
∴A∩B＝{x|20)，A⊆B，
∴a≥1.
13．3，＋∞)
解析 由|x－2|0)，
∴A＝(2－a,2＋a)(a>0)．
由x2－2x－3<0，解得－11时，f(x)递减，
∴f(x)在－1，＋∞)上递减．
例4 (0,1)
解析 由题意得f(x)＝在平面直角坐标系内分别画出01时，函数f(x)，g(x)的图象，
由图易得当f(x)，g(x)的图象有两个交点时，
有解得00，
(x1－1)(x1－3)(x2－1)(x2－3)>0，
综上得f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)2,0<(x－1)(x－1)<1，
所以>2>a，
所以a－<0.
又因为x1－x2<0，所以f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减．
例8 解 (1)单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是1，＋∞)．
(2)当x＝0时，不等式f(x)≥kx2成立；
当x≠0时，f(x)≥kx2等价于
k≤.
设h(x)＝x(|x－1|－a)
＝
①当a≤－1时，h(x)在(0,2]上单调递增，
所以0＝h()，
所以－a≤h(x)≤2－2a且h(x)≠0.
当0≤a＜时，因为|2－2a|＞|－a|，
所以k≤；
当≤a＜1时，因为|2－2a|≤|－a|，
所以k≤，
综上所述，当a<时，k≤；
当≤a<1时，k≤.
考点专项训练
1．A 要使函数有意义，
则即
故－31，后者为x>1或x<－1，定义域不同；
在D选项中，两个函数是同一个函数，故选D.]
3．B
4．A f(x)是一次函数，设f(x)＝kx＋b，
ff(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，
即k2x＋kb＋b＝x＋2，k2＝1，
kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1.
则f(x)＝x＋1，故选A.]
5．A 6.B 7.C
8．D 求xf(x)<0即等价于求函数在第二、四象限图象x的取值范围．
∵偶函数f(x)(x∈R)满足f(4)＝f(1)＝0，
∴f(4)＝f(－1)
＝f(－4)＝f(1)＝0，
且f(x)在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减与递增，
如图可知：即x∈(1,4)时，函数图象位于第四象限，
x∈(－∞，－4)∪(－1,0)时，函数图象位于第二象限，
综上所述，xf(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)，
故选D.]
9．－1或
解析 当a≥0时，f(a)＝1－a＝a，
得a＝；
当a<0时，＝a，解得a＝－1或1(舍去)．
∴a＝－1或.
10．(－1,1)
解析 ∵f(x)为定义在1＋a,1]上的偶函数，
∴1＋a＝－1，∴a＝－2，
又f(－x)＝f(x)，即ax2－bx＋2＝ax2＋bx＋2，
∴2bx＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－2x2＋2.
∴由f(x)>0得，－2x2＋2>0，
解得－10的解集为(－1,1)．
11．(－∞，－4]
解析 若关于x的不等式x2－4x－a≥0在1,3]上恒成立，
则a≤x2－4x在1,3]上恒成立，
令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈1,3]，
对称轴x＝2，开口向上，
f(x)在1,2)递减，在(2,3]递增，
∴f(x)min＝f(2)＝－4，∴a≤－4.
12．解 (1)∵函数g(x)＝xf(x)＝是偶函数，
则g(－x)＝g(x)．
∴＝恒成立，
即x－b＝x＋b恒成立，∴b＝0.
又函数f(x)的图象经过点(1,3)，
∴f(1)＝3，即1＋a＝3，
∴a＝2.
(2)由(1)知g(x)＝xf(x)＝2x2＋1，
g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
设x2>x1>1，
则g(x2)－g(x1)＝2x＋1－2x－1
＝2(x2－x1)(x2＋x1)．
∵x2>x1>1，∴(x2－x1)(x2＋x1)>0，
∴g(x2)>g(x1)，
∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．
13．解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
①当a>0时，f(x)在2,3]上单调递增，
故即
所以
②当a<0时，f(x)在2,3]上单调递减，
故即
所以
所以f(x)＝x2－2x＋2或f(x)＝－x2＋2x＋5.
(2)因为b>1，所以f(x)＝－x2＋2x＋5，
所以g(x)＝－x2＋(m＋2)x＋5在2,4]上为单调函数，
故≤2或≥4，
所以m≤2或m≥6.