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1、11数列的概念预习课本P36，思考并完成以下问题(1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ 1数列的概念(1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列(2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为数列an数列的第1项a1，也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项点睛(1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定
2、的数在确定的位置(2)项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次(3)an与an是不同概念：an表示数列a1，a2，a3，an，；而an表示数列an中的第n项2数列的分类项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列3数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成anf(n)，那么这个式子叫作数列an的通项公式点睛(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N或它的有限子集1,2,3，n为定义域的函数解析式(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式4数列的表示方法数列的表示方法一般有三
3、种：列表法、图像法、解析法1判断下列结论是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)同一数列的任意两项均不可能相同()(2)数列1,0,1与数列1,0，1是同一个数列()(3)数列中的每一项都与它的序号有关()答案：(1)(2)(3)2已知数列an的通项公式为an，则该数列的前4项依次为( )A1,0,1,0 B0,1,0,1C.，0，0 D2,0,2,0解析：选B把n1,2,3,4分别代入an中，依次得到0,1,0,1.3已知数列an中，an2n1，那么a2n()A2n1 B4n1C4n1 D4n解析：选Can2n1，a2n2(2n)14n1.4数列1,3,6,10，x,21，中，x的值是(
4、 )A12 B13C15 D16解析：选C312,633,1064，x15.数列的概念与分类典例下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1)0,1,2,3,4；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，； (4)1，1,1，1,1，1，；(5)6,6,6,6,6.解(1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)(5)是数列其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列数列分类的判断方法判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列活学活用下列说法中，正确的是( )A数列0,2,4,6可表示为0,2,
5、4,6B数列1,3,5,7,9，的通项公式可记为an2n1C数列2 013,2 014,2 015,2 016与数列2 016,2 015，2 014，2 013是相同的数列D数列an的通项公式an，则它的第k项是1解析：选D数列与数的集合的概念不同，A不正确；当nN时，没有第一项1，所以B不正确；C中两个数列中数的排列次序不同，故是不同的数列，所以选D.根据数列的前几项写出数列的通项公式典例分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出(1)，；(2)，；(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，.解(1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5恰比项数多1.分子中的
6、22,32,42,52恰是分母的平方，1不变，故它的一个通项公式为an.(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因子(1)n，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为12,23,34,45，则它的一个通项公式为an(1)n.(3)0.910.1,0.9910.01, 0.99910.001, 0999 910.000 1，而0.1101, 0.01102,0.001103, 0.000 1104，它的一个通项公式为an110n.由数列的前几项求通项公式的解题策略(1)负号用(1)n与(1)n1(或(1)n1)来调节，这是因为n和n1奇偶交错(2)分式形式的数列，分子找通项，分
7、母找通项要充分借助分子、分母的关系(3)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化等方法活学活用写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)，2，8，；(3)1，2，3，4，.解：(1)观察数列中的数，可以看到011,341,891,15161,24251，所以它的一个通项公式是ann21.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以它的一个通项公式为an.(3)此数列的整数部分1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为ann.利用通项公式确定数
8、列的项典例已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)49和68是该数列的项吗？若是，应是第几项？若不是，请说明理由解(1)an3n228n，a434228464，a636228660.(2)令3n228n49，即3n228n490，解得n7，或n(舍)49是该数列的第7项，即a749.令3n228n68，即3n228n680，解得n2，或n.2N，N，68不是该数列的项(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项(2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项列方程若方程的解为正整数
9、，则是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项活学活用已知数列an的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍(1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？解：(1)由题设条件，知an2n.a42410，a2522555.(2)假设253是这个数列中的项，则2532n，解得n121.253是这个数列的第121项假设153是这个数列中的项，则1532n，解得n72，这与n是正整数矛盾，153不是这个数列中的项层级一学业水平达标1数列的通项公式为an则a2a3等于()A70B28C20 D8解析：选C由an得a22，a310，所以a2a
10、320.2下列叙述正确的是( )A同一个数在数列中可能重复出现B数列的通项公式是定义域为正整数集N的函数C任何数列的通项公式都存在D数列的通项公式是唯一的解析：选A数列的通项公式的定义域是正整数集N或它的有限子集，选项B错误；并不是所有数列都有通项公式，选项C错误；数列1,1，1,1，的通项公式可以写成an(1)n，也可以写成an(1)n2，选项D错误故选A.3已知数列an的通项公式为ann2n50，则8是该数列的( )A第5项 B第6项C第7项 D非任何一项解析：选C由n2n508，得n7或n6(舍去)4数列1，3,5，7,9，的一个通项公式为( )Aan2n1 Ban(1)n(12n)Ca
11、n(1)n(2n1) Dan(1)n(2n1)解析：选B当n1时，a11排除C、D；当n2时，a23排除A，故选B.5在数列1,0，中，0.08是它的( )A第100项 B第12项C第10项 D第8项解析：选C由an，令0.08，解得n10或n(舍去)6数列1,2,4,8,16,32，的一个通项公式为_解析：由a120，a221，a322，a423，易得an2n1.答案：an2n17600是数列12,23,34,45，的第_项解析：由题意知，数列的通项公式ann(n1)，令ann(n1)600，解得n24或n25(舍去)答案：248已知曲线yx21，点(n，an)(nN)位于该曲线上，则a10
12、_.解析：点(n，an)位于曲线yx21上，ann21，故a101021101.答案：1019根据下面数列an的通项公式，写出它的前5项(1)an；(2)ansin ；(3)an2n1.解：(1)在通项公式中依次取n1,2,3,4,5，得到数列an的前5项为0,1，.(2)在通项公式中依次取n1,2,3,4,5，得到数列an的前5项为1,0，1,0,1.(3)在通项公式中依次取n1,2,3,4,5，得到数列an的前5项为3,5,9,17,33.10在数列an中，a12，a1766，通项公式是关于n的一次函数(1)求数列an的通项公式；(2)求a2 016；(3)2 014是否为数列an中的项？
13、解：(1)设anknb(k0)，则有解得k4，b2.an4n2.(2)a2 01642 01628 062.(3)令2 0144n2，解得n504N，2 014是数列an的第504项层级二应试能力达标1数列2,0,4,0,6,0，的一个通项公式是( )Aan1(1)nBan1(1)n1Can1(1)n1Dan1(1)n解析：选B经验证可知B符合要求2已知数列2，5,10，17,26，37，则下列选项能表示数列的通项公式的是()Aan(1)nn21Ban(1)n1(n21)Can(1)n(n21) Dan(1)n1(n21)解析：选B通过观察发现每一项的绝对值都是序号的平方加1，且奇数项是正的，
14、偶数项是负的，通项可以写成an(1)n1(n21)3数列，2，则2是该数列的( )A第6项 B第7项C第10项 D第11项解析：选B数列，2，的一个通项公式为an(nN)，令2，得n7.故选B.4设an(nN)，那么an1an等于( )A. B.C. D.解析：选Dan，an1，an1an.5已知数列an的通项公式ann24n12(nN)，则(1)这个数列的第4项是_；(2)65是这个数列的第_项解析：(1)由a442441212，得第4项是12；(2)由ann24n1265，得n11或n7(舍去)，65是第11项答案：(1)12(2)116根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，猜测第n个
15、图形中有_个点解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,121,231,341,451，故第n个图中点的个数为(n1)n1.答案：n2n17根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式(1)3,0,3,6,9，；(2)7,77,777,7 777,77 777，；(3)2,0,2,0,2,0，；(4)，.解：(1)a1303，a2313，a3323，a4333，. an3(n1)33n6(nN)(2)a1(101)，a2(1021)，a3(1031)，a4(1041)，. an(10n1)(nN)(3)a111，a211，a311，a411，.an1(1)n1(nN)(4)a1，a2，a3，a
16、4，.an(1)n(nN)8写出数列132,136,1312,1320,1330，的一个通项公式，并验证2 563是否是该数列中的一项解：该数列的项为1312,1323,1334，.故其通项公式可以为an13n(n1)(nN)令13n(n1)2 563，则n2n2 550.解得n50或n51(舍去)2 563是该数列中的第50项12数列的函数特性预习课本P68，思考并完成以下问题 (1)什么数列是递增数列？ (2)什么数列是递减数列？ (3)常数列是什么样的数列？ 数列的单调性(1)一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an1an，那么这个数列叫作递增数列(2)一个数列，如
17、果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an10可知an1an，所以数列an是递增数列3已知递减数列an中，ankn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )AR B(0，)C(，0) D(，0解析：选Can1ank(n1)knk0.4设ann210n11，则数列an的最大项为()A5 B11C10或11 D36解析：选Dann210n11(n5)236，当n5时，an取得最大值36.数列的图像及应用典例已知数列an的通项公式为an，画出它的图像，并判断增减性解图像如图所示，该数列在1,2,3,4上是递减的，在5,6，上也是递减的利用数列的图像判断数列的增减性数列的图像可直观地反映数列各项的变
18、化趋势，从而可判断数列的增减性活学活用已知数列an的通项公式为an2n1，作出该数列的图像并判断该数列的增减性解：分别取n1,2,3，得到点(1,1)，(2,3)，(3,5)，描点作出图像如图，它的图像是直线y2x1上的一些等间隔的点由图像可知该数列为递增数列.数列增减性的判断典例已知数列an的通项公式an，试判断该数列的增减性解an1an.因为nN，所以1n2n0，所以an1an0，即an1an.故该数列为递减数列应用函数单调性判断数列增减性的方法(1)作差法，将an1an与0进行比较；(2)作商法，将与1进行比较(在作商时，要注意an0)活学活用写出数列1，的通项公式，并判断它的增减性解：
19、该数列的通项公式为an，an1an.nN，(3n1)(3n2)0，an1an，该数列为递减数列.数列的函数特性的应用题点一：求数列的最大(小)项1已知数列an的通项公式an(n1)n(nN)，试问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由解：法一：假设数列an中存在最大项an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an.故a1a2a3a11a12，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9a10.法二：假设数列an中有最大项，并设第k项为最大项，则对任意的kN且k2都成立即解得9
20、k10.又kN，数列an中存在最大项是第9项和第10项，且a9a10.题点二：由数列的单调性求参数问题2已设数列an的通项公式为：ann2kn(nN)，若数列an是单调递增数列，求实数k的取值范围 .解：法一：数列an是单调递增数列，an1an0(nN)恒成立又ann2kn(nN)，(n1)2k(n1)(n2kn)0恒成立即2n1k0.k(2n1)(nN)恒成立而nN时，(2n1)的最大值为3(n1时)，k3.即k的取值范围为(3，)法二：结合二次函数yx2kx的图像，要使an是递增数列，只要a1a2即可，即1k3，所以k的取值范围为(3，)题点三：数列与函数的综合应用3已知函数f(x)2x2
21、x，数列an满足f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)证明数列an是递减数列解：(1)f(x)2x2x，f(log2an)2n，2log2an2log2an2n，an2n，a2nan10，解得ann.an0，ann，nN.(2)证明：0，an10，且an1an，则数列an的最大项是()Aa1 Ba9Ca10 D不存在解析：选Aa10且an1an，an0，1，an10，且k为常数)，则该数列是_(填“递增”“递减”)数列解析：0，an0，an10.ana2a10a11a12an(nN*)，则函数yf(x)的图像是()解析：选A据题意，由关系式an1f(an)得到的数列an，满
22、足an1an，即该函数yf(x)的图像上任一点(x，y)都满足yx，结合图像，只有A满足，故选A.3已知数列an满足a10，an1(nN)，则a20()A0 BC. D.解析：选B由a10，可求a2，a3，a40，可知周期为3，所以a20a2.4已知an，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )Aa1，a30 Ba1，a9Ca10，a9 Da10，a30解析：选Can1，点(n，an)在函数y1的图像上，在直角坐标系中作出函数y1的图像，由图像易知，当x(0，)时，函数单调递减a9a8a7a1a11a301.所以，数列an的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.5已知数列an的通
23、项an(a，b，c都是正实数)，则an与an1的大小关系是_解析：a，b，c均为实数，f(x)在(0，)上是增函数，故数列an在nN时为递增数列，anan6已知函数f(x)若数列an满足a1，an1f(an)，nN，则a2 015a2 016_.解析：a2f1；a3f1；a4f；a5f21；a6f21.即从a3开始数列an是以3为周期的周期数列a2 015a2 016a5a31.答案：17已知函数f(x)，设anf(n)(nN), (1)求证：an1；(2)数列an是递增数列还是递减数列？为什么？解：(1)证明：anf(n)10，an1an，an是递增数列8数列bn的通项公式为bnnan(a0
24、)，问：bn是否存在最大项？并说明理由解：bn1bn(n1)an1nanan(n1)anan(a1)na当a1时，bn1bn0，故bn为递增数列，无最大项；当a1时，bn1bn1，故bn不存在最大项；当0a1时，bn1bnan(a1)an(a1).0a1，an(a1)k时，bn1bn0，即有b1b2b3bk1，故对任意的自然数n，bnbk，0a1时，bn存在最大项21等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式预习课本P1012，思考并完成以下问题 (1)什么样的数列是等差数列？ (2)等差数列的通项公式是什么？ 1等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样
25、的数列为等差数列称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示点睛(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：作差的顺序；这两项必须相邻(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列2等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则这个数列的通项公式是ana1(n1)d_.点睛等差数列的通项公式ana1(n1)d中有4个变量an，a1，n，d，在这4个变量中可以“知三求一”1判断下列结论是否正确(正确的打“”，错误的打“
26、”)(1)2,3,4,5,6,7可以构成等差数列()(2)常数列是等差数列()(3)若一个数列的每一项与前一项的差是常数，则这个数列是等差数列()答案：(1)(2)(3)2已知等差数列an的首项a12，公差d3，则数列an的通项公式为( )Aan3n1Ban2n1Can2n3 Dan3n2解析：选Aana1(n1)d2(n1)33n1.3数列an的通项公式an2n5，则此数列( )A是公差为2的等差数列B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列D是公差为n的等差数列解析：选Aan2n52(n1)7，首项a17，公差d2，故选A.4已知等差数列an，a17，a71，则公差d_.解析：a17，a
27、71，由ana1(n1)d得176d，d1.答案：1求等差数列的通项公式典例已知an为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式(1)a35，a713；(2)前三项为：a,2a1,3a.解(1)法一：设首项为a1，公差为d，则解得ana1(n1)d1(n1)22n1.通项公式是an2n1.法二：d2，ana3(n3)d5(n3)22n1.通项公式是an2n1.(2)a,2a1,3a是等差数列的前三项，(2a1)a(3a)(2a1)解得a，d(2a1)aa1.ana1(n1)d(n1)n1.通项公式是ann1.在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结
28、论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量活学活用1已知数列an中，a13，anan13(n2)，则an_.解析：因为n2时，anan13，所以an是以a13为首项，公差d3的等差数列所以ana1(n1)d33(n1)3n.答案：3n2100是不是等差数列2,9,16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由解：a12，d927，an2(n1)77n5，由7n5100，得n15.100是这个数列的第15项.等差数列通项公式的应用典例(1)在等差数列an中，首项a11，从第10项起开始比2大，则公差d的取值范围为_(2)在等差数列an中，首项a11，公差d0，若7aka1a2a7，则k_